第3章 一元一次不等式（综合复习，满分必刷题）（解析版）

这是一份第3章 一元一次不等式（综合复习，满分必刷题）（解析版），共26页。试卷主要包含了知识点梳理，知识点巩固等内容，欢迎下载使用。

第3章 一元一次不等式（综合复习）
一、知识点梳理

二、知识点巩固
1：不等式
知识点：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：

求不等式的解集的过程叫做解不等式．

满分必刷题：
1．下列不等式中，对任何有理数都成立的是（　　）
A．x﹣3＞0 B．|x+1|＞0 C．（x+5）2＞0 D．﹣（x﹣5）2≤0
【分析】代入特殊值，对以下选项进行一一验证即可．
【解答】解：A、当x＝3时，x﹣3＝0，所以该不等式不成立；故本选项错误；
B、当x＝﹣1时，|x+1|＝0，所以该不等式不成立；故本选项错误；
C、当x＝﹣5时，（x+5）2＝0，所以该不等式不成立；故本选项错误；
D、因为（x﹣5）2≥0，所以无论x取何值都有﹣（x﹣5）2≤0，所以该不等式成立．故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查非负数的性质，熟记计算法则即可解题，难度不大．
2．已知关于x的不等式＞1的解都是不等式＞0的解，则a的范围是（　　）
A．a＝5 B．a≥5 C．a≤5 D．a＜5
【分析】先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．
【解答】解：由＞1得，x＞，
由＞0得，x＞﹣，
∵关于x的不等式＞1的解都是不等式＞0的解，
∴≥﹣，
解得a≤5．
即a的取值范围是：a≤5．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的解集，解一元一次不等式，分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出关于a的不等式是解题的关键．
3．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（　　）
A．14 B．7 C．﹣2 D．2
【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得不等式的解集，再根据x≥4，求得m的值．
【解答】解：≤﹣2，
m﹣2x≤﹣6，
﹣2x≤﹣m﹣6，
x≥m+3，
∵关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，
∴m+3＝4，
解得m＝2．
故选：D．
【点评】考查了不等式的解集，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．
4．设a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，则a的最大值是（　　）
A．480 B．479 C．448 D．447
【分析】根据d＜20，d都整数，就可以求出d的值，进而就可以得到a，b，c的值．
【解答】解：∵a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，
∴d＝19，c＜4×19＝76，
∴c＝75，b＜3×75＝225，
∴b＝224，a＜2×224＝448，
∴a＝447，
故选：D．
【点评】主要考查了不等式的运用．根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．
5．若不等式组的解集是空集，则a，b的大小关系是　a≤b　．
【分析】因为不等式组的解集是空集，利用不等式组解集的确定方法即可求出答案．
【解答】解：∵不等式组的解集是空集，
∴a≤b．
故答案为：a≤b．
【点评】本题考查由不等式组解集的表示方法来确定a，b的大小，也可以利用数轴来求解．
6．若不等式（a+1）x＞a+1的解集是x＜1，则a的取值范围是　a＜﹣1　．
【分析】根据不等式基本性质3两边都除以a+1，由解集x＜1可得a+1＜0，可得a的范围．
【解答】解：不等式（a+1）x＞a+1两边都除以a+1，得其解集为x＜1，
∴a+1＜0，
解得：a＜﹣1，
故答案为：a＜﹣1．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质3，不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变是关键．
7．如果关于x的不等式（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx＞n的解集．
【分析】解题时，要先根据已知条件找出m，并且求出m的取值范围，再解关于x的不等式mx＞n即可求解．
【解答】解：移项得（2m﹣n）x＞5n﹣m，
∵关于x的不等式（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，
∴2m﹣n＜0，且x＜，
∴＝，
整理得n＝m，
把n＝m代入2m﹣n＜0得，
2m﹣m＜0，解得m＜0，
∵mx＞n，
∴mx＞m，
∴x＜．
∴关于x的不等式mx＞n的解集是x＜．
【点评】考查了不等式的解集，注意解含字母系数的一元一次不等式要注意不等式性质3的应用，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”表示即可得．
【解答】解：将不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示如下：

故选：D．
【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
2. 不等式的性质：
不等式具有传递性：a 知识点：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a＞ b， c为实数a＋c＞b＋c
②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a＞b， c＞0ac＞bc。
③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a＞b，c＜0ac＜bc.
在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，以防出错。在解决不等式问题的时候，往往可以采用赋值法，在解决复杂问题时还可以用整体思维，如：a – b ＞0 （a+c） – (b+c) ＞0

任意两个实数a，b的大小关系如下：
a – b ＞0 a＞b
a – b=0a=b
a–b＜0a＜b
a＞b＞0
a＞b＞0

满分必刷题：
9．若实数abc满足a2+b2+c2＝9，代数式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2的最大值是（　　）
A．27 B．18 C．15 D．12
【分析】根据不等式的基本性质判断．
【解答】解：∵a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
∴﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝a2+b2+c2﹣（a+b+c）2①
∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；
又（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2
＝3a2+3b2+3c2﹣（a+b+c）2
＝3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2②
①代入②，得3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2＝3×9﹣（a+b+c）2＝27﹣（a+b+c）2，
∵（a+b+c）2≥0，
∴其值最小为0，
故原式最大值为27．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式a2+b2≥2ab．
10．已知a、b、c、d都是正实数，且＜，给出下列四个不等式：
①＜；②＜；③；④＜
其中不等式正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【分析】由＜，a、b、c、d都是正实数，根据不等式不等式的性质不等式都乘以bd得到ad＜bc，然后两边都加上ac得到ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），然后两边都除以（c+d）（a+b）得到＜，得到①正确，②不正确；同理可得到＜，则③正确，④不正确．
【解答】解：∵＜，a、b、c、d都是正实数，
∴ad＜bc，
∴ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），
∴＜，所以①正确，②不正确；
∵＜，a、b、c、d都是正实数，
∴ad＜bc，
∴bd+ad＜bd+bc，即d（a+b）＜b（d+c），
∴＜，所以③正确，④不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
11．已知a＜b，下列不等式成立的是（　　）
A．a+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．am2＜bm2
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，B选项没有乘以同一个负数，故B错误；
C、∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b
∴m﹣a＞m﹣b，故C正确；
D、∵m2≥0，a＜b
∴am2≤bm2，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
12．若a+b＝﹣4，且a≥3b，则（　　）
A．有最小值 B．有最大值7
C．有最大值3 D．有最小值
【分析】a+b＝﹣4，则a、b异号，负数的绝对值较大或a、b均为负数．分两种情况进行计算．
【解答】解：a、b均为负数时，
≤3；
最大值为3；

a、b异号，则最大值＜0，
综上所述，的最大值为3．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，要注意：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
13．对于命题“a，b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题，给出下列以下四种说法：
①a，b是有理数，若a＞b＞0，则a2＞b2；
②a，b是有理数，若a＞b，且a+b＞0，则a2＞b2；
③a，b是有理数，若a＜b＜0，则a2＞b2；
④a，b是有理数，若a＜b且a+b＜0，则a2＞b2．
其中，真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】解决本题的关键是弄清什么是真命题，只要改变条件，如a2＞b2还成立的便是真命题，所以据此即可判断真命题的个数．
【解答】解：①b是有理数，若a＞b＞0，即|a|＞|b|则a2＞b2一定成立；
②a，b是有理数，若a＞b，且a+b＞0则a，b都是正数，或a，b异号，且|a|＞|b|，不论哪种情况都有|a|＞|b|，因而有则a2＞b2；
③a，b是有理数，若a＜b＜0，两个负数，绝对值大的反而小，因而有|a|＞|b|，则a2＞b2；
④a，b是有理数，若a＜b且a+b＜0，则a，b同是负数，或异号，不论哪种情况都有|a|＞|b|，因而有a2＞b2；
故真命题的个数是4个．
故选：D．
【点评】比较两个数的平方的大小，可以转化为比较这两个数的绝对值的大小，绝对值大，平方的值就一定大．
14．使不等式x2＜|x|成立的x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜﹣1
C．﹣1＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
【分析】由已知的式子可以判断|x|与1的大小关系，从而确定a的范围．
【解答】解：∵不等式x2＜|x|成立，而x2和|x|都是正数
∴|x2|＜|x|，
∴|x|•（|x|﹣1）＜0
∴|x|＜1
∴﹣1＜x＜0或0＜x＜1，
故选：D．
【点评】用到的知识点为：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
15．已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是　1＜x+y＜5　．
【分析】利用不等式的性质解答即可．
【解答】解：∵x﹣y＝3，
∴x＝y+3，
又∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞﹣1．
又∵y＜1，
∴﹣1＜y＜1，…①
同理得：2＜x＜4，…②
由①+②得﹣1+2＜y+x＜1+4
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5；
故答案为：1＜x+y＜5．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围．
16．已知正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，则k＝a2+b2的取值范围为　9＜k＜41　．
【分析】根据已知条件先将原式化成a2+b2的形式，最后根据化简结果即可求得k的取值范围．
【解答】解：∵正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，
∴c2＝16﹣a2，a2＞0所以0＜c2＜16
同理：
有c2＝25﹣b2得到0＜c2＜25，所以0＜c2＜16
两式相加：a2+b2+2c2＝41
即a2+b2＝41﹣2c2
又∵﹣16＜﹣c2＜0
即﹣32＜﹣2c2＜0
∴9＜41﹣2c2＜41
即9＜k＜41．
【点评】解答此题的关键是熟知不等式的基本性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数或式子，不等号方向不变；
基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的数或式子，不等号方向改变；
17．若6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为 　﹣2≤t≤﹣1　．
【分析】运用不等式的基本性质解决此题．
【解答】解：∵6a＝3b+12＝2c，
∴3a＝c，2a＝b+4．
∴b＝2a﹣4．
∴t＝2a+b﹣c＝2a+2a﹣4﹣3a＝a﹣4．
∵b≥0，c≤9，
∴3b+12≥12，2c≤18．
∴6a≥12，6a≤18．
∴2≤a≤3．
∴﹣2≤a﹣4≤﹣1．
∴﹣2≤t≤﹣1．
故答案为：﹣2≤t≤﹣1．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．

3：一元一次不等式
不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
知识点：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．

解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.

一元一次不等式应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
①审：认真审题，分清已知量、未知量；
②设：设出适当的未知数；
③找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”“不足”等关键词的含义，这一步最为重要；
④列：根据题中的不等关系，列出不等式；
⑤解：解出所列的不等式的解集；
⑥答：检验是否符合题意，写出答案.

满分必刷题：
18．已知（m﹣4）x|m﹣3|+2＞6是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　）
A．4 B．2 C．4或2 D．不确定
【分析】根据一元一次不等式的定义，|m﹣3|＝1，m﹣4≠0，分别进行求解即可．
【解答】解：根据题意|m﹣3|＝1，m﹣4≠0，
所以m﹣3＝±1，m≠4，
解得m＝2．
故选：B．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义和绝对值．解题的关键是明确一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0．
19．已知关于x的方程﹣＝m的解为非负数，求m的取值范围．
【分析】解出关于x的方程，根据题意列出关于m的一元一次不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：2（5x+m）﹣3（x﹣1）＝6m，
10x+2m﹣3x+3＝6m，
7x＝4m﹣3，
∴．
∵原方程的解为非负数，
∴，
∴，
∴m的取值范围是．
【点评】本题考查的是一元一次方程的解法，正确解出一元一次方程、根据题意得到一元一次不等式并正确解出不等式是解题的关键．
20．解不等式：．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
【解答】解：，
去分母得：6﹣2（x﹣1）＞3（x+1），
去括号得：6﹣2x+2＞3x+3，
移项，合并同类项得：﹣5x＞﹣5，
系数化为1得：x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
21．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3
【分析】第一个不等式的方向改变，说明不等式两边除以的m小于0，由解集是x＜，可以继续判断n的符号；就可以得到第二个不等式的解集．
【解答】解：由mx+n＞0的解集为x＜，不等号方向改变，
∴m＜0且﹣＝，
∴＝﹣＜0，
∵m＜0．
∴n＞0；
由nx﹣m＜0得x＜＝﹣3，
所以x＜﹣3；
故选：D．
【点评】当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．
22．关于x的两个不等式①＜1与②1﹣3x＞0．
（1）若两个不等式的解集相同，求a的值．
（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．
【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；
（2）根据不等式①的解都是②的解，求出a的范围即可．
【解答】解：（1）由①得：x＜，
由②得：x＜，
由两个不等式的解集相同，得到＝，
解得：a＝1；

（2）由不等式①的解都是②的解，得到≤，
解得：a≥1．
【点评】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．
23．关于x的不等式3x﹣a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是 　6≤a＜9　．
【分析】解不等式得x≤，由于只有两个正整数解，即1，2，故可判断的取值范围，求出a的取值范围．
【解答】解：原不等式解得x≤，
∵解集中只有两个正整数解，
则这两个正整数解是1，2，
∴2≤＜3，
解得6≤a＜9．
故答案为：6≤a＜9．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
24．已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（　　）
A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤7
【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围．
【解答】解：解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞，
∵不等式有最小整数解2，
∴1≤＜2，
解得：4≤m＜7，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
25．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x．根据题意得（　　）
A．10x﹣5（20﹣x）≥120 B．10x﹣5（20﹣x）≤120
C．10x﹣5（20﹣x）＞120 D．10x﹣5（20﹣x）＜120
【分析】小明答对题的得分：10x；小明答错题的得分：﹣5（20﹣x）．
不等关系：小明得分要超过120分．
【解答】解：根据题意，得
10x﹣5（20﹣x）＞120．
故选：C．
【点评】此题要特别注意：至少即大于或等于．


4.一元一次不等式组
　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.解一元一次不等式组，可以分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集，需要注意边界点的空实。
一元一次不等式组的应用，类似于一元一次不等式，先根据题意构建不等式组，解这个不等式组，再由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案.

满分必刷题：
26．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果，则x的取值范围是（　　）
A．5≤x＜7 B．5＜x＜7 C．5＜x≤7 D．5≤x≤7
【分析】根据题意可得：3≤＜4，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
3≤＜4，
∴6≤x+1＜8，
∴5≤x＜7，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，实数大小比较，理解定义的新运算是解题的关键．
27．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．若关于x的方程为kx+k+3＝max{x+3，﹣x+1}有2个实数解，求k的取值范围是 　k≠±1　．
【分析】令x+3＝﹣x+1可得直线y＝x+3与直线y＝﹣x+1交点坐标，由直线y＝kx+k+3经过定点（﹣1，3）结合图象求解．
【解答】解：令x+3＝﹣x+1，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入y＝x+3得y＝2，
∴直线y＝x+3与直线y＝﹣x+1交于点（﹣1，2），
∴max{x+3，﹣x+1}＝，
∵kx+k+3＝k（x+1）+3，
∴当x＝﹣1时，kx+k+3＝3，
∴直线y＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），
如图，

直线y＝kx+k+3点（﹣1，3）上方，
∴直线y＝kx+k+3与max{x+3，﹣x+1}图象有交点，
当k＝1时，直线y＝kx+k+3与直线y＝x+3平行，
当k＝﹣1时，直线y＝kx+k+3与直线y＝﹣x+1平行，
∴k≠±1，
故答案为：k≠±1．
【点评】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，结合图象求解．
28．不等式组的解集是3＜x＜a+2，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a≤3 C．a＜1或a＞3 D．1＜a≤3
【分析】根据题中所给条件，结合口诀，可得a﹣1与3之间、5和a+2之间都存在一定的不等关系，解这两个不等式即可．
【解答】解：根据题意可知a﹣1≤3且a+2≤5
所以a≤3
又因为3＜x＜a+2
即a+2＞3
所以a＞1
所以1＜a≤3
故选：D．
【点评】主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，注意：当符号方向不同，数字相同时（如：x＞a，x＜a），没有交集也是无解但是要注意当两数相等时，在解题过程中不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
29．解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条数轴表示出来．
【解答】解：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，
由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，
所以﹣7＜x≤1．
在数轴上表示为：

【点评】本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
30．已知关于x、y的方程组的解都为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知a+b＝4，且b＞0，z＝2a﹣3b，求z的取值范围．
【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可求出x与y的表达式，从而可求出a的范围．
（2）根据（1）问可求出b的范围，将z化为8﹣5b，从而可求出z的范围．
【解答】解：（1）∵
∴
由于该方程组的解都是正数，
∴
∴a＞1
（2）∵a+b＝4，
∴a＝4﹣b，
∴
解得：0＜b＜3，
∴z＝2（4﹣b）﹣3b＝8﹣5b
∴﹣7＜8﹣5b＜8，
∴﹣7＜z＜8
【点评】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及不等式组的解法，本题属于中等题型．
一十．一元一次不等式组的整数解（共5小题）
31．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先求出不等式组的解集（含字母a），因为不等式组有3个整数解，可逆推出a的值．
【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，
∵，
∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．
若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则；
解得．
故选：B．
【点评】解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
32．已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值．
【分析】首先根据方程组可得，再解不等式组，确定出整数解即可．
【解答】解：①+②得：3x+y＝3m+4，
②﹣①得：x+5y＝m+4，
∵不等式组，
∴，
解不等式组得：﹣4＜m≤﹣，
则m＝﹣3，﹣2．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，关键是用含m的式子表示x、y．
33．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m的取值范围是 　﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2　．
【分析】先求出不等式的解集，根据已知不等式组的整数解的和为﹣9即可得出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≥﹣4，
∴不等式组的解集是﹣4≤x＜m，
又∵不等式组的所有整数解的和为﹣9，
∴不等式组的整数解是﹣4，﹣3，﹣2或﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
∴﹣4+（﹣3）+（﹣2）＝﹣9或（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1＝﹣9，
∴﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2，
故答案为：﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能熟记求不等式组解集的方法是解此题的关键．
34．若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围是　＜a≤1　．
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知不等式组有两个整数解得出不等式组1＜2a≤2，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞﹣，
解不等式②得：x＜2a，
∴不等式组的解集为﹣＜x＜2a，
∵不等式组有两个整数解，
∴1＜2a≤2，
∴＜a≤1，
故答案为：＜a≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解，关键是能根据不等式组的解集得出关于a的不等式组，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
35．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b，已知T（1，1）＝2.5，T（4，﹣2）＝4．
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数P的取值范围．
【分析】（1）根据题中的新定义列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（2）利用题中的新定义化简已知不等式组，求出解集，根据关于m的不等式组恰好有2个整数解，确定p的范围即可．
【解答】解：（1）根据题意得：，
①+②得：3a＝9，即a＝3，
把a＝3代入①得：b＝2，
故a，b的值分别为3和2；

（2）根据题意得：，
由①得：m≤，
由②得：m＞p﹣3，
∴不等式组的解集为p﹣3＜m≤，
∵不等式组恰好有2个整数解，即m＝0，1，
∴﹣1≤p﹣3＜0，
解得≤p＜2，
即实数P的取值范围是≤p＜2．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，理解题中的新定义，并熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键．
36．“输入一个实数x，然后经过如图的运算，到判断是否大于154为止”叫做一次操作，那么恰好经过三次操作停止，则x的取值范围是 　＜x≤18　．


【分析】表示出第一次、第二次、第三次的输出结果，再由第三次输出结果可得出不等式，解出即可．
【解答】解：第一次的结果为：3x﹣2，没有输出，则3x﹣2≤154，
解得：x≤52；
第二次的结果为：3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8，没有输出，则9x﹣8≤154，
解得：x≤18；
第三次的结果为：3（9x﹣8）﹣2＝27x﹣26，输出，则27x﹣26＞154，
解得：x＞．
综上可得：x的取值范围是＜x≤18．
故答案为：＜x≤18．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得出不等式．
37．某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：

甲
乙
进价（元/件）
15
35
售价（元/件）
20
45
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
【分析】（1）等量关系为：甲件数+乙件数＝160；甲总利润+乙总利润＝1100．
（2）设出所需未知数，甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜4300；甲总利润+乙总利润＞1260．
【解答】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．
根据题意得：．
解得：．
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（160﹣a）件．
根据题意得．
解不等式组，得65＜a＜68．
∵a为非负整数，∴a取66，67．
∴160﹣a相应取94，93．
方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件．
方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．
答：有两种购货方案，其中获利最大的是方案一．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组：甲件数+乙件数＝160；甲总利润+乙总利润＝1100．甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜4300；甲总利润+乙总利润＞1260．
38．某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．
（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？
（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵数不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．
【分析】（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，然后根据单价之间的关系和根据单价之间的关系和3棵榕树和2棵香樟树共需340元这两个等量关系列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买榕树a棵，则香樟树为（150﹣a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，在根据a是正整数确定出购买方案．
【解答】解：（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，
根据题意得，，
解得，
答：榕树和香樟树的单价分别是60元/棵，80元/棵；

（2）设购买榕树a棵，则购买香樟树为（150﹣a）棵，
根据题意得，，
解不等式①得，a≥58，
解不等式②得，a≤60，
所以，不等式组的解集是58≤a≤60，
∵a只能取正整数，
∴a＝58、59、60，
因此有3种购买方案：
方案一：购买榕树58棵，香樟树92棵，
方案二：购买榕树59棵，香樟树91棵，
方案三：购买榕树60棵，香樟树90棵．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
39．随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需300万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需270万元，
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需300万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需270万元”列出方程组解决问题；
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．
【解答】解：（1）设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元，
由题意得：，
解得，
答：购买A型新能源公交车每辆需80万元，购买B型新能源公交车每辆需110万元．

（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，
由题意得，
解得：，
因为a是整数，
所以a＝4，5；
则共有两种购买方案：
①购买A型公交车4辆，则B型公交车6辆：80×4+110×6＝980万元；
②购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆：80×5+110×5＝950万元；
购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆费用最少，最少总费用为950万元．
【点评】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
40．2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
【分析】（1）根据题意可以得到相应的二元一次方程，从而可以求得一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨；
（2）根据题意可以列出相应的关系式，从而可以求得有几种方案．
【解答】解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输a吨，一辆小型渣土运输车一次运输b吨，
，，
解得．
即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨；
（2）由题意可得，
设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为x辆、（20﹣x）辆，
，
解得x＝18或17或16，
故有三种派车方案，
第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆；
第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆；
第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．