专题七 复合函数的零点问题-最新高考数学之函数的零点问题专项突破（全国通用）

这是一份专题七 复合函数的零点问题-最新高考数学之函数的零点问题专项突破（全国通用）
专题七 复合函数的零点问题一、确定复合函数零点的个数或方程解的个数【例题选讲】[例1]　(1)奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝(　　)A．3　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．14答案　C　解析　由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))))＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7．又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3．所以m＋n＝10，选择C．(2)关于x的方程(x2－1)2－3|x2－1|＋2＝0的不相同实根的个数是(　　)A．3　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．8答案　C　解析　可将|x2－1|视为一个整体，即t＝|x2－1|，则方程变为t2－3t＋2＝0可解得，t＝1或t＝2，则只需作出t(x)＝|x2－1|的图像，然后统计与t＝1与t＝2的交点总数即可，共有5个．(3)已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lg x|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________．答案　5　解析　由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝eq \f(1,2)或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象．由图象知y＝eq \f(1,2)与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个．(4)已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2|x－1|－1，02，))则关于x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的实数根个数为(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．答案　B　解析　已知方程6f2(x)－f(x)－1＝0可解，得f1(x)＝eq \f(1,2)，f2(x)＝－eq \f(1,3)，只需统计y＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,3)与y＝f(x)的交点个数即可．由奇函数可先做出x>0的图像，x>2时，f(x)＝eq \f(1,2)f(x－2)，则x∈(2，4]的图像只需将x∈(0，2]的图像纵坐标缩为一半即可．正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像．通过数形结合可得共有7个交点．在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间．(5)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于的方程3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的不同实根的个数是(　　)A．3　　　　　　　　B．4　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．6答案　A　解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b由极值点可得，x1，x2为3x2＋2ax＋b＝0①的两根，观察到方程①与3f2(x)＋2af(x)＋b＝0结构完全相同，所以可得3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的两根为f1(x)＝x1，f2(x)＝x2，其中f1(x)＝x1，若x1 x1＝f1(x)，所以y＝f1(x)与f(x)有两个交点，而f2(x)与f(x)有一个交点，共计3个； 　　　　若x1>x2，可判断出x1是极小值点，x2是极大值点．且f2(x)＝x20时，有4个零点；当a0时，有3个零点；当a