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《新高考数学大二轮复习课件》专题三 第1讲 等差数列、等比数列
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这是一份《新高考数学大二轮复习课件》专题三 第1讲 等差数列、等比数列，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，专题强化练等内容，欢迎下载使用。
KAO QING FEN XI
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式 出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点.
考点一 等差数列、等比数列的基本运算
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
例1 (1)(2021·淄博模拟)已知{an}为等比数列，Sn为其前n项和，若2S3＝a2＋a3＋a4，则公比q等于
解析 因为2S3＝a2＋a3＋a4，所以2(a1＋a2＋a3)＝a2＋a3＋a4，即2a1＋a2＋a3＝a4，因为a1≠0，所以2＋q＋q2＝q3，即(q－2)(q2＋q＋1)＝0，因为q2＋q＋1≠0，所以q＝2.
等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列.(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.
则q2－2q－3＝0，解得q＝－1(舍去)或q＝3.
(2)(2021·重庆一中检测)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲(水生植物名)生一日，长三尺；莞(植物名，俗称水葱、席子草)生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺.蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为(结果保留一位小数，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)A.2.6 B.2.5 C.2.7 D.2.8
解得2n＝6或2n＝1(舍去).
∴需2.6日蒲、莞长度相等.
考点二 等差数列、等比数列的性质
1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝ .2.前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).(2)对于等差数列，有S2n－1＝(2n－1)an.
例2 (1)(2021·崇左模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，则S9等于A.225 B.250 C.270 D.300
解析 等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝150，解得a5＝30,
不妨令 S4＝1，则S8＝3，所以 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等比数列，解得S12＝7，S16＝15，
等差数列、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.
以此类推可知，对任意的n∈N*，an＋3＝an，即数列{an}是以3为周期的周期数列，
(2)(多选)(2021·威海模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则A.d<0B.a16<0C.Sn≤S15D.当且仅当n≥32时，Sn<0
考点三 等差数列、等比数列的判断
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
例3 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列{ }是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
解 ①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
设数列{an}的公差为d，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.
(1) ＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列.(3)证明{an}不是等比数列可用特值法.
跟踪演练3 已知数列{an}满足a1＝1,4an＋1＝3an－n＋4.(1)证明：数列{an＋n－8}是等比数列；
证明 因为4an＋1＝3an－n＋4，
(2)证明：数列{an＋2}不可能是等比数列.
一、单项选择题1.(2021·烟台模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝52，S4＝22，则a7等于A.4 B.5 C.6 D.7
解析 由S9－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝5a7＝30，得a7＝6.
解析 设等比数列{an}的公比为q，
由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12得a1＝1.
3.(2021·沈阳模拟)5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化.目前我国最高的5G基站海拔6 500米.从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期.现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少 ，则第一个工程队承建的基站数(单位：万)约为
解析 设每个工程队承建的基站数构成数列{an}，
4.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析 当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在.所以甲是乙的必要条件.
5.(2021·黄冈模拟)已知数列{an}满足a1＝2，am＋an＝am＋n(m，n∈N*)，用[x]表示不超过x的最大整数，则数列{[lg2an]}的前20项和为A.42 B.54 C.62 D.74
解析 当m＝1时，an＋1＝an＋2，∴an＋1－an＝2，∴{an}是以a1＝2为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n，∴lg2an＝lg22n＝1＋lg2n，∴当n＝1时，[1＋lg2n]＝1；当2≤n≤3时，[1＋lg2n]＝2；当4≤n≤7时，[1＋lg2n]＝3；当8≤n≤15时，[1＋lg2n]＝4；当16≤n≤20时，[1＋lg2n]＝5，∴S20＝1＋2×2＋4×3＋8×4＋5×5＝74.
6.(2021·沈阳模拟)已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n(n∈N*)，则S2 022等于A.3(21 011－1) B.21 011－3C.3(21 010－1) D.21 012－3
解析 因为数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n(n∈N*)，当n＝1时，a2＝2，
所以数列{an}的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列，数列{an}的偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列，
＝21 011－1＋2×21 011－2＝3×21 011－3＝3(21 011－1).
7.(2021·潍坊模拟)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{an}，则A.a4＝12B.an＋1＝an＋n＋1C.a100＝5 050D.2an＋1＝an·an＋2
an＋1＝an＋n＋1，故B正确；
2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，
显然2an＋1≠an·an＋2，故D错误.
8.(2021·滨州模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝a2＝1，an＝an－1＋2an－2(n≥3)，则下列结论正确的是A.数列{an＋1＋an}为等比数列B.数列{an＋1－2an}为等比数列
解析 因为an＝an－1＋2an－2(n≥3)，所以an＋an－1＝2an－1＋2an－2＝2(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝2≠0，所以{an＋an＋1}是等比数列，A正确；同理an－2an－1＝an－1＋2an－2－2an－1＝－an－1＋2an－2＝－(an－1－2an－2)，而a2－2a1＝－1，所以{an＋1－2an}是等比数列，B正确；
由A知{an＋an－1}是等比数列，且公比为2，
因此数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…仍然是等比数列，公比为4，
9.写出一个公差为2，且前3项和小于第3项的等差数列an＝_____________________.
不妨令a1＝－2，∴an＝2n－4.
10.(2021·新乡模拟)一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为______.
解析 设该数列为{an}，依题意可知，a5，a6，…成等差数列，且公差为2，a5＝5，
故最下面三层的塔数之和为a10＋a11＋a12＝3a11＝3×(5＋2×6)＝51.
11.(2021·菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an－1，若an∈(0,2 022)，则称项an为“和谐项”，则数列{an}的所有“和谐项”的和为_______.
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，又由a1＝S1＝2a1－1，得a1＝1，∴{an}是等比数列，公比为2，首项为1，∴an＝2n－1，由an＝2n－1<2 022，得n－1≤10，即n≤11，
两式相减，可得an＋2－2an＋1＋an＝0，所以{an}为等差数列，
当n≥2时，bn＋1－bn<0，数列{bn}单调递减，
13.(2021·新高考全国Ⅱ)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.(1)求数列{an}的通项公式an；
解 由等差数列的性质可得S5＝5a3，则a3＝5a3，∴a3＝0，设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d，从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，∴数列的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－6.
(2)求使Sn>an成立的n的最小值.
则不等式Sn>an，即n2－5n>2n－6，整理可得(n－1)(n－6)>0，解得n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7.
KAO QING FEN XI
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式 出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点.
考点一 等差数列、等比数列的基本运算
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
例1 (1)(2021·淄博模拟)已知{an}为等比数列，Sn为其前n项和，若2S3＝a2＋a3＋a4，则公比q等于
解析 因为2S3＝a2＋a3＋a4，所以2(a1＋a2＋a3)＝a2＋a3＋a4，即2a1＋a2＋a3＝a4，因为a1≠0，所以2＋q＋q2＝q3，即(q－2)(q2＋q＋1)＝0，因为q2＋q＋1≠0，所以q＝2.
等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列.(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.
则q2－2q－3＝0，解得q＝－1(舍去)或q＝3.
(2)(2021·重庆一中检测)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲(水生植物名)生一日，长三尺；莞(植物名，俗称水葱、席子草)生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺.蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为(结果保留一位小数，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)A.2.6 B.2.5 C.2.7 D.2.8
解得2n＝6或2n＝1(舍去).
∴需2.6日蒲、莞长度相等.
考点二 等差数列、等比数列的性质
1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝ .2.前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).(2)对于等差数列，有S2n－1＝(2n－1)an.
例2 (1)(2021·崇左模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，则S9等于A.225 B.250 C.270 D.300
解析 等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝150，解得a5＝30,
不妨令 S4＝1，则S8＝3，所以 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等比数列，解得S12＝7，S16＝15，
等差数列、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.
以此类推可知，对任意的n∈N*，an＋3＝an，即数列{an}是以3为周期的周期数列，
(2)(多选)(2021·威海模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则A.d<0B.a16<0C.Sn≤S15D.当且仅当n≥32时，Sn<0
考点三 等差数列、等比数列的判断
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
例3 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列{ }是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
解 ①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
设数列{an}的公差为d，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.
(1) ＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列.(3)证明{an}不是等比数列可用特值法.
跟踪演练3 已知数列{an}满足a1＝1,4an＋1＝3an－n＋4.(1)证明：数列{an＋n－8}是等比数列；
证明 因为4an＋1＝3an－n＋4，
(2)证明：数列{an＋2}不可能是等比数列.
一、单项选择题1.(2021·烟台模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝52，S4＝22，则a7等于A.4 B.5 C.6 D.7
解析 由S9－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝5a7＝30，得a7＝6.
解析 设等比数列{an}的公比为q，
由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12得a1＝1.
3.(2021·沈阳模拟)5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化.目前我国最高的5G基站海拔6 500米.从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期.现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少 ，则第一个工程队承建的基站数(单位：万)约为
解析 设每个工程队承建的基站数构成数列{an}，
4.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析 当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在.所以甲是乙的必要条件.
5.(2021·黄冈模拟)已知数列{an}满足a1＝2，am＋an＝am＋n(m，n∈N*)，用[x]表示不超过x的最大整数，则数列{[lg2an]}的前20项和为A.42 B.54 C.62 D.74
解析 当m＝1时，an＋1＝an＋2，∴an＋1－an＝2，∴{an}是以a1＝2为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n，∴lg2an＝lg22n＝1＋lg2n，∴当n＝1时，[1＋lg2n]＝1；当2≤n≤3时，[1＋lg2n]＝2；当4≤n≤7时，[1＋lg2n]＝3；当8≤n≤15时，[1＋lg2n]＝4；当16≤n≤20时，[1＋lg2n]＝5，∴S20＝1＋2×2＋4×3＋8×4＋5×5＝74.
6.(2021·沈阳模拟)已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n(n∈N*)，则S2 022等于A.3(21 011－1) B.21 011－3C.3(21 010－1) D.21 012－3
解析 因为数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n(n∈N*)，当n＝1时，a2＝2，
所以数列{an}的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列，数列{an}的偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列，
＝21 011－1＋2×21 011－2＝3×21 011－3＝3(21 011－1).
7.(2021·潍坊模拟)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{an}，则A.a4＝12B.an＋1＝an＋n＋1C.a100＝5 050D.2an＋1＝an·an＋2
an＋1＝an＋n＋1，故B正确；
2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，
显然2an＋1≠an·an＋2，故D错误.
8.(2021·滨州模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝a2＝1，an＝an－1＋2an－2(n≥3)，则下列结论正确的是A.数列{an＋1＋an}为等比数列B.数列{an＋1－2an}为等比数列
解析 因为an＝an－1＋2an－2(n≥3)，所以an＋an－1＝2an－1＋2an－2＝2(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝2≠0，所以{an＋an＋1}是等比数列，A正确；同理an－2an－1＝an－1＋2an－2－2an－1＝－an－1＋2an－2＝－(an－1－2an－2)，而a2－2a1＝－1，所以{an＋1－2an}是等比数列，B正确；
由A知{an＋an－1}是等比数列，且公比为2，
因此数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…仍然是等比数列，公比为4，
9.写出一个公差为2，且前3项和小于第3项的等差数列an＝_____________________.
不妨令a1＝－2，∴an＝2n－4.
10.(2021·新乡模拟)一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为______.
解析 设该数列为{an}，依题意可知，a5，a6，…成等差数列，且公差为2，a5＝5，
故最下面三层的塔数之和为a10＋a11＋a12＝3a11＝3×(5＋2×6)＝51.
11.(2021·菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an－1，若an∈(0,2 022)，则称项an为“和谐项”，则数列{an}的所有“和谐项”的和为_______.
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，又由a1＝S1＝2a1－1，得a1＝1，∴{an}是等比数列，公比为2，首项为1，∴an＝2n－1，由an＝2n－1<2 022，得n－1≤10，即n≤11，
两式相减，可得an＋2－2an＋1＋an＝0，所以{an}为等差数列，
当n≥2时，bn＋1－bn<0，数列{bn}单调递减，
13.(2021·新高考全国Ⅱ)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.(1)求数列{an}的通项公式an；
解 由等差数列的性质可得S5＝5a3，则a3＝5a3，∴a3＝0，设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d，从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，∴数列的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－6.
(2)求使Sn>an成立的n的最小值.
则不等式Sn>an，即n2－5n>2n－6，整理可得(n－1)(n－6)>0，解得n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7.
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