2023大同高二上学期11月期中考试数学含答案

大同市2022-2023年度高二期中测试题（卷）

数  学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知平面和平面的法向量分别为，，则（    ）

A． B． C．与相交但不垂直  D．以上都不对

2．椭圆和具有（    ）

A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴

3．直线与圆相切，则的值是（）

A．或12 B．2或 C．或 D．2或12

4．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（）

A． B． C．或 D．

5．在空间四边形OABC中，，，，点在OA上，且，为BC中点，则（）

A． B． C． D．

6．设抛物线上的三个点，，到该抛物线的焦点的距离分别为，，，若，，的最大值为3，则的值为（）

A． B．2 C．3 D．

7．设和为双曲线的两个焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）

A． B． C． D．

8．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，D，E分别是棱AB，PC的中点，点是线段DE的中点，则点到直线AC的距离是（）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设，圆与圆的位置关系不可能是（）

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

10．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题错误的是（）

A．若为椭圆，则   B．若为双曲线，则或

C．曲线可能是圆     D．若为椭圆，且长轴在轴上，则

11．若实数x，y满足，则（）

A．的最大值为  B．的最小值为

C．的最大值为  D．的最小值为

12．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（）

A．的周长为12    B．

C．点到轴的距离为   D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则______．

14．已知，，，则等于______．

15．已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为，则直线AB的斜率为______．

16．如图，在梯形ABCD中，，，，，将沿对角线BD折起，设折起后点的位置为，并且平面平面BCD．则下面四个命题中正确的是______．（把正确命题的序号都填上）

①；②三棱锥的体积为；③；④平面平面．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知，，为平面内的一个动点，且满足．

（1）求点的轨迹方程；

（2）若直线为，求直线被曲线截得的弦的长度．

18．（12分）

如图，在正方体中，为的中点．

（1）求证：平面ACE；

（2）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

19．（12分）

已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．

（1）求E的方程；

（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点M、N，且，求的值．

20．（12分）

如图，在三棱锥中，侧面PAC是等边三角形，，．

（1）证明：平面平面ABC；

（2）若AC=2AB，则在棱PC上是否存在动点，使得平面MAB与平面ABC所成二面角的大小为45°．

21．（12分）

已知抛物线上的一点到它的焦点的距离为．

（1）求的值；

（2）过点作抛物线的切线，切点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点．

22．（12分）

已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点

（1）求双曲线的方程；

（2）过的两条相互垂直的直线分别交双曲线于点A，B和点C，D，M、N分别为AB、CD的中点，连接MN，过坐标原点作MN的垂线，垂足为，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标；若不存在，请说明理由．

大同市2022-2023年度高二期中测试题（数学）

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．CD 10．AD 11．CD 12．BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．-2 14． 15．1 16．③④

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

解：（1）由题意可设点的坐标为，由及两点间的距离公式可得

，整理得．（5分）

（2）圆心到直线的距离，

所以弦的长度．（10分）

18．（12分）

解：（1）证明：连接BD交AC于点，连接EF，则，

∵平面，平面，∴平面ACE．（6分）

（2）以D为原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则，，，，

所以，，

设为平面ACE的法向量，

所以即令，则，，

所以，所以，

所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为．（12分）

19．（12分）

解：（1）由离心率，得，直线AF的斜率为，解得，

∴，，∴椭圆的方程为．（4分）

（2）[答案]设直线，，，

则整理得，∵、是不同的两点，

∴判别式，得，

∴，，

∴，

整理得，解得或（舍去），∴．（12分）

20．（12分）

解：（1）证明：取AC的中点，连接PO，BO，

因为为等边三角形，所以，

在中，有，

又因为，所以，

所以，即，

又因为，，所以平面ABC，

又因为平面PAC，所以平面平面ABC．（6分）

（2）不妨设，在中，，所以，

在底面ABC内作于点，则OD，OC，OP两两垂直，以点为原点，OD所在的直线为轴，OC所在的直线为轴，OP所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，

所以，，，，

设，

则，

设平面MAB的法向量为，

所以，

令，可得，，所以，

易知平面ABC的一个法向量为，

所以，

整理可得，即，解得或（舍去）．

所以，所以当时，二面角的大小为45°．（12分）

21．（12分）

解：（1）∵抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，

∴，∴，∴．

（2）证明：由题意得，过点的抛物线的切线的斜率存在，故可设切线方程为，

代入得，．

∵直线与拋物线相切，∴得，即．

∴，代入并化简得，解得，

设直线NP，NQ的斜率分别为，，则．

∴，，当时，

直线PQ的方程为，整理得，

，

即

．∴直线PQ过定点．

当时，直线PQ的方程为，过点．

综上可得，直线PQ过定点．（12分）

22．（12分）

解：（1）由题可知，

所以双曲线的方程是．（4分）

（2）[答案]存在定点，使得为定值．

由题意可知，若直线AB和CD其中一条没有斜率，则点的坐标为，

直线MN的方程为．当直线AB和CD的斜率都存在时，

因为点，所以设直线AB的方程为，

则直线CD的方程为，设，，，

联立得，

所以，，故，．

设，，，同理可得，，

故，

所以，

所以直线MN的方程为，

化简得，可知直线MN过定点．

又，所以点的运动轨迹是以点为圆心，为直径的圆，

所以存在定点，使得为定值．（12分）