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河南省安阳市文峰区昼锦中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)
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这是一份河南省安阳市文峰区昼锦中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了有下列说法等内容，欢迎下载使用。
河南省安阳市文峰区昼锦中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cm
C．0.1cm，0.1cm，0.1cm D．3cm，40cm，8cm
2．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
A．太阳能热水器 B．篮球架
C．三脚架 D．活动衣架
3．已知三角形的两边长分别为6cm和8cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边上的中线是（ ）
A．1cm B．2cm C．12cm D．14cm
4．有下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；
②等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；
④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．根据下列已知条件，能确定△ABC的形状和大小的是（ ）
A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
B．∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm
C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°
D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°
6．下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
7．将直角三角板AOB和直角三角板COD按如图方式摆放（直角顶点重合），已知∠AOC＝45°，则∠DEB的度数是（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
8．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
9．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
10．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，已知BC＝BD，要证明△ABC≌△ABD，还需添加的一个条件是 ．（只填一个条件即可）
12．如图，∠1：∠2：∠3＝1：3：6，则∠4＝ ．
13．已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的锐角为40°，则∠A的度数是 ．
14．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为 ．
15．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为 s．
三.解答题（共75分）
16．（7分）已知一个多边形的内角和比外角和多540°，请求出它是几边形？
17．（8分）如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，AB＝CD，AE＝DF，∠A＝∠D，BF与EC相交于点M．求证：∠E＝∠F．
18．（9分）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
19．（8分）如图，已知F、G是OA上两点，M、N是OB上两点，且FG＝MN，S△PFG＝S△PMN，试问：点P是否在∠AOB的平分线上？
20．（9分）如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA＝BD，∠BAD＝∠BDA，求证：AC＝2AE．
21．（11分）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD．
求证：（1）DE平分∠ADC；
（2）AD＝AB+CD．
22．（11分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．
23．（12分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，写出△ABD≌△ACE的理由；
（2）如图2，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，直接写出∠BCE的度数；
（3）如图3，若∠BCE＝α，∠BAC＝β，点D在线段CB的延长线上时，则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cm
C．0.1cm，0.1cm，0.1cm D．3cm，40cm，8cm
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：A.3cm，5cm，8cm中，3+5＝8，故不能组成三角形；
B.8cm，8cm，18cm中，8+8＜18，故不能组成三角形；
C.0.1cm，0.1cm，0.1cm中，任意两边之和大于第三边，故能组成三角形；
D.3cm，40cm，8cm中，3+8＜40，故不能组成三角形；
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
A．太阳能热水器 B．篮球架
C．三脚架 D．活动衣架
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【解答】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
B、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
C、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
D、没有应用到三角形的稳定性，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
3．已知三角形的两边长分别为6cm和8cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边上的中线是（ ）
A．1cm B．2cm C．12cm D．14cm
【分析】构造平行四边形ABCD，根据三角形三边关系求得BD的取值范围，即可得出OB的取值范围．
【解答】解：如下图所示，△ABC中AB＝8cm，BC＝6cm．
过A、C分别作BC和AB的平行线，则四边形ABCD为平行四边形．
∴AD＝BC＝6cm，AO＝OC，BO＝OD，
∴OB为△ABC的中线，，
∵在△ABD中，AB﹣AD＜BD＜AB+AD，
∴2cm＜BD＜14cm，
∴1cm＜OB＜7cm，符合题意的只有选项B，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，三角形三边关系，能借助平行四边形对角线互相平分构造图形分析是解题关键．
4．有下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；
②等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；
④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据等腰三角形的定义判定等边三角形是等腰三角形；
②举出特例等腰直角三角形，判定等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形共三条边，若按边分类，可分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形；
④三角形中最大的角可能是锐角可能是直角，也可能是钝角，按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
【解答】①有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等边三角形是腰和底相等的等腰三角形，故①正确；
②等腰直角三角形是等腰三角形也是直角三角形，所以等腰三角形也可能是直角三角形，故②正确；
③三角形共三条边，若按边分类，分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形，故③错误；
④根据三角形中最大的角可以分为锐角、直角、钝角，所以按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查三角形，熟练掌握三角形的定义及分类是解题的关键．
5．根据下列已知条件，能确定△ABC的形状和大小的是（ ）
A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
B．∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm
C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°
D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°
【分析】根据全等三角形的判定方法，若各选项的条件满足三角形全等的条件，则可确定三角形的形状和大小，否则三角形的形状和大小不能确定．
【解答】解：A、∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC的形状和大小不能确定，故不符合题意；
B、∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm，则利用“ASA”可判断△ABC是唯一的，故符合题意；
C、AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°，△ABC的形状和大小不能确定，故不符合题意；
D、AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°，△ABC的形状和大小不能确定，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
6．下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．
【解答】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是△ABC的高，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键．
7．将直角三角板AOB和直角三角板COD按如图方式摆放（直角顶点重合），已知∠AOC＝45°，则∠DEB的度数是（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据三角形的外角的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解∵∠AOC＝45°，∠C＝45°，
∴∠AFD＝∠CFO＝90°，
在△AEF中，
∵∠A＝30°，∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝60°，
∴∠DEB＝∠AEF＝60．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．
8．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点是非常重要的．
9．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
【解答】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；
D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
10．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【分析】根据题目中的条件，可以得到OC＝OD，MC＝MD，再根据OM＝OM，即可得到△OMC≌△OMD，并写出依据即可．
【解答】解：由题意可得，
OC＝OD，MC＝MD，
又∵OM＝OM，
∴△OMC≌△OMD（SSS），
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，已知BC＝BD，要证明△ABC≌△ABD，还需添加的一个条件是 AC＝AD（答案不唯一） ．（只填一个条件即可）
【分析】根据SSS证明△ABC≌△ABD即可．
【解答】解：添加AC＝AD（答案不唯一），理由如下：
在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
12．如图，∠1：∠2：∠3＝1：3：6，则∠4＝ 100° ．
【分析】由平角的定义可得∠2+∠3＝180°，从而可求得∠1＝20°，则∠3＝120°，利用三角形的外角性质即可求∠4的度数．
【解答】解：∵∠1：∠2：∠3＝1：3：6，
∴∠2＝3∠1，∠3＝6∠1，
∵∠2+∠3＝180°，
∴3∠1+6∠1＝180°，
解得：∠1＝20°，
∴∠3＝120°，
∵∠3是△ABC的外角，
∴∠1+∠4＝∠3，
∴∠4＝∠3﹣∠1＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
13．已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的锐角为40°，则∠A的度数是 140°或40° ．
【分析】分两种情况：①若∠BAC与这个40°的角在一个四边形BCDE内，利用三角形的外角性质计算即可；②若∠BAC与这个40°的角不在一个四边形BCDE内，利用四边形内角和定理计算即可．
【解答】解：①若∠BAC与这个40°的角在一个四边形BCDE内，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠E＝∠D＝90°，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BAD＝140°；
②若∠BAC与这个40°的角不在一个四边形BCDE内，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠BFE＝40°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣（180°﹣40°）＝40°；
故答案为：140°或40°．
【点评】此题考查了四边形内角和定理及三角形的外角定理，解题的关键是考虑高在三角形内和三角形外两种情况，掌握三角形的外角性质和四边形内角和等于360° 是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为 27 ．
【分析】过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM＝GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．
【解答】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，
根据作图过程可知：
BG是∠ABC的平分线，
∴GM＝GN，
∵△ABG的面积为18，
∴AB×GM＝18，
∴4GM＝18，
∴GM＝，
∴△CBG的面积为：BC×GN＝12×＝27．
故答案为：27．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
15．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为 1或4 s．
【分析】由条件分两种情况，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，由条件可得到关于t的方程，当△BPE≌△CPQ，则有BP＝PC，同样可得出t的方程，可求出t的值．
【解答】解：
∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm，
∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，
当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，
当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，
故答案为：1或4．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由条件分两种情况得到关于t的方程是解题的关键．
三.解答题（共75分）
16．（7分）已知一个多边形的内角和比外角和多540°，请求出它是几边形？
【分析】设它的边数为n，根据多边形的内角和公式和外角和360°可得方程180（n﹣2）﹣360＝540，再解方程即可．
【解答】解：设它的边数为n，由题意得：
180（n﹣2）﹣360＝540，
解得n＝7，
答：它是七边形．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和与外角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）．180 （n≥3且n为整数）．
17．（8分）如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，AB＝CD，AE＝DF，∠A＝∠D，BF与EC相交于点M．求证：∠E＝∠F．
【分析】根据SAS证明△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AC＝BD，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（SAS），
∴∠E＝∠F．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18．（9分）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案．
【解答】解：（1）△OBD与△COE全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS）；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.6m和2m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2﹣1.6＝0.4（m），
∵AD＝1.2m，
∴AE＝AD+DE＝1.6（m），
答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．
19．（8分）如图，已知F、G是OA上两点，M、N是OB上两点，且FG＝MN，S△PFG＝S△PMN，试问：点P是否在∠AOB的平分线上？
【分析】过点P分别向OA，OB作垂线，再根据FG＝MN，S△PFG＝S△PMN即可得出PE＝PH，由此可得出结论．
【解答】解：点P在∠AOB的平分线上．
理由：过点P分别向OA，OB作垂线，
∵S△PFG＝FG•PE，S△PMN＝MN•PH，FG＝MN，S△PFG＝S△PMN，
∴PH＝PE，
∴点P是在∠AOB的平分线上．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
20．（9分）如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA＝BD，∠BAD＝∠BDA，求证：AC＝2AE．
【分析】由AE为中线，得到BE＝ED，再由AE＝EF，且夹角为对顶角相等，利用SAS得到三角形ABE与三角形FDE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，利用外角性质及等式的性质得到∠ADF＝∠ADC，利用SAS得到三角形ADF与三角形ADC全等，利用全等三角形的对应边相等得到AF＝AC，由AE＝AF，等量代换即可得证．
【解答】证明：延长AE到F，使EF＝AE，连接DF，如图：
∵AE是△ABD的中线，
∴BE＝ED，
在△ABE与△FDE中，
，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB＝DF，∠B＝∠BDF，
∵EF＝AE，
∴AD＝DF，
∵AB＝AD＝DC，
∴DF＝DC，
∵∠ADC是△ADB的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADB＝∠BAD，
∴∠ADC＝∠BDA+∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADC，
在△ADF与△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴AF＝AC，
∵AF＝AE+EF，AE＝EF，
∴AC＝2AE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
21．（11分）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD．
求证：（1）DE平分∠ADC；
（2）AD＝AB+CD．
【分析】（1）由角平分线的性质得到EB＝EC，等量代换得到EF＝EC，利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由（1）得出FD＝CD，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，得到AF＝AB，再根据线段的和差即可得解．
【解答】证明：（1）如图，过E作EF⊥AD于F，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴EB＝EF，
∵点E是BC的中点，
∴EB＝EC，
∴EF＝EC，
∵DC⊥BC，EF⊥AD，
∴∠EFD＝∠ECD＝90°，
在Rt△EFD和Rt△ECD中，
，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL），
∴∠FDE＝∠CDE，
∴DE平分∠ADC；
（2）由（1）知，Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴FD＝CD，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），
∴AF＝AB，
∵AD＝AF+FD，
∴AD＝AB+CD．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解决问题的关键．
22．（11分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．
【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC＝85°，∠CAE＝25°，由角平分线的性质可得∠CAD＝42.5°，即可求得∠DAE；
（2）由三角形内角和定理可得∠BAC＝85°，∠CGE＝25°，从而可得∠AGF＝∠CGE＝25°，由角平分线的性质可得∠CAD＝42.5°，从而可得∠FAG＝137.5°，由三角形内角和定理即可求得∠DFE．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝42.5°，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝25°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝17.5°；
（2）如图，
∵∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝42.5°，
∴∠FAG＝180°﹣∠CAD＝137.5°，
∵EF⊥BC，
∴∠CGE＝25°，
∴∠AGF＝25°，
∴∠DFE＝180°﹣∠AGF﹣∠FAG＝17.5°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，角平分线的性质．
23．（12分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，写出△ABD≌△ACE的理由；
（2）如图2，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，直接写出∠BCE的度数；
（3）如图3，若∠BCE＝α，∠BAC＝β，点D在线段CB的延长线上时，则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．
【分析】（1）根据题意得到∠BAD＝∠CAE，利用SAS定理证明△ABD≌△ACE；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝45°，根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠ABD＝45°，结合图形计算，得到答案；
（3）根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠ABD，根据三角形的外角性质计算，证明结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°；
（3）解：α＝β．
理由如下：同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BCE＝α，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACB+α，
∵∠ABD是△ABC的一个外角，
∴∠ABD＝∠ACB+∠BAC＝∠ACB+β，
∴α＝β．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定定理和性质定理、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
河南省安阳市文峰区昼锦中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cm
C．0.1cm，0.1cm，0.1cm D．3cm，40cm，8cm
2．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
A．太阳能热水器 B．篮球架
C．三脚架 D．活动衣架
3．已知三角形的两边长分别为6cm和8cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边上的中线是（ ）
A．1cm B．2cm C．12cm D．14cm
4．有下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；
②等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；
④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．根据下列已知条件，能确定△ABC的形状和大小的是（ ）
A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
B．∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm
C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°
D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°
6．下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
7．将直角三角板AOB和直角三角板COD按如图方式摆放（直角顶点重合），已知∠AOC＝45°，则∠DEB的度数是（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
8．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
9．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
10．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，已知BC＝BD，要证明△ABC≌△ABD，还需添加的一个条件是 ．（只填一个条件即可）
12．如图，∠1：∠2：∠3＝1：3：6，则∠4＝ ．
13．已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的锐角为40°，则∠A的度数是 ．
14．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为 ．
15．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为 s．
三.解答题（共75分）
16．（7分）已知一个多边形的内角和比外角和多540°，请求出它是几边形？
17．（8分）如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，AB＝CD，AE＝DF，∠A＝∠D，BF与EC相交于点M．求证：∠E＝∠F．
18．（9分）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
19．（8分）如图，已知F、G是OA上两点，M、N是OB上两点，且FG＝MN，S△PFG＝S△PMN，试问：点P是否在∠AOB的平分线上？
20．（9分）如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA＝BD，∠BAD＝∠BDA，求证：AC＝2AE．
21．（11分）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD．
求证：（1）DE平分∠ADC；
（2）AD＝AB+CD．
22．（11分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．
23．（12分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，写出△ABD≌△ACE的理由；
（2）如图2，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，直接写出∠BCE的度数；
（3）如图3，若∠BCE＝α，∠BAC＝β，点D在线段CB的延长线上时，则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cm
C．0.1cm，0.1cm，0.1cm D．3cm，40cm，8cm
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：A.3cm，5cm，8cm中，3+5＝8，故不能组成三角形；
B.8cm，8cm，18cm中，8+8＜18，故不能组成三角形；
C.0.1cm，0.1cm，0.1cm中，任意两边之和大于第三边，故能组成三角形；
D.3cm，40cm，8cm中，3+8＜40，故不能组成三角形；
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
A．太阳能热水器 B．篮球架
C．三脚架 D．活动衣架
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【解答】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
B、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
C、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
D、没有应用到三角形的稳定性，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
3．已知三角形的两边长分别为6cm和8cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边上的中线是（ ）
A．1cm B．2cm C．12cm D．14cm
【分析】构造平行四边形ABCD，根据三角形三边关系求得BD的取值范围，即可得出OB的取值范围．
【解答】解：如下图所示，△ABC中AB＝8cm，BC＝6cm．
过A、C分别作BC和AB的平行线，则四边形ABCD为平行四边形．
∴AD＝BC＝6cm，AO＝OC，BO＝OD，
∴OB为△ABC的中线，，
∵在△ABD中，AB﹣AD＜BD＜AB+AD，
∴2cm＜BD＜14cm，
∴1cm＜OB＜7cm，符合题意的只有选项B，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，三角形三边关系，能借助平行四边形对角线互相平分构造图形分析是解题关键．
4．有下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；
②等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；
④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据等腰三角形的定义判定等边三角形是等腰三角形；
②举出特例等腰直角三角形，判定等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形共三条边，若按边分类，可分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形；
④三角形中最大的角可能是锐角可能是直角，也可能是钝角，按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
【解答】①有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等边三角形是腰和底相等的等腰三角形，故①正确；
②等腰直角三角形是等腰三角形也是直角三角形，所以等腰三角形也可能是直角三角形，故②正确；
③三角形共三条边，若按边分类，分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形，故③错误；
④根据三角形中最大的角可以分为锐角、直角、钝角，所以按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查三角形，熟练掌握三角形的定义及分类是解题的关键．
5．根据下列已知条件，能确定△ABC的形状和大小的是（ ）
A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
B．∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm
C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°
D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°
【分析】根据全等三角形的判定方法，若各选项的条件满足三角形全等的条件，则可确定三角形的形状和大小，否则三角形的形状和大小不能确定．
【解答】解：A、∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC的形状和大小不能确定，故不符合题意；
B、∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm，则利用“ASA”可判断△ABC是唯一的，故符合题意；
C、AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°，△ABC的形状和大小不能确定，故不符合题意；
D、AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°，△ABC的形状和大小不能确定，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
6．下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．
【解答】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是△ABC的高，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键．
7．将直角三角板AOB和直角三角板COD按如图方式摆放（直角顶点重合），已知∠AOC＝45°，则∠DEB的度数是（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据三角形的外角的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解∵∠AOC＝45°，∠C＝45°，
∴∠AFD＝∠CFO＝90°，
在△AEF中，
∵∠A＝30°，∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝60°，
∴∠DEB＝∠AEF＝60．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．
8．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点是非常重要的．
9．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
【解答】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；
D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
10．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【分析】根据题目中的条件，可以得到OC＝OD，MC＝MD，再根据OM＝OM，即可得到△OMC≌△OMD，并写出依据即可．
【解答】解：由题意可得，
OC＝OD，MC＝MD，
又∵OM＝OM，
∴△OMC≌△OMD（SSS），
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，已知BC＝BD，要证明△ABC≌△ABD，还需添加的一个条件是 AC＝AD（答案不唯一） ．（只填一个条件即可）
【分析】根据SSS证明△ABC≌△ABD即可．
【解答】解：添加AC＝AD（答案不唯一），理由如下：
在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
12．如图，∠1：∠2：∠3＝1：3：6，则∠4＝ 100° ．
【分析】由平角的定义可得∠2+∠3＝180°，从而可求得∠1＝20°，则∠3＝120°，利用三角形的外角性质即可求∠4的度数．
【解答】解：∵∠1：∠2：∠3＝1：3：6，
∴∠2＝3∠1，∠3＝6∠1，
∵∠2+∠3＝180°，
∴3∠1+6∠1＝180°，
解得：∠1＝20°，
∴∠3＝120°，
∵∠3是△ABC的外角，
∴∠1+∠4＝∠3，
∴∠4＝∠3﹣∠1＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
13．已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的锐角为40°，则∠A的度数是 140°或40° ．
【分析】分两种情况：①若∠BAC与这个40°的角在一个四边形BCDE内，利用三角形的外角性质计算即可；②若∠BAC与这个40°的角不在一个四边形BCDE内，利用四边形内角和定理计算即可．
【解答】解：①若∠BAC与这个40°的角在一个四边形BCDE内，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠E＝∠D＝90°，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BAD＝140°；
②若∠BAC与这个40°的角不在一个四边形BCDE内，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠BFE＝40°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣（180°﹣40°）＝40°；
故答案为：140°或40°．
【点评】此题考查了四边形内角和定理及三角形的外角定理，解题的关键是考虑高在三角形内和三角形外两种情况，掌握三角形的外角性质和四边形内角和等于360° 是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为 27 ．
【分析】过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM＝GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．
【解答】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，
根据作图过程可知：
BG是∠ABC的平分线，
∴GM＝GN，
∵△ABG的面积为18，
∴AB×GM＝18，
∴4GM＝18，
∴GM＝，
∴△CBG的面积为：BC×GN＝12×＝27．
故答案为：27．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
15．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为 1或4 s．
【分析】由条件分两种情况，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，由条件可得到关于t的方程，当△BPE≌△CPQ，则有BP＝PC，同样可得出t的方程，可求出t的值．
【解答】解：
∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm，
∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，
当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，
当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，
故答案为：1或4．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由条件分两种情况得到关于t的方程是解题的关键．
三.解答题（共75分）
16．（7分）已知一个多边形的内角和比外角和多540°，请求出它是几边形？
【分析】设它的边数为n，根据多边形的内角和公式和外角和360°可得方程180（n﹣2）﹣360＝540，再解方程即可．
【解答】解：设它的边数为n，由题意得：
180（n﹣2）﹣360＝540，
解得n＝7，
答：它是七边形．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和与外角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）．180 （n≥3且n为整数）．
17．（8分）如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，AB＝CD，AE＝DF，∠A＝∠D，BF与EC相交于点M．求证：∠E＝∠F．
【分析】根据SAS证明△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AC＝BD，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（SAS），
∴∠E＝∠F．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18．（9分）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案．
【解答】解：（1）△OBD与△COE全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS）；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.6m和2m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2﹣1.6＝0.4（m），
∵AD＝1.2m，
∴AE＝AD+DE＝1.6（m），
答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．
19．（8分）如图，已知F、G是OA上两点，M、N是OB上两点，且FG＝MN，S△PFG＝S△PMN，试问：点P是否在∠AOB的平分线上？
【分析】过点P分别向OA，OB作垂线，再根据FG＝MN，S△PFG＝S△PMN即可得出PE＝PH，由此可得出结论．
【解答】解：点P在∠AOB的平分线上．
理由：过点P分别向OA，OB作垂线，
∵S△PFG＝FG•PE，S△PMN＝MN•PH，FG＝MN，S△PFG＝S△PMN，
∴PH＝PE，
∴点P是在∠AOB的平分线上．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
20．（9分）如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA＝BD，∠BAD＝∠BDA，求证：AC＝2AE．
【分析】由AE为中线，得到BE＝ED，再由AE＝EF，且夹角为对顶角相等，利用SAS得到三角形ABE与三角形FDE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，利用外角性质及等式的性质得到∠ADF＝∠ADC，利用SAS得到三角形ADF与三角形ADC全等，利用全等三角形的对应边相等得到AF＝AC，由AE＝AF，等量代换即可得证．
【解答】证明：延长AE到F，使EF＝AE，连接DF，如图：
∵AE是△ABD的中线，
∴BE＝ED，
在△ABE与△FDE中，
，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB＝DF，∠B＝∠BDF，
∵EF＝AE，
∴AD＝DF，
∵AB＝AD＝DC，
∴DF＝DC，
∵∠ADC是△ADB的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADB＝∠BAD，
∴∠ADC＝∠BDA+∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADC，
在△ADF与△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴AF＝AC，
∵AF＝AE+EF，AE＝EF，
∴AC＝2AE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
21．（11分）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD．
求证：（1）DE平分∠ADC；
（2）AD＝AB+CD．
【分析】（1）由角平分线的性质得到EB＝EC，等量代换得到EF＝EC，利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由（1）得出FD＝CD，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，得到AF＝AB，再根据线段的和差即可得解．
【解答】证明：（1）如图，过E作EF⊥AD于F，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴EB＝EF，
∵点E是BC的中点，
∴EB＝EC，
∴EF＝EC，
∵DC⊥BC，EF⊥AD，
∴∠EFD＝∠ECD＝90°，
在Rt△EFD和Rt△ECD中，
，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL），
∴∠FDE＝∠CDE，
∴DE平分∠ADC；
（2）由（1）知，Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴FD＝CD，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），
∴AF＝AB，
∵AD＝AF+FD，
∴AD＝AB+CD．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解决问题的关键．
22．（11分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．
【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC＝85°，∠CAE＝25°，由角平分线的性质可得∠CAD＝42.5°，即可求得∠DAE；
（2）由三角形内角和定理可得∠BAC＝85°，∠CGE＝25°，从而可得∠AGF＝∠CGE＝25°，由角平分线的性质可得∠CAD＝42.5°，从而可得∠FAG＝137.5°，由三角形内角和定理即可求得∠DFE．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝42.5°，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝25°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝17.5°；
（2）如图，
∵∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝42.5°，
∴∠FAG＝180°﹣∠CAD＝137.5°，
∵EF⊥BC，
∴∠CGE＝25°，
∴∠AGF＝25°，
∴∠DFE＝180°﹣∠AGF﹣∠FAG＝17.5°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，角平分线的性质．
23．（12分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，写出△ABD≌△ACE的理由；
（2）如图2，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，直接写出∠BCE的度数；
（3）如图3，若∠BCE＝α，∠BAC＝β，点D在线段CB的延长线上时，则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．
【分析】（1）根据题意得到∠BAD＝∠CAE，利用SAS定理证明△ABD≌△ACE；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝45°，根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠ABD＝45°，结合图形计算，得到答案；
（3）根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠ABD，根据三角形的外角性质计算，证明结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°；
（3）解：α＝β．
理由如下：同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BCE＝α，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACB+α，
∵∠ABD是△ABC的一个外角，
∴∠ABD＝∠ACB+∠BAC＝∠ACB+β，
∴α＝β．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定定理和性质定理、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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