北师大版 初中数学 九年级上册 第二章 一元二次方程【过关测试】

第二章   一元二次方程

过关测试

【知识梳理】

知识点1  一元二次方程的概念及解法

一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.

一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数

一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.

1. 形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法
2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是：

①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；

②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；

3. 公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a、b、c的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论

（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac

 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；

 当△＜0时，没有实数根．反过来也成立

（2）一元二次方程的求根公式是

移项得：

二次项系数化为1，得：

：

即

当时，

即

∴

4. 因式分解法的一般步骤是：

①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；

③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解

知识点2：根与系数的关系

根与系数关系又称为韦达定理：

(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝

(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q

知识点3：一元二次方程的应用

列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.审题一定要看清楚数值是总量还是经过2次变化后的量。

一件商品的利润=售价-进价。

总利润=一件商品的利润×卖出去的数量。

【过关练习】

一、单选题

1．（2021·江苏九年级一模）若，则是（    ）

A．-2 B．2 C．-2或2 D．4

【答案】C

2．（2021·河南九年级二模）能说明命题“关于的方程一定有实根”是假命题的反例为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

3．（2021·广西九年级三模）若一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为（    ）

A． B．3 C． D．4

【答案】C

4．（2021·广东九年级一模）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（    ）

A．x（x﹣1）＝240 B．x（x﹣1）＝240

C．x（x＋1）＝240 D．x（x＋1）＝240

【答案】A

5．（2021·江苏九年级一模）关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（    ）

A．两个正根 B．两个负根

C．一个正根，一个负根 D．无实数根

【答案】A

6．（2021·广西）关于x的一元二次方程：的解与方程的解相同，则（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

7．（2021·湖北九年级二模）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

【答案】D

8．（2021·河南）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解方法：先构造边长为的正方形，再分别以，为边作另一边长5的长方形，最后得到四边形是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列一元二次方程（    ）的解．

A． B． C． D．

【答案】C

9．（2021·河南）为实数，，那么的值为（    ）

A．1 B．或1 C． D．4或

【答案】A

10．（2021·安徽合肥38中九年级二模）如图，在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

解：如图，当在的两侧时，设 则

矩形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点，

四边形 四边形都是矩形，

由勾股定理得：

整理得：

如图，当在的右侧时，设

同理可得：

解得： 不合题意舍去，

如图，当都在的左侧时，设

同理可得：

解得： 不合题意舍去，

综上：满足条件的点只有个，

故选：

11．（2020·山东九年级其他模拟）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（   ）

A．或 B． C． D．

【答案】B

12．（2021·广东九年级专题练习）如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点分别在和上，下列结论：，其中正确的序号是(　　)

A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④

【答案】A

二、填空题

13．（2021·新疆九年级二模）有一人感染了传染性很强的病毒，经过两轮传染后共有625人患病，每轮传染中平均一人传染______人．

【答案】24

14．（2021·江苏九年级二模）已知方程的根是和，则______．

【答案】2

15．（2021·山东九年级二模）用公式法解一元二次方程，得y＝，请你写出该方程___．

【答案】

16．（2021·江苏南师附中新城初中九年级二模）设、是方程的两个根．若，则______．

【答案】2

17．（2021·云南九年级一模）已知关于的不等式组无解，且关于y的一元二次方程有两个实数根，则整数的值可以是______

【答案】3，4．

18．（2021·黑龙江九年级二模）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中说法正确的有______（填序号）．

【答案】①②④

19．（2021·黑龙江九年级三模）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是__________个．

【答案】

20．（2021·山东九年级二模）定义运算a⊗b＝a2－2ab+1，下面给出了关于这种运算的几个结论其中正确的（______）

A．2⊗5＝－15；    B．不等式组的解集为x＜－；

C．方程2x⊗1＝0是一元一次方程；    D．方程⊗x＝+x的解是x＝－1．

【答案】AD

三、解答题

21．（2020·浙江八年级其他模拟）解方程：

（1）             

（2）

解：（1），

∴，

∴，

∴x1=-1，x2=5；

（2），

∴，

∴，

∴，

∴3x+2=0或x-4=0，

∴x1=，x2=4．

22．（2018·浙江）解方程：

（1），          

（2）．

解：（1），

，

∴x1=x2=-5；

（2），

，

，

，

，

∴，．

23．（2021·山东）已知、是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．

解：由已知定理得：，，

∴，

即，解得：，

当时，△=，

∴舍去；

当时， △=，

∴的值为1．

24．（2021·黄山市黄山第二中学九年级月考）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）写出一个m的值，使得该方程有两个不相等的实数根，并求此时方程的根．

解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根，

∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5≥0，

解得：

即m的取值范围是

（2）∵由（1）知：当m＞时，方程有两个不相等的实数根，

∴取m＝1，

则方程为x2+3x＝0，

或

解得：x1＝﹣3，x2＝0，

即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．

25．（2021·内蒙古）“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x－＝0，就可利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2－y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：

（1）填空：若2（x2+y2）2+（x2+y2）＝0，则x2+y2的值为　 　；

（2）解方程：x2－x+2－8＝0．

解：（1）设，则原方程可以转变成

∴

解得或（舍去）

∴

∴

（2）设，则原方程可以转变成

∴

解得或（舍去）

∴

∴

∴

∴即

解得

∴，

26．（2021·湖北九年级一模）背景知识城镇化是指农村人口转化为城镇人口的过程，城镇化率是指一个地区城镇人口数占该地区人口总数的比例．问题解决：截止2016年底，某市人口总数约为400万人，城镇化率为；到2020年底，该市总人口增加了20万人，城镇人口增加了28万人，城镇化率达到．

（1）求2016年该市的城镇化率；

（2）2016年，该市城镇居民人均可支配收入为万元，农村居民人均可支配收入比城镇居民人均可支配收入少万元；2020年，该市城镇居民人均可支配收入是2016年的1.5倍，农村居民人均可支配收入比2016年增长的百分率为n．这样，2020年全市居民人均可支配收入达到2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍．

①用含，的式子表示2016年全市居民的人均可支配收入；

②求的值．

解：（1）由2016年总人数400万，到2020年底，该市总人口增加了20万人，以及2016年城镇化率为，

可得城镇人口为：；

由题意知2016年城镇人口为，加上2020年底增加的28万人，

可得城镇人口为：；

从而列出方程：；

解之得：；

（2）①2016年城镇居民人均可支配收入为万元，农村居民人均可支配收入比城镇居民人均可支配收入少万元，则农村居民人均可支配收入为

故2016年全市居民的人均可支配收入为：，即；

②∵2020年全市居民人均可支配收入为2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍，

∴2020年全市居民人均可支配收入为：，

又∵2020年，该市城镇居民人均可支配收入是2016年的1.5倍

∴2020年，该市城镇居民人均可支配收入为：，

∵2020年，农村居民人均可支配收入比2016年增长的百分率为，

∴2020年，农村居民人均可支配收入为：，

故2020年全市居民人均可支配收入还可以为：，

从而列出方程：，

解之得：，或（舍）．

故答案为：①；②．

27．（2021·江苏九年级三模）已知，，，求代数式的值．

解：∵，，，

∴，，，

则原式．

28．（2021·广东华侨中学九年级二模）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．

（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？

（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．

解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4，

整理得：x2﹣5x+4＝0，

解得：x＝1或x＝4（舍去）．

答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；

（2）由（1）同理可得（5﹣x）2x＝7．

整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，

所以，此方程无解．

所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．

29．（2021·河北九年级一模）如图，直线，与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．

（1）______；点的坐标为______．

（2）求直线的解析表达式；

（3）求的面积；

（4）在直线上存在异于点的另一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的横坐标？

解：（1）∵直线经过点，

，

解得：；

即直线的解析式为；

当y=0时，-3x+3=0，

解得，则；

故答案为：-3，（1,0）；

（2）设直线的解析式为，

∵经过点和点，

∴，

解得：，．

∴直线的解析式为：；

（3）设的面积的面积为；则，

的高为3，则；

（4）存在，

设点P的坐标为（x，），

分三种情况：

①当AP=BP时，点P在线段AB的垂直平分线上，

∵A（4,0），B（1,0），

∴点P的横坐标为：；

②当AP=AB=3时，过点P作PH⊥x轴于点H，

∵，

∴，

解得x=；

③当AB=BP=3时，作PM ⊥x轴于点M，

∵，

∴

解得x=或x=4（舍去）；

综上，符合条件的点的横坐标是，，．