高考数学一轮复习配套课件 第三章 第二节 第5课时 利用导数探究函数的零点问题

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反思感悟　判断函数零点个数的3种方法
【对点训练】已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f (x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；
解析：(1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f (x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.所以f (x)min＝f(1)＝－4a＝－4，所以a＝1.故函数f(x)的解析式为f (x)＝x2－2x－3.
考点二　由函数的零点个数求参数的范围　[综合性][例2]　[2022·榆林市第十中学高三月考]已知函数f(x)＝ax2－ln x－x，a≠0.(1)试讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
反思感悟　已知函数(方程)零点的个数求参数范围(1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理．(2)若函数不是严格单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析．(3)运用分离参数，数形结合等方法，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数．
【对点训练】[2022·重庆南开中学模拟]已知函数f(x)＝x＋ae－x＋1(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；
解析：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝1－ae－x，①当a≤0时，f(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增；②当a>0时，令f′(x)＝0得x＝ln a，当xln a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围．