四川省眉山中学2022-2023学年高二数学（文）上学期期中考试试卷（Word版附解析）

眉山中学高2024届高二上期半期测试数学试题

（文科）

数学试题卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 抛物线的焦点到准线的距离是

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】先根据抛物线的方程求出的值，再根据抛物线的简单性质即可得到．

【详解】由，知＝4，而焦点到准线的距离就是．

故选C．

【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属于基础题．

2. 椭圆与双曲线有相同的焦点，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据椭圆，双曲线标准方程解决即可.

【详解】由题知，椭圆与双曲线的焦点都在轴上，且焦点相同，

所以，

解得（经检验，都符合题意），

故选：C.

3. 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是（    ）

A. 2 B. 1＋ C. 2＋ D. 1＋

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆心到直线的距离加上圆的半径即为圆上点到直线距离的最大值求解出结果.

【详解】因为圆心为，半径，直线的一般式方程为，

所以圆上点到直线的最大距离为：，

故选：B.

【点睛】本题考查圆上点到直线的距离的最大值，难度一般.圆上点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上圆的半径，最小距离等于圆心到直线的距离减去半径.

4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由三视图知原几何是一个长方体挖去一个圆柱后的组合体，由长方体的体积减去圆柱的体积可得．

【详解】

由图可知，该几何体是一个长方体挖去一个圆柱后组合体，所以该几何体的体积为.

故选：A.

5. 圆截直线所得的弦长最短时，实数 （　　）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线方程得到直线经过定点，通过比较点到圆心的距离和半径的大小得到点在圆的内部，再利用几何的方法得到直线时弦长最短，最后利用垂直关系求解即可.

【详解】解：圆：，即，圆心为，半径，

直线：，即，故直线恒过定点，

又，

所以点在圆内部，

所以当直线时弦长最短，又，

所以，即.

故选：D.

6. 如图所示的是一个四边形用斜二测法画出的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底边长都为2的等腰梯形，则原四边形的面积为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由直观图还原成原图是一个如图所示的直角梯形，与轴平行的线段长度不变，与轴平行的线段长度加倍，所以由已知的数据可得，从而可求得答案.

【详解】由直观图还原成原图是一个如图所示的直角梯形，如图所示，

因为在直观图中，,

所以在原图中,

所以原四边形的面积为,

故选：B

7. 设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)

A. 4 B. 3

C. 2 D. 5

【答案】A

【解析】

【详解】由题意知是的中位线，∵，∴，又，∴，故选A.

8. 设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得的最小值.

【详解】在椭圆中，，，，

由椭圆定义可得，，

由余弦定理可得

，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：A.

9. 已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，则可利用几何性质得到，故可得到轴的距离.

【详解】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，

因为是该抛物线上的两点，故，

所以，

又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.

【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.

10. 已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短轴长为（   ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】运用作差法解决即可.

【详解】设直线与椭圆相交于，，

由题意得，

直线的斜率为，

由，两式相减得，

所以，

所以，

所以，

所以椭圆的短轴长为8.

故选：C

11. 圆上到直线的距离为的点共有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

【答案】C

【解析】

【分析】

求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.

【详解】圆可变为，

圆心为，半径为，

圆心到直线的距离，

圆上到直线的距离为的点共有个.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.

12. 已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围.

【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义

在中，由正弦定理得，

因为，

所以，

所以，

因为点在双曲线右支上，

所以，

所以，得，

由双曲线的性质可得，

所以，化简得，

所以，解得，

因为，

所以，

即双曲线离心率的取值范围为，

故选：C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置.

13. 双曲线的渐近线方程为___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据双曲线的渐近线方程的定义求解.

【详解】∵ 双曲线的方程为

∴   双曲线的渐近线方程为，

故答案为：.

14. 三棱锥中，已知两两垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】将三棱锥放在长方体中，则长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，即可求解.

【详解】以线段为相邻的三条棱为长方体，连接,,,即为三棱锥，

∵如图所示，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，

∴则其外接球直径为长方体对角线的长，

设外接球的半径为，则,

解得,

则.

故答案为:.

15. 已知为抛物线上任意一点，抛物线的焦点为，点是平面内一点，则的最小值为_____________．

【答案】6

【解析】

【分析】作准线，为垂足，由抛物线的定义可得，故当三点共线时，最小为．

【详解】由抛物线得，则，准线方程为，作准线，为垂足，如图，

由抛物线的定义可得，

显然当三点共线时，取得最小值为，

所以的最小值是6．

故答案：6．

16. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.

【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，

且，所以四边形为矩形，

设，则，

所以，

，即四边形面积等于.

故答案为：.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 如图是直角梯形，以上底边为轴将梯形旋转一周，得到一个旋转体，求它的表面积和体积．

【答案】表面积，体积

【解析】

【分析】

由题意知，该几何体是一个底面半径为3，高为的圆柱，挖去一个同底，但高为3的圆锥，再求几何体的体积和表面积得解.

【详解】解：由题意知，该几何体是一个底面半径为3，高为的圆柱，挖去一个同底，但高为3的圆锥．

所以

．

【点睛】方法点睛：求几何体的体积常用的方法有：（1）公式法（一般是规则的几何体）；（2）割补法（一般是不规则的几何体）；（3）转化法.

18. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于两点.

（1）求圆A的方程；

（2）当时，求直线的方程.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）求出圆心到直线的距离即为圆半径，从而得圆方程；

（2）由弦长求得弦心距，设出直线方程，由圆心到直线的距离得参数值，从而得直线方程，注意检验斜率不存在的直线是否符合要求．

【小问1详解】

，

所以圆方程为；

【小问2详解】

由题意圆心到直线的距离为，

显然直线满足题意，

在直线斜率存在时，设方程为，即，

，，直线方程为，即，

所以直线方程为或．

19. 已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，，椭圆的离心率等于.

（1）求直线AO的斜率及方程(O为坐标原点)；

（2）直线AO与椭圆的另一个交点为点B，若三角形ABF2的面积等于，求椭圆的方程．

【答案】（1）k＝；y＝x；   

（2）

【解析】

【分析】（1）由＝0可知得到直线OA斜率为，由椭圆的离心率等于求得的值，从而得到直线方程；

（2）由椭圆的对称性可知，，结合离心率可得到c＝a，解方程组求得，从而得到椭圆方程.

【小问1详解】

（1）由＝0，知，

∵椭圆的离心率等于，∴c＝a，可得．

设椭圆方程为．设，由＝0，知，

∴，代入椭圆方程可得，

∴A，故直线AO的斜率k＝，直线AO的方程为y＝x．

【小问2详解】

连接，，，，

由椭圆的对称性可知，，

∴．

又由c＝a，解得，．

故椭圆方程为．

20. 如图，点，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重心，为的中点.

（1）求抛物线的方程和点的坐标；

（2）求点的坐标及所在的直线方程.

【答案】（1）；    

（2）；

【解析】

【分析】(1)将代入求得值，得到点的坐标；

(2) 设点的坐标为，根据即可求出线段中点的坐标；

由得,再求出直线所在直线的方程.

【小问1详解】

由点在抛物线上，有，解得.

所以抛物线方程为，焦点的坐标为.

小问2详解】

由于是的重心，是线段的中点，

所以，设点的坐标为，

则，   

，解得，所以点的坐标为，

由得，

因为为为的中点，故，

所以，

因此所在直线的方程为，

即.

21. 已知椭圆的短轴长为，离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若分别是椭圆的左､右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值．

【答案】（1）；（2）3．

【解析】

【分析】

（1）由题意, 列出方程组，求得，即可得到椭圆的标准方程；

（2）设，设直线的方程为，根据根与系数的关系，求得

，结合三角形的面积公式，得到，利用换元法，结合函数的单调性，即可求解.

【详解】（1）由题意, 椭圆短轴长为，离心率．

可得  ，解得，故椭圆的标准方程为.

（2）设，

因为直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由，得，

所以，

又因直线与椭圆交于不同的两点，故，即，

则，

令，则，

则．

令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，

即当时，在上单调递增，因此有，所以，

即当时，最大，

故当直线的方程为时，面积的最大值为3．

【点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：

1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；

2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.

22. 已知椭圆离心率为，椭圆上的点到右焦点的最近距离为，若椭圆与轴交于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线交直线于点，直线交直线于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）试探求以为直径的圆是否恒经过轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

【答案】（1）

（2）恒过定点

【解析】

【分析】（1）根据题意，列出方程组，求解即可得出结果；

（2）先记直线、的斜率分别为、，设，表示出，根据在椭圆上，进而可得，设，可得，得到以为直径的圆的方程，进而可得出结果.

【详解】（1）由题意得： ，椭圆的方程为：

（2）记直线、的斜率分别为、，设的坐标分别为，，，所以， .

因为在椭圆上，所以，所以，，

设， ，则，，所以，又..

因为的中点为，，所以，以为直径的圆的方程为：.

令，得，所以，将两点代入检验恒成立.

所以，以为直径的圆恒过轴上的定点