江苏省新海高级中学2022-2023学年高一数学上学期10月学情调研试卷（Word版附解析）

2022年江苏省新海高级中学高一年级10月学情调研测试

数学试卷

命题人、审校人：李娟、顾秋婷、颜冬生  时间：2022.10.07

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1. 命题“，都有”的否定是（    ）

A. ，使得 B. ，都有

C. ，使得 D. ，使得

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称命题的否定得解.

【详解】根据全程命题的否定得：命题“，都有”的否定是： ，使得，

故选：A.

2. 集合，若，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据元素和集合之间的关系求解即可．

【详解】∵集合，，

∴，即，

故选：C

3. 若，，则下列不等式中正确的是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可．

【详解】对于：因为，所以，则，故正确；

对于：因为，所以，故错误；

对于：当时，，故错误；

对于：由，，可得，故正确；

故选：AD．

4. 在欧几里得之后，获得与均值不等式等价结果的数学家是芝诺多鲁斯，他写了一本名为《论等周图形》的书，专门研究等周问题，在书中他给了这样一个命题：“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大．”由此可知，若一个矩形的长为a，宽为b，则与这个矩形周长相等的所有四边形中，面积最大值为（    ）

A.  B.  C.  D. ab

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意结合基本不等式计算可得.

【详解】由题知矩形周长为定值，所以面积，当且仅当时取“=”.

故选：A.

5. 设全集，集合，，则值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合及其补集情况分情况讨论即可.

【详解】由已知得，

所以或，

解得，

故选：D.

6. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ）

A. –4 B. –2 C. 2 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.

【详解】求解二次不等式可得：，

求解一次不等式可得：

由于，故：，解得：.

故选：B.

【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7. 若a，b都是正数，且，则的最小值是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】把化成，利用常数1的代换，将化成，再利用基本不等式求出其最小值.

【详解】，，

由 a，b都是正数，则，

，

当且仅当，即时等号成立；

所以的最小值是3.

故选：B.

8. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由“，”为假命题，可得“”， ，为真命题，可知A，B，D不正确，即可得出答案.

【详解】若“，”为假命题，所以“”， ，为真命题，

所以A，B，D不正确 ，排除A，B，D．

故选：C．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 使不等式成立的一个充分条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】解出不等式的解集，转化为求解集的子集即可得解.

【详解】由可化为，

可得，解得或，

故使不等式成立的一个充分条件是的子集，

因为，,，

所以,,是使不等式成立的一个充分条件.

故选：ACD

10. 下列四个命题中，正确的是（    ）

A. 若，，则 B. 若，且，则

C. 若，，则 D. 若，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用赋值法、作差比较法及不等式的性质即可求解.

【详解】对A：取，，则，故选项A错误；

对B：因为，，所以，故选项B正确；

对C：因为，，所以，故选项C正确；

对D：因为，所以，，所以，故选项D正确.

故选：BCD.

11. 不等式组的解集记为D，下列四个命题中真命题是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

分析】

作出不等式组的表示的区域，对四个选项分别画出的平面区域与区域逐一分析即可,注意对全(特)称命题的理解.

【详解】作出图形如下：

由图知，区域为直线与相交的上部角型区域，

：区域D在区域的上方，故：成立；

：在直线的右上方和区域重叠的区域内，，故：正确；

：由图知，区域有部分在直线的上方，因此：错误；

：的区域（左下方的虚线区域）恒在区域下方，故：错误；

故选：AB．

【点睛】本题考查在不等式(组)表示平面区域背境下的全(特)称命题真假的判断.

全(特)称命题真假的判断方法：

(1)全称命题:要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合中的每一个元素，证明成立；要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.

(2)特称命题:要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合中，找到一个，使成立即可，否则这一特称命题就是假命题.

12. 设集合是实数集的子集，如果点满足：对，，且，使得成立，则称为集合的核心点，则在下列集合中，以1为核心点的集合有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】由集合的核心点的定义，逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合的核心点的定义，进而得到答案．

【详解】对于，对，存在，且，使得，故1为集合的核心点；

对于，对，不存在，且，使得即成立，故1不是集合的核心点；

对于，对，不存在，且，使得即成立，故1不是集合核心点；

对于，对，存在且，使得即成立，故1为集合的核心点，

故选：AD．

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13. 能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【详解】分析：举出一个反例即可．

详解：当时，

不成立，

即可填．

点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．

14. 若，恒成立，则实数k的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】构造函数，利用函数的图象与轴交点情况，应用判别式即可求出实数的取值范围．

【详解】设函数，由题意知关于的不等式的解集为，

所以对任意的属于，都有；

当时，函数是关于的抛物线，抛物线必开口向上，且与轴无交点；

应满足，

解得；

当时，，满足；

当时，，不满足恒成立；

综上知，的取值范围是．

故答案为：．

15. 若不等式的解集是，则不等式的解集是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意得到是方程的根，求得且，进而化简不等式，即可求解.

【详解】因为不等式的解集是，

所以是方程的根，且，

即，且，可得，

则不等式可化为，

因为，解得，

即不等式的解集为.

故答案为：.

16. 若，，且点在反比例函数的象上，则的最小值是______．

【答案】8

【解析】

【分析】由题意可得，代入化简得到原式为，利用基本不等式求出结果.

【详解】点在反比例函数的象上，

，即，

，，

，

当且仅当时取等号，

的最小值是8.

故答案为：8

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤.

17. 已知集合，．

（1）求；

（2）列举的所有子集．

【答案】（1）   

（2），，，，，，，

【解析】

【分析】（1）解不等式并用列举法表示集合，进而可得；

（2）根据集合与，写出，进而可得其所以子集.

【小问1详解】

由，，

所以；

【小问2详解】

由（1）得，

所以的子集有：，，，，，，，.

18. 已知关于x的方程．

（1）若方程无实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程有两个小于的实数根，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）一元二次方程无实根则判别式小于0即可得解；

（2）若此方程有两个根均在，利用根的分布列出不等式组即求实数m的取值范围．

【小问1详解】

因为方程无实数根，

所以，解得，

即实数m的取值范围为.

【小问2详解】

设,

由题意则需，解得，

故的取值范围为.

19. 设全集，在下列三个条件中①；②“”是“”的充分不必要条件；③任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若______，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）化简集合A与之后求并集；

（2）选择①②③条件后，先判断集合A与的关系，再根据集合的关系列出不等式组,求的取值范围.

【小问1详解】

当时，集合，，

所以；

【小问2详解】

，

若选择①，则，

因为，所以，

又，

所以，解得，

所以实数的取值范围是．

若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，

因为，所以， 又，

所以且等号不同时成立，解得，

所以实数的取值范围是．

若选择③，，则

因为，所以，

又，

所以，解得，

所以实数的取值范围是．

20. 已知实数，，且满足．

（1）求xy的最小值；

（2）对任意的，，均有成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）4    （2）

【解析】

【分析】（1）由已知得，根据基本不等式计算得解；

（2）对任意的，，均有成立，只需，

由已知得，根据“1”的代换求的最小值，继而得解.

【小问1详解】

实数，，由得，

根据基本不等式得，所以，

所以，当且仅当时取“=”，

所以 xy的最小值为4.

【小问2详解】

对任意的，，均有成立，只需，

由得，即，

，

当且仅当求，即时取“=”，

，解得．

21. 某医院需要建造隔离病房和药物仓库，已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的离（千米）的关系为：．若距离为千米时，隔离病房建造费用为万元，为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每千米成本为万元，设为建造病房与修路费用之和．

（1）求的表达式：

（2）当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小?并求出最小值．

【答案】（1）   

（2）当隔离病房与药物仓库距离为千米时，可使得总费用最小为万元.

【解析】

【分析】（1）由已知得当时，，代入可得，则；

（2）利用基本不等式求最值即可.

【小问1详解】

由已知得当时，，代入可得，解得，

所以，

所以总费用；

【小问2详解】

由（1）得，

所以（万元），

当且仅当，即时，等号成立，

所以当隔离病房与药物仓库距离为千米时，可使得总费用最小为万元.

22. 已知二次函数，不等式对恒成立．

（1）求的值；

（2）若该二次函数图象与x轴有且只有一个交点

①求实数a，b的值；

②解关于x的不等式．

【答案】（1）4；    （2）① ②见解析.

【解析】

【分析】（1）根据求出，代入不等式即可得解；

（2）①利用恒成立，可知判别式小于等于0，再由二次函数图象与x轴有且只有一个交点知其判别式等于0，联立即可得解；②对分类讨论，当不等式为二次不等式时再结合对应函数的开口方向及判别式求解即可.

【小问1详解】

因为对恒成立，

令，解得，

所以当时，，即.

【小问2详解】

①因为恒成立，即恒成立，

所以，

所以，，

因为二次函数图象与x轴有且只有一个交点，

所以，即，解得，

所以.

②由①知，，

所以即为，

当时，不等式为，解得，

当时，恒成立，由解得，

，所以的解为，

当时，时，即时，

由解得，，

所以的解为或.

当时，即时，由解得，

所以的解为.

当时，即时，无解，

所以的解为.

综上，时，，时，，

时，，

时，，时，.