《高考总复习》数学 第二章 第15讲 导数的意义及运算[配套课件]

这是一份《高考总复习》数学 第二章 第15讲 导数的意义及运算[配套课件]，共37页。PPT课件主要包含了函数导数的定义，αxα－1，－sinx，运算法则，题组一，走出误区，不是切线，图D16，答案ABC，题组二等内容，欢迎下载使用。

2.导数的几何意义和物理意义
(1)导数的几何意义：函数 y＝f(x)在 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
(2)导数的物理意义：①在物理学中，如果物体运动的规律是 s＝s(t)，那么该物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v＝s′(t0)；②如果物体运动的速度随时间变化的规律是 v＝v(t)，则该物体在时刻 t0 的瞬时加速度为 a＝v′(t0).
3.基本初等函数的导数公式表
[u(x)±v(x)]′＝u′(x)______v′(x)；[u(x)·v(x)]′＝____________________；
u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)
1.(多选题)下列结论不正确的是(
A.在曲线 y＝f(x)上某点处的切线与曲线 y＝f(x)过某点的切线意义相同B.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线
解析：对于 A，曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线，点 P在曲线上，而过点 P(x0，y0)的切线，点 P 可以在曲线外.对于 B，如图 D16 所示，直线与曲线只有一个公共点，但
2.(选修 2－2 P18 第 6 题改编)已知函数 y＝xln x，则这个函数的导数为________；这个函数的图象在点 x＝1 处的切线方程为____________.解析：y′＝ln x＋1|x＝1 ＝ln 1＋1＝1，k＝1，切点为(1，0)，切线方程为 y＝x－1.
答案：y′＝ln x＋1
3.(选修 2－2P18A 组第 5 题改编)若 f′(x0)＝－3，则
4.(2020 年全国Ⅰ)函数 f(x)＝x4－2x3 的图象在点(1，f(1))处
的切线方程为(A.y＝－2x－1C.y＝2x－3
B.y＝－2x＋1D.y＝2x＋1
解析：∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为 y＋1＝－2(x－1)，即 y＝－2x＋1.故选 B.答案：B
________.解析：由函数的解析式可得
整理可得 a2－2a＋1＝0，解得 a＝1.答案：1
1.设 f(x)在 x0 处可导，下列式子与 f′(x0)相等的是(
所以①③正确.故选 B.答案：B
2，则 a＝________.
f(x)＝axln x＋1，f′(x)＝aln x＋a，f′(1)＝a＝2.答案：2
答案：A【题后反思】本题需直接变换出导数的定义式
义式的关键是一定要保证分子与分母中 k 的一致性.
[例 1](1)(2018 年天津)已知函数 f(x)＝exln x，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′(1)的值为__________.
(2)已知函数 y＝f(x)的导函数是 f′(x)，且 f(x)＝x2＋3f′(1)ln x，则曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线的斜率是_____.
令 x＝1可得 f′(1)＝2＋3f′(1)，解得 f′(1)＝－1， 所以曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线的斜率是－1.答案：－1
(3)已知函数 f(x)＝sin α＋x2，则 f′(x)＝(
A.cs α＋2xC.sin α＋2x
解析：函数 f(x)＝sin α＋x2 的自变量为 x，α为常量，所以f′(x)＝2x.答案：D
【题后反思】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形.注意求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如 f(x)＝x2＋sin α的自变量为 x，而f(α)＝x2＋sin α的自变量为α.
[例 2]某市在一次降雨过程中，降雨量 y(单位：mm)与时间
刻 t＝40 min 的降雨强度为(
C.f(x)＝cs x
D.f(x)＝ln x
故选 BCD.答案：BCD
(2)(2019 年全国Ⅲ)已知曲线 y＝aex＋xln x 在点(1，ae)处的
切线方程为 y＝2x＋b，则(A.a＝e，b＝－1
解析：y′＝aex＋lnx＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2，∴a＝e－1.将(1，1)代入 y＝2x＋b 得 2＋b＝1，b＝－1，故选 D.答案：D
C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
(3)(2020 年全国Ⅰ)曲线 y＝ln x＋x＋1 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.解析：设切线的切点坐标为(x0，y0)，y＝ln x＋x＋1，y′＝
所求的切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x.答案：y＝2x
(4)已知曲线 f(x)＝x3－x，则
①曲线在点(1，0)处的切线方程为________；
②曲线过点(1，0)的切线方程为____________________；解析：f′(x)＝3x2－1
①曲线在点(1，0)处切线的斜率为 k＝f′(1)＝2.又 f(1)＝0，∴所求切线方程为 y＝2(x－1)，即 2x－y－2＝0.
答案：①2x－y－2＝0
②2x－y－2＝0 或 x＋4y－1＝0
【题后反思】(1)通过例题的学习，要彻底改变“切线与曲线有且只有一个公共点”“直线与曲线只有一个公共点，则该直线就是切线”这一传统误区，如“直线 y＝1 与 y＝sin x 相切，却有无数个公共点”，而“直线 x＝1 与 y＝x2 只有一个公共点，显然直线 x＝1 不是切线”.
(2)求曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：①求出函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率；②切点为 P(x0，f(x0))，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).(3)求曲线 y＝f(x)外一点 P(x0，f(x0))(该点不一定为切点)的切线方程，其方法如下：①设切点 A(xA，yA)，求切线的斜率 k＝f′(xA)；
y0－yA＝f′(xA)建立关于 xA 的方程，解x0－xA
出 xA，进而求出切线方程.
过点(1，－1)的曲线 y＝x3－2x 的切线方程为___________
_________________.
即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0.答案：x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0
⊙两曲线的公共切线问题[例 4](2016 年全国Ⅱ)若直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝ln x＋2
的切线，也是曲线 y＝ln(x＋1)的切线，则 b＝(
解析：设 y＝kx＋b 与 y＝ln x＋2 和 y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1)).
【策略指导】同时和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)都相切的直线称为两曲线的公共切线.设直线与曲线 y＝f(x)切于(x1，f(x1))与曲线y＝g(x)切于(x2，g(x2))，则切线方程为 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即 y ＝ f′(x1)x ＋ f(x1) － f′(x1)x1 同 理 y ＝ g′(x2)x ＋ g(x2) －g′(x2)x2.
可得切线方程.由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数.