初中数学人教版七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程一等奖第3课时教学设计

3.4 实际问题与一元一次方程（第3课时） 教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第三章“一元一次方程”3.4实际问题与一元一次方程第3课时，内容包括利用一元一次方程分析与解决球赛积分问题.

2.内容解析

球赛积分问题是实际生活中的常见问题，也是可借助方程模型解决的典型问题之一，并具有一定的代表性.这类问题的背景和表达都更贴近实际，其中的有些数量关系也比较隐蔽．对这一问题的探究可以使学生进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，体会数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力.

基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：球赛积分问题的探究过程．

二、目标和目标解析

1.目标

（1）通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分表这类问题的一般思路及方法.

（2）会阅读、理解表格，并从表格中提取关键信息. 

（3）会根据方程的解的情况对实际问题作出判断．

2.目标解析

（1）理解球赛中积分的多少与胜、平、负的场数有关，同时也与比赛中的积分规定有关，解题关键是弄清规定，胜、平、负一场各积几分.

（2）能找解决问题所需的关键量，并从表格中提取关键信息．

（3）不仅能够检验方程的解是否符合原方程，同时也能够判断方程的解是否符合实际情况．

三、教学问题诊断分析

学生通过之前的学习，对应用一元一次方程解决简单实际问题具备了一定的基础，对建立方程模型解决问题的基本过程也有基本的认识．但在这些问题中建立方程的目的就是为求得问题中某一变量的值，所以设未知数和列方程的指向性比较明显．而本课中，需要学生自行分析并发现关键变量，并自觉建立方程来求得．学生在这种自行选择探究方向和探究方法的问题中缺乏经验.同时学生普遍知道球赛中积分的多少与胜、平、负的场数有关，但未必能够意识到积分的多少也与比赛中的积分规定有关，解题关键是弄清规定，胜、平、负一场各积几分.弄清实际问题中所包含的数学问题是关键.通过积分表来了解胜负的场次，这样的形式在生活中很普遍，要善于观察分析，学习读懂表格.

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：在探究过程中适时建立一元一次方程解决问题．

四、教学过程设计

（一）问题的初探

你喜欢看篮球比赛吗？你对篮球比赛中的积分规则有了解吗？某次篮球联赛积分榜如下：

问题1：你能从表格中了解到哪些信息？

每队的胜场数＋负场数＝这个队比赛场次；

每队胜场总积分＋负场总积分＝这个队的总积分；

每队胜场总积分=胜1场得分×胜场数

……

问题2：你能从表格中看出负一场积多少分吗？

由钢铁队得分可知负一场积1分.

师生活动：教师提出问题，学生简单闸述理由；教师通过学生回答情况了解学生对问题的认识情况．

【设计意图】让学生初步对球赛的积分规则及积分情况进行了解.

（二）问题的进一步探究

问题3：你能进一步算出胜一场积多少分吗？

解：设胜一场积 x 分，

依题意，得 10x＋1×4＝24.

解得 x＝2.

经检验，x＝2符合题意.

所以，胜一场积2分.

问题4：怎样用式子表示总积分与胜、负场数之间的关系？

解：若一个队胜 m场，则负 (14－m) 场，胜场积分为 2m，负场积分为14－m，总积分为：

2m + (14－m) = m +14.

即胜 m场的总积分为 (m +14) 分.

问题5：某队胜场总积分能等于它负场总积分吗？

解：设一个队胜 x 场，则负 (14－x) 场，

依题意得 2x＝14－x.

解得 x＝.

师生活动：教师提出问题，学生思考并回答. 学生回答过程中，教师适时提问，引领学生熟悉问题情境．

【设计意图】借助问题引导学生熟悉并理解问题情境及相关概念，并引领学生将数学问题转化为数学问题，渗透转化思想．

（三）变式训练

某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下：

根据表格提供的信息，你能求出胜一场、负一场各积多少分吗?

解：由C队的得分可知，胜场积分+负场积=27÷9=3.设胜一场积x分，则负一场积(3-x)分.

根据A队得分，可列方程为

14x+4(3-x)=32，

解得x=2，则3-x=1.

答：胜一场积2分，则负一场积1分.

师生活动：教师提出问题，学生自行演算，教师巡视指导．

在学生完成之后，选同学表述解题过程，教师板书并点评．

【设计意图】教师帮助学生明确了探究方向之后，让学生自主探究这一变式训练，使学生经历探究过程，有助于提高学生的探究能力．

（四）针对训练

某赛季男篮CBA职业联赛部分球队积分榜如下：

（1）列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系；

（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？为什么？

解：观察积分榜，从最下面一行可知负一场积1分. 设胜一场积 x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值.  例如，从第一行得出方程：18x＋1×4＝40．

由此得出 x＝2.

所以，负一场积1分，胜一场积2分.

（1）如果一个队胜 m场，则负 (22－m) 场，胜场积分为2m，负场积分为22－m，总积分为：2m＋(22－m)＝m＋22.

（2）设一个队胜了x场，则负了(22－x)场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则有方程：

2x=22－x.

解得 .

其中，x（胜场）的值必须是整数，所以不符合实际.  由此可以判定没有哪个队伍的胜场总积分等于负场总积分.

师生活动：教师依次给出练习，学生自主练习，教师巡视，选学生展示解答过程，学生点评．

【设计意图】在教师引领完成探究问题之后，依次给出练习，使学生在探究问题中获得的解题经验得以巩固，并通过应用练习转化为能力．

（五）当堂巩固

1. 某球队参加比赛，开局 9 场保持不败，积 21 分，比赛规则：胜一场得 3 分，平一场得 1分，则该队共胜（  C  ）

A. 4场        B. 5场        C. 6场        D. 7场

2. 中国男篮CBA职业联赛的积分办法是：胜一场积2 分，负一场积 1 分，某支球队参加了12 场比赛，总积分恰是所胜场数的 4 倍，则该球队共胜   4   场.

3. 某次知识竞赛共20道题，每答对一题得8分，答错或不答要扣3分. 某选手在这次竞赛中共得 116 分，那么他答对几道题？

解：设答对了 x 道题，则有(20－x)道题答错或不答，由题意得：

8x－(20－x)×3＝116.

解得 x＝16.

答：他答对16道题．

【设计意图】考查学生对建立方程模型解决此类问题的一般方法的掌握．

（六）能力提升

把互动探究中积分榜的最后一行删去(如下表)，如何求出胜一场积几分，负一场积.

解：可以求出.

从雄鹰队或远大队的积分可以看出胜一场与负一场共得 21÷7 = 3（分），设每队胜一场积 x 分，

则负一场积 (3－x) 分，根据前进队的信息可列方程为：

10x + 4(3－x) = 24.

解得 x = 2.

所以 3－x =1.

答：胜一场积 2 分，负一场积 1 分.

【设计意图】进一步考查学生对建立方程模型解决此类问题的一般方法的掌握．

（七）感受中考

（2022•铜仁市）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（     ）

A．14 B．15 C．16 D．17

【解答】解：设小红答对的个数为x个，

由题意得5x－(20－x)＝70，

解得x＝15，

故选：B．

【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．

（八）课堂小结

1. 解决有关表格的问题时，首先要根据表格中给出的相关信息，找出数量间的关系，然后再运用数学知识解决问题.

2. 用方程解决实际问题时，要注意检验方程的解是否正确，且符合问题的实际意义．

【设计意图】通过问题引领学生梳理探究过程，归纳探究方法．

（九）布置作业

P107：习题3.4：第8题.

P112：复习题3：第9题.

五、教学反思

列方程就是通过读题审题理清和寻找题目中相等的数量关系，通过设未知数将这些相等的数量关系表示出来．解一元一次方程就是，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，将方程向ax=b（a≠0）的方向转化，其中体现了化归和程序化思想．解方程得到的未知数的值，是否符合具体问题的实际意义，是我们学习列方程解应用题需要关注的．这既是实际问题与数学问题相互转化过程中需要注意的问题，也有利于培养学生良好的思维习惯和品质，让他们能够从中进一步体会方程的应用价值．

本节教材所涉及的实际问题的背景和表达都更加贴近实际，数量关系有的比较隐蔽，有的比较抽象，有的则更为复杂，需要学生结合自己的生活经验理清、理解，经历探究用一元一次方程解决实际问题的基本过程，进而逐步提升他们分析问题、解决问题的能力，有效积累探究、交流、反思等数学活动经验，体会转化化归和方程模型思想，增强数学应用意识和能力．