江西省丰城市第九中学2023届高三上学期入学考数学（理）试题（解析版）

丰城九中高三上学期理科数学开学考试试卷

一、单选题（共12题，共60分）

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分别解二次不等式和对数不等式，求得集合，进而利用交集的定义求得.

【详解】A，则.

故选：B

2. 已知命题 p：∀x∈R，cosx≤1，则（　　）

A. ￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B. ￢p：∀x∈R，cosx≥1

C. ￢p：∀x∈R，cosx＞1 D. ￢p：∃x0∈R，cosx0＞1

【答案】D

【解析】

【分析】对于全称命题的否命题，首先要将全称量词“∀”改为特称量词“∃”，然后否定原命题的结论，据此可得答案.

【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p：∀x∈R，cosx≤1，￢p：∃x0∈R，cosx0＞1．

故选D．

【点睛】本题考查了命题中全称量词和存在量词，解题的关键是要知晓全称命题的否定形式是特称命题.

3. 设，，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：由已知，，且，,， 而<1，所以c<a<b

考点：指数的幂运算.

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由两角和的余弦公式展开即可.

【详解】，，

故选：C

5. 已知命题，若命题是假命题，则的取值范围为（    ）

A. 1≤a≤3 B. -1<a<3 C. -1≤a≤3 D. 0≤a≤2

【答案】C

【解析】

【分析】先写出命题的否定，然后结合一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得的取值范围.

【详解】命题是假命题，

命题的否定是：，且为真命题，

所以，

解得.

故选：C

6. “，”是“函数的图象关于点对称”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，求出函数的对称中心，即可判断.

【详解】函数的图象关于点对称，，

即，，故“，”是“函数的图象关于点对称”的充分不必要条件．

故选:A

7. 如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处，塔顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点60的B点测得塔底位于北偏西45°方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为（    ）（参考数据：）

A. 38m B. 44m C. 40m D. 48m

【答案】D

【解析】

【分析】转化为解三角形问题，利用正弦定理、直角三角形的性质进行求解.

【详解】如图，根据题意，平面ABD，，，，.

在中，因为，所以，

所以.在中，.

故A，B，C错误.

故选：D.

8. 已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由最值可求得，根据最小正周期可求得，由可求得，从而得到解析式；由三角函数平移和伸缩变换原则可得.

【详解】由图象可知：，最小正周期，，，

，，解得：，

又，，；

将图象向右平移个单位长度可得：；

将横坐标变为原来的倍得：.

故选：A.

9. 已知，为的导函数，则的大致图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】对函数求导，判断导函数的奇偶性，排除部分答案，接着将代入导函数即可解得答案.

【详解】解：∵，

∴，

∴

∴

∴是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，

将代入得：，排除C．

故选：A．

10. 已知定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件，可得对称轴为，且在上单调递减.根据函数的对称性与单调性，可得只需即可，解出不等式即可.

【详解】由题意可得，对称轴为，且在上单调递减.则由，可得出，即，

即，解得或.

所以，不等式的解集为.

故选：B.

11. 已知是的一个零点，是的一个零点，，则（    ）

A.  B.

C.  D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】利用导数研究函数的单调性得仅有1个零点，且，结合函数的单调性与零点的存在性定理得，根据对数运算得，进而，再根据范围得大小.

【详解】解：因为，，

所以在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，

因为，所以仅有1个零点，

因为，所以，

因为是增函数，且，，

所以，

因为，，

所以，所以.

故选：A．

12. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令，问题转化为，构造函数，通过导数，对的单调性进行讨论，进而可以得到，进而可求答案.

【详解】令，则，问题转化为恒成立.

令，则，

因为，所以.令，则，

所以在上单调递增，又，，

所以存在，使得，即，所以当时，，即，

当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，又，所以，，

所以，所以，解得.

故选：C

二、填空题（共4题，共20分）

13. 已知幂函数在内是单调递减函数，则实数______．

【答案】

【解析】

【分析】由已知，函数为幂函数且在内是单调递减，可进行列式，即且即可完成求解.

【详解】由题意得，函数为幂函数且在内是单调递减，所以，解得．

故答案为：.

14. 在中，内角的对边分别为，且，若，则的面积为____________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：由正弦定理，知，即，所以，所以，所以．因为，所以，又，所以，所以．

考点：正弦定理．

【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，其基本步骤是：（1）确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；（2）根据条件和所求合理选择正弦定理与余弦定理，使边化角或角化边；（3）求解．

15. 命题，使得成立；命题，不等式恒成立．若命题为假，则实数a的取值范围为___________．

【答案】

【解析】

【分析】首先求出命题为真时的取值范围，再根据复合命题的真假即得.

【详解】命题:，使得成立，当时，，

若命题为真，则，

命题，不等式恒成立，则，

当时，，当且仅当时等号成立，

若命题为真，则；

当命题为真命题时，有，即，

所以命题为假时，或，

所以实数a的取值范围为.

故答案为：．

16. 已知，若方程恰有4个不同的实数解，，，，且，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】画出函数的图象，利用数形结合方法判定易知，，关于直线对称，结合可知，进而求得.

【详解】如图，易知，，关于直线对称，

所以，又且，

所以，所以，所以，

从而.

故答案为：

三、解答题（共6题，共70分）

17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

（1）求角A；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由条件和正弦定理可得，然后结合三角函数的知识可得答案；

（2）由条件结合余弦定理求出的值即可.

【小问1详解】

由正弦定理得，

因为，所以，

所以，化简得，

所以，因为，所以．

【小问2详解】

因为，由余弦定理得，

又，所以，即，解得，

则的面积．

18. 已知函数．

（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（2）若函数在区间内有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

【答案】（1），增区间为，；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简，然后根据正弦函数的性质即得；

（2）由题可得在区间内有两个不同的根，然后利用数形结合即得.

小问1详解】

由得，

，

故最小正周期为，

由，解得，，

故的单调递增区间为，；

小问2详解】

令，则，

故问题转化为在区间内有两个不同的根，

令，且，则问题等价于在有两个根，

画出函数的图象，

由的图象可知：当时，有两个根，

故实数k的取值范围为．

19. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是.

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值，并求此时点P的坐标.

【答案】（1），   

（2），

【解析】

【分析】（1）结合消元即可得出曲线C的普通方程；由即可得出直线l的直角坐标方程；

（2）设点，结合点线距离公式，讨论最大值即可

【小问1详解】

由（为参数），得，故曲线C的普通方程为.

由，得，故直线l的直角坐标方程为.

【小问2详解】

设点，

则点P到直线l的距离.

故当时，点P到直线l的距离取得最大值.

此时，点P的坐标为.

20. （1）设，为锐角，且，，求的值；

（2）已知，，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据三角恒等式求出和，利用两角和的余弦公式求出，结合范围即可得结果；

（2）通过两角和的正弦公式以及三角恒等式求出，，然后利用二倍角公式求出，的值，最后由两角差的正弦可得结果.

【详解】（1）∵为锐角，，且，∴．

∵为锐角，，且，∴，

∴，

∵，∴．

（2）因为，，

所以，即．

又，，解得：，，

所以，

，

所以

．

21. 已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分类讨论去绝对值后再求解不等式即可；

（2）讨论，当时，利用绝对值的三角不等式求解的最大值即可；

【小问1详解】

，

当时，，即，

当时，，解得，即，

当时，，解得，此时无解，

综上：不等式的解集为；

【小问2详解】

时上述不等式显然成立，

当时，上述不等式可化为，

令，当且仅当时等号成立，

所以，即实数的取值范围为．

22. 已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，函数恒成立，求实数取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数定义域，求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；

（2）由题意可知对任意的恒成立，令，分、、三种情况讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证能否恒成立，综合可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

解：函数的定义域为，

①当时，则，所以在上单调递增；

②当时，则由知，由知，

所以上单调递增，在上单调递减；

综上，当时，的单调递增区间为，

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

小问2详解】

解：由题意知恒成立，

而，

由，得，

令，则.

①若，，则在上单调递增，故，

所以在上单调递增，所以，

从而，不符合题意；

②若，则，当时，，在上单调递增，

从而，所以在在单调递增，所以，不符合题意；

③若，则，在上恒成立，

所以在上单调递减，，

从而在上单调递减，所以，所以恒成立.

综上所述，的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，本题涉及端点效应，一般的解题思路就是对参数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，验证对应的不等式能否恒成，由此求解.