江苏省扬州市高邮市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题 (含答案)

这是一份江苏省扬州市高邮市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题 (含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省扬州市高邮市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　）
A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．日行千里 D．守株待兔
2．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr．下列判断正确的是（　　）
A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量
3．我校在科技文化节活动中，8位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的6个评分与原始的8个评分相比一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
4．已知三条线段长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线段长不可能是（　　）
A．1 B．9 C．20 D．16
5．一元二次方程x（x﹣3）＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．如图，在6×6的正方形网格中，以O为位似中心，把格点△ABC放大为原来的2倍，则A的对应点为（　　）

A．点A1 B．点A2 C．点A3 D．点A4
7．如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（　　）

A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16
8．若关于x的一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为x1＝﹣2，x2＝1，则关于x的一元二次方程a（x+m﹣2022）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝2020，x2＝2023
C．x1＝﹣2020，x2＝2023 D．x1＝﹣2024，x2＝﹣2019
二、填空题（每题3分，共30分）
9．立冬是二十四节气中的第十九个节气，每年11月7﹣8日之间交节，立冬后早晚的温度变化渐大．今天的最高气温为16℃，最低气温为5℃，该日的气温极差为 　 　．
10．若用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0时，则可以将该方程变形为 　 　．
11．若a：b＝3：4，b：c＝1：2，则a：c＝　 　．
12．一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是 　 　．
13．若从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮中剪出一个面积最大的扇形，则该扇形的面积为 　 　cm2．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在⊙O外，连接PA、PB分别交⊙O于点C、D，若设∠P＝n°，则的度数为 　 　（用含n的代数式表示）．

15．已知m是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式m（m+2）+（m+1）2的值 　 　．
16．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3，BC＝4，点M在矩形的对角线AC上，若AM＝3MC，则EM的长为 　 　．

17．若一组数据6，8，10，x的中位数与平均数相等，则符合条件的x的值有 　 　个．
18．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝8，BC＝12，点E为BC的中点，点P是线段CD上的一个动点，连接EP，将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EP'，点Q是直线AB上的一个动点，连接EQ，点A关于EQ的对称点是点A'，连接P'A'，则P'A'的最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共有10小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝1﹣2x．
20．（8分）甲、乙两班各选10名学生参加电脑汉字录入比赛，将参赛学生每分钟录入汉字的个数图所示：
录入汉字/个
132
133
134
135
136
137
甲班参赛学生/人
1
0
1
5
2
1
乙班参赛学生/人
0
1
4
1
2
2
（1）根据以上信息，完成下面表格：

平均数
中位数
众数
甲班
135

135
乙班
135
134.5

（2）已知甲班的方差为1.6，哪一个班参赛选手电脑汉字录入的成绩稳定？
21．（8分）九年级A、B、C、D四个班各有一名选手参加了学校组织的“经典诵读大赛”活动．
（1）若4名选手抽签决定参赛顺序，则A班选手第一个比赛的概率为 　 　；
（2）若将4名选手随机分成两组，每组2名选手，求A、B两班的选手被分在同一组的概率．
22．（8分）某剧院可容纳1200人，经调研在一场文艺演出中，票价定为每张50元时，可以售出800张门票如果票价每降低1元，那么售出的门票就增加40张．要使门票收入达到47560元，票价应降低多少元？
23．（10分）如图，两条弧和围成新月形．
（1）请用无刻度直尺和圆规画出的圆心O和的圆心O′（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接OA、O'A，若OA＝13，O'A＝20，OO'＝11，求弦AB的长．

24．（10分）已知关于x的方程kx2﹣（k﹣2）x﹣2＝0．
（1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）若方程的两实数根都为正整数，求k的值．
25．（10分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．过点C作CE⊥AB于点E，且∠ACD＝∠ACE．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，且点A为OD的中点，求图中阴影部分的面积．

26．（10分）如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．
（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；
（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．

27．（12分）我们定义：有且只有一组对角是直角的四边形叫做“陨四边形”，把两个非直角顶点的连线段叫做这个“陨四边形”的直径．

（1）如图1，已知AB、CD是⊙O的直径，AB⊥CD，点P是上的一点，连接AP、PC、CB、BD、DA、AC、PB．图中的 　 　是“陨四边形”；
（2）如图2，已知AC是“陨四边形”ABCD的直径，点O是AC的中点，OE⊥BD交BD于点E．若OE＝15，求AC2﹣BD2的值；
（3）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝15°，以AB为边向形外作等边△ABD，再以BD为边向形外作等边△BDE，连接AE交BD于点O，连接CO，若，求等边△BDE的面积．

28．（12分）【模型建立】（1）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，∠ADE＝60°，求证：AB•CE＝BD•DC；

【模型应用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，AE＝AD，点F在DC边上，∠EFD＝60°，则的值为 　 　；
【模型拓展】（3）如图3，在钝角△ABC中，∠ABC＝60°，点D、E分别在BC、AC边上，∠DAE＝∠ADE＝60°，若AB＝5，CE＝6，求DC的长．


江苏省扬州市高邮市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
【参考答案】
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　）
A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．日行千里 D．守株待兔
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
【解答】解：A．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C．日行千里，是随机事件，有先进的交通工具，发生的可能性较大，不符合题意；
D．守株待兔所反映的事件发生的可能性很小，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
2．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr．下列判断正确的是（　　）
A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量
【分析】根据变量与常量的定义进行求解即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
在C＝2πr中．2，π为常量，r是自变量，C是因变量．
故选：C．
【点评】本题主要考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义进行求解是解决本题的关键．
3．我校在科技文化节活动中，8位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的6个评分与原始的8个评分相比一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的意义即可求解．
【解答】解：根据题意，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分．6个有效评分与8个原始评分相比，中位数一定不发生变化．
故选：B．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
4．已知三条线段长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线段长不可能是（　　）
A．1 B．9 C．20 D．16
【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
【解答】解：A、∵1×12＝3×4，∴这四条线段能成比例，故本选项不符合题意；
B、∵3×12＝9×4，∴这四条线段能成比例，故本选项不符合题意；
C、∵4×12≠3×20，∴这四条线段不能成比例，故本选项符合题意；
D、∵4×12＝3×16，∴这四条线段能成比例，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查比例线段，解题的关键是掌握比例线段的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
5．一元二次方程x（x﹣3）＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x（x﹣3）＝0，
x＝0，x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3，
即方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
6．如图，在6×6的正方形网格中，以O为位似中心，把格点△ABC放大为原来的2倍，则A的对应点为（　　）

A．点A1 B．点A2 C．点A3 D．点A4
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点到位似中心的距离比值，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：∵以O为位似中心，把格点△ABC放大为原来的2倍，
∴对应点到位似中心的距离比值为1：2，
∴A的对应点为：点A3．
故选：C．

【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点到位似中心的距离比值是解题关键．
7．如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（　　）

A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16
【分析】连接OM、ON、OA、OP，由垂径定理得OM⊥AB，ON⊥PQ，AM＝AB＝12，PN＝PQ＝5，由勾股定理得OM＝5，ON＝12，当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝7，当AB、PQ位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OM+ON＝17，便可得出结论．
【解答】解：连接OM、ON、OA、OP，如图所示：

∵⊙O的直径为26，
∴OA＝OP＝13，
∵点M、N分别是弦AB、PQ的中点，AB＝24，PQ＝10，
∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM＝AB＝12，PN＝PQ＝5，
∴OM＝＝5，ON＝＝12，
当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，
当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝OM﹣ON＝12﹣5＝7，
当AB、PQ位于O的两侧时，线段MN的长度最长＝OM+ON＝12+5＝17，
∴线段MN的长度的取值范围是7≤MN≤17，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
8．若关于x的一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为x1＝﹣2，x2＝1，则关于x的一元二次方程a（x+m﹣2022）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝2020，x2＝2023
C．x1＝﹣2020，x2＝2023 D．x1＝﹣2024，x2＝﹣2019
【分析】把关于x的一元二次方程a（x+m﹣2022）2+n＝0看作为关于（x﹣2022）的一元二次方程，则根据题意得x﹣2022＝﹣2或x﹣2022＝1，然后解一次方程即可．
【解答】解：把关于x的一元二次方程a（x+m﹣2022）2+n＝0看作为关于（x﹣2022）的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为x1＝﹣2，x2＝1，
∴x﹣2022＝﹣2或x﹣2022＝1，
解得x1＝2020，x2＝2023，
即关于x的一元二次方程a（x+m﹣2022）2+n＝0（a≠0）的两根分别为x1＝2020，x2＝2023．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．利用换元法解方程是解决问题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分）
9．立冬是二十四节气中的第十九个节气，每年11月7﹣8日之间交节，立冬后早晚的温度变化渐大．今天的最高气温为16℃，最低气温为5℃，该日的气温极差为 　11℃　．
【分析】用最大值减去最小值即可求得极差．
【解答】解：该日的气温极差为16﹣5＝11（℃）．
故答案为：11℃．
【点评】本题考查了极差的定义，解题的关键是了解最大值与最小值的差是极差，难度不大．
10．若用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0时，则可以将该方程变形为 　（x﹣2）2＝7　．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x+4＝3+4，
（x﹣2）2＝7，
故答案为：（x﹣2）2＝7．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
11．若a：b＝3：4，b：c＝1：2，则a：c＝　　．
【分析】由b：c＝1：2＝4：8，a：b＝3：4，可以得出a、b、c三个数的比，进而得出答案．
【解答】解：∵a：b＝3：4，
又∵b：c＝1：2＝4：8，
∴a：b：c＝3：4：8；
∴a：c＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质，此题应把b转化成同一个数，然而进行连比是解题的关键．
12．一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是 　　．
【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
P（这个球是红球）＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法进行求解是解决本题的关键．
13．若从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮中剪出一个面积最大的扇形，则该扇形的面积为 　30π　cm2．
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用扇形公式计算即可．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD面积最大，
∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OE＝OA＝30cm，
∴该扇形的面积为：＝30πcm2，
故答案为：30π．

【点评】本题考查扇形面积的计算，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在⊙O外，连接PA、PB分别交⊙O于点C、D，若设∠P＝n°，则的度数为 　180°﹣2n°　（用含n的代数式表示）．

【分析】先根据圆周角定理求得∠ADB＝90°，再由三角形外角的性质求得∠PAD＝90°﹣n°，进而即可求得弧CD的度数．
【解答】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠P＝n°，
∴∠PAD＝90°﹣n°，
∴的度数为：180°﹣2n°．
故答案为：180°﹣2n°．

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
15．已知m是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式m（m+2）+（m+1）2的值 　7　．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把m2+2m＝3代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：m（m+2）+（m+1）2
＝m2+2m+m2+2m+1
＝2m2+4m+1，
∵m是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴m2+2m﹣3＝0，
∴m2+2m＝3，
∴当m2+2m＝3时，原式＝2（m2+2m）+1
＝2×3+1
＝6+1
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3，BC＝4，点M在矩形的对角线AC上，若AM＝3MC，则EM的长为 　　．

【分析】先根据勾股定理得AC的长，再由矩形的性质可得CE∥AB，根据相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CE∥AB，∠ABC＝90°，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵CE∥AB，
∴△CEM∽△ABM，
∴EC：AB＝CM：AM＝EM：BM＝1：3，
∵AB＝3，
∴EC＝1，
∴BE＝，
∴EM＝．
故答案为：．
【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、矩形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
17．若一组数据6，8，10，x的中位数与平均数相等，则符合条件的x的值有 　3　个．
【分析】因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间（在第二位或第三位结果不影响）；结尾；开始的位置．
【解答】解：（1）将这组数据从大到小的顺序排列为10，8，x，6，
处于中间位置的数是8，x，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（8+x）÷2，
平均数为（10+8+x+6）÷4，
∵数据10，8，x，6，的中位数与平均数相等，
∴（8+x）÷2＝（10+8+x+6）÷4，
解得x＝8，大小位置与8对调，不影响结果，符合题意；

（2）将这组数据从大到小的顺序排列后10，8，6，x，
中位数是（8+6）÷2＝7，
此时平均数是（10+8+x+6）÷4＝7，
解得x＝4，符合排列顺序；

（3）将这组数据从大到小的顺序排列后x，10，8，6，
中位数是（10+8）÷2＝9，
平均数（10+8+x+6）÷4＝9，
解得x＝12，符合排列顺序．
∴x的值为4、8或12，共3个．
故答案为：3．
【点评】本题结合平均数考查了确定一组数据的中位数的能力．涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
18．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝8，BC＝12，点E为BC的中点，点P是线段CD上的一个动点，连接EP，将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EP'，点Q是直线AB上的一个动点，连接EQ，点A关于EQ的对称点是点A'，连接P'A'，则P'A'的最小值为 　4　．

【分析】连接DE，A′E，以点E为圆心，以DE长为半径作圆，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明DE＝BE＝CE＝BC＝6，则B、C、D三点都在⊙E上，即可证明EP≤6，则EP′的最大值是6，再根据勾股定理求得AE＝10，由轴对称的性质得A′E＝AE＝10，因为P′A′+EP′≥A′E，所以P′A′≥10﹣EP′，当EP′＝6时，10﹣EP′＝4，此时10﹣EP′取得最小值4，即可求得P′A′的最小值为4．
【解答】解：连接DE，A′E，以点E为圆心，以DE长为半径作圆，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB＝90°，
∵点E为BC的中点，BC＝12，
∴DE＝BE＝CE＝BC＝6，
∴B、C、D三点都在⊙E上，
∵CD是⊙E的弦，
∴点P不在⊙E外，
∴EP≤6，
∵线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EP'，
∴EP′＝EP，
∴EP′≤6，
∴EP′的最大值是6，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，
∴AE＝＝＝10，
∵点A关于EQ的对称点是点A'，
∴A′E＝AE＝10，
∵P′A′+EP′≥A′E，
∴P′A′≥10﹣EP′，
∴当P′A′＝10﹣EP′时，P′A′的值最小，
∵EP′取最大值时，10﹣EP′的值最小，
∴当EP′＝6时，10﹣EP′＝4，此时10﹣EP′取得最小值4，
∴P′A′的最小值为4，
故答案为：4．

【点评】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、旋转的性质、轴对称的性质、点与圆的位置关系、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝1﹣2x．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝3，然后利用直接开平方法解方程；
（4）先把方程变形得到（2x﹣1）2+（2x﹣1）＝0，再利用因式分解法把方程转化为2x﹣1＝0或2x﹣1+1＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝3，
（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣；
（4）（2x﹣1）2＝1﹣2x，
（2x﹣1）2+（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（2x﹣1+1）＝0，
2x﹣1＝0或2x﹣1+1＝0，
所以x1＝，x2＝0．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
20．（8分）甲、乙两班各选10名学生参加电脑汉字录入比赛，将参赛学生每分钟录入汉字的个数图所示：
录入汉字/个
132
133
134
135
136
137
甲班参赛学生/人
1
0
1
5
2
1
乙班参赛学生/人
0
1
4
1
2
2
（1）根据以上信息，完成下面表格：

平均数
中位数
众数
甲班
135

135
乙班
135
134.5

（2）已知甲班的方差为1.6，哪一个班参赛选手电脑汉字录入的成绩稳定？
【分析】（1）计算出甲的加权平均数，再根据中位数和众数定义计算出乙班的中位数和众数，然后再根据方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]计算方差；
（2）根据方差的意义：它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立可得答案．
【解答】解：（1）＝＝135；
∵把乙班所用数据从小到大排列起来，位置处于中间的是135，135，
∴中位数为（135+135）÷2＝135；
∵乙班出现次数最多的数据是134，
∴众数为134；
（2）∵乙的方差为：s2＝1.8＞1.6；
方差越大，波动性越大，甲板方差比乙班小，
因此甲班参赛选手电脑汉字录入的成绩稳定．
【点评】此题主要考查了加权平均数、众数、中位数、方差，正确进行方差的计算是解题关键．
21．（8分）九年级A、B、C、D四个班各有一名选手参加了学校组织的“经典诵读大赛”活动．
（1）若4名选手抽签决定参赛顺序，则A班选手第一个比赛的概率为 　　；
（2）若将4名选手随机分成两组，每组2名选手，求A、B两班的选手被分在同一组的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中A、B两班的选手被分在同一组的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若4名选手抽签决定参赛顺序，则A班选手第一个比赛的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中A、B两班的选手被分在同一组的结果有4种，
∴A、B两班的选手被分在同一组的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）某剧院可容纳1200人，经调研在一场文艺演出中，票价定为每张50元时，可以售出800张门票如果票价每降低1元，那么售出的门票就增加40张．要使门票收入达到47560元，票价应降低多少元？
【分析】设票价应降低x元，由题意：票价定为每张50元时，可以售出800张门票如果票价每降低1元，那么售出的门票就增加40张．要使门票收入达到47560元，列出一元二次方程，解一元二次方程，即可得出结论．
【解答】解：设票价应降低x元，
由题意得：（50﹣x）（800+40x）＝47560，
解这个方程得：x1＝9，x2＝21（不符合题意舍去），
答：票价应降低9元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（10分）如图，两条弧和围成新月形．
（1）请用无刻度直尺和圆规画出的圆心O和的圆心O′（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接OA、O'A，若OA＝13，O'A＝20，OO'＝11，求弦AB的长．

【分析】（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线交AB于点E，交Y于点D，交于点C，连接AC，BD，作线段BD，AC的垂直平分线分别交CD于点O，O′，点O，O′即为所求；
（2）设AE＝x，OE＝y，利用勾股定理构建方程组求解即可．
【解答】解：（1）如图，点O，点O′即为所求；


（2）∵OE⊥AB于点E，OE经过圆心O，
∴AE＝EB，
设AE＝x，OE＝y，则有，
解得（不符合题意的解已经舍去），
∴AB＝2AE＝24．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，重合利用参数构建方程组解决问题．
24．（10分）已知关于x的方程kx2﹣（k﹣2）x﹣2＝0．
（1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）若方程的两实数根都为正整数，求k的值．
【分析】（1）分k＝0及k≠0两种情况考虑：当k＝0时，原方程为一元一次方程，解之可得出方程的解，进而可得出当k＝0时原方程有实数根；当k≠0时，根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（k+2）2≥0，进而可得出方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法，可求出方程的两个实数根，结合方程的两实数根都为正整数，即可求出k的值．
【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为2x﹣2＝0，
解得：x＝1，
∴当k＝0时，原方程有实数根；
当k≠0时，方程是一元二次方程，
∵Δ＝[﹣（k﹣2）]2﹣4×k×（﹣2）＝k2﹣4k+4+8k＝k2+4k+4＝（k+2）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
∴综上所述，无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）∵kx2﹣（k﹣2）x﹣2＝0，即（kx+2）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1．
又∵方程的两实数根都为正整数，
∴k＝﹣1或k＝﹣2，
∴k的值为﹣1或﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）分k＝0及k≠0两种情况，说明方程有实数根；（2）利用因式分解法，求出方程的两个实数根．
25．（10分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．过点C作CE⊥AB于点E，且∠ACD＝∠ACE．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，且点A为OD的中点，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠CAE，证明OC⊥CD，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠DOC＝60°，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAE，
∵∠ACD＝∠ACE，
∴∠OCA+∠ACD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OCD中，点A为OD的中点，
∴CD＝OA＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∵⊙O的半径为2，
∴OD＝4，
∴CD＝＝2，
∴S阴影部分＝S△DOC﹣S扇形AOC＝×2×2﹣＝2﹣π．

【点评】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握切线的判定定理是解题的关键．
26．（10分）如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．
（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；
（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）由∠1＝∠BAC，得∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，则∠CAQ＝∠BAP，而∠2＝∠ABP，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△CAQ∽△BAP，则＝，所以AC•AP＝AB•AQ；
（2）由AC•AP＝AB•AQ，变形为＝，而∠1＝∠BAC，即可由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△APQ∽△ABC，得∠PQA＝∠ACB．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BAC，
∴∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，
∴∠CAQ＝∠BAP，
∵∠2＝∠ABP，
∴△CAQ∽△BAP，
∴＝，
∴AC•AP＝AB•AQ．
（2）解：∠PQA＝∠ACB，
理由：∵AC•AP＝AB•AQ，
∴＝，
∵∠1＝∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴∠PQA＝∠ACB．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质等知识，找到相似三角形的对应边和对应角并且证明△CAQ∽△BAP及△APQ∽△ABC是解题的关键．
27．（12分）我们定义：有且只有一组对角是直角的四边形叫做“陨四边形”，把两个非直角顶点的连线段叫做这个“陨四边形”的直径．

（1）如图1，已知AB、CD是⊙O的直径，AB⊥CD，点P是上的一点，连接AP、PC、CB、BD、DA、AC、PB．图中的 　四边形APBD　是“陨四边形”；
（2）如图2，已知AC是“陨四边形”ABCD的直径，点O是AC的中点，OE⊥BD交BD于点E．若OE＝15，求AC2﹣BD2的值；
（3）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝15°，以AB为边向形外作等边△ABD，再以BD为边向形外作等边△BDE，连接AE交BD于点O，连接CO，若，求等边△BDE的面积．

【分析】（1）利用圆周角定理可知∠APB＝∠ADB＝90°，即可得出答案；
（2）根据直角三角形斜边上中线的性质得OB＝OD＝，再利用勾股定理得OB2﹣BE2＝OE2＝152，代入变形即可；
（3）取AB的中点M，连接CM，OM，首先可知四边形ABED是菱形，得∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，由（2）同理得，CM＝OM＝AB，∠CMO＝90°，从而得出CM的长，即可得出等边△BDE的边长，进而解决问题．
【解答】解：（1）∵AB为直径，
∴∠APB＝∠ADB＝90°，
∴四边形APBD为陨四边形，
故答案为：四边形APBD；
（2）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是AC的中点，
∴OB＝，DO＝，
∴OB＝OD＝，
∵OE⊥BD，
∴∠OEB＝90°，
∴OB2﹣BE2＝OE2＝152，
即（）2﹣（）2＝225，
∴AC2﹣BD2＝900；
（3）取AB的中点M，连接CM，OM，

∵△ABD和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝AD＝DE＝BE，
∴四边形ABED是菱形，
∴∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，
由（2）同理得，CM＝OM＝AB，∠CMO＝90°，
∴△CMO是等腰直角三角形，
∵，
∴CM＝2，
∴AB＝BD＝4，
∴△BDE的面积为＝4．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，直角三角形斜边上中线的性质，菱形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
28．（12分）【模型建立】（1）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，∠ADE＝60°，求证：AB•CE＝BD•DC；

【模型应用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，AE＝AD，点F在DC边上，∠EFD＝60°，则的值为 　2　；
【模型拓展】（3）如图3，在钝角△ABC中，∠ABC＝60°，点D、E分别在BC、AC边上，∠DAE＝∠ADE＝60°，若AB＝5，CE＝6，求DC的长．

【分析】（1）利用等边三角形的性质，三角形的内角和定理和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用直角三角形的性质，三角形的内角和定理判定△ADE为等边三角形，利用等腰三角形的判定和三角形的外角的性质求得∠EDC＝∠C＝30°，∠FEC＝∠C＝30°；再利用含30°角的直角三角形的性质和等量代换的性质即可得出结论；
（3）在DC上截取DF＝BA，连接EF，利用全等三角形的判定与性质得到∠B＝∠EFD＝60°，则∠EFC＝120°，利用相似三角形的判定与性质得到关于CF的方程，解方程求得CF，则DC＝DF+CF．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形；，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADB+∠BAD＝180°﹣∠B＝120°．
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△BAD∽△CDE，
∴，
∴AB•CE＝BD•DC；
（2）解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴∠C＝30°．
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∴∠DAE＝60°．
∵AE＝AD，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°．
∵∠AED＝∠C+∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠C＝30°，
∴DE＝EC．
∵∠EFD＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EFD﹣∠EDC＝90°，
∴DF＝2EF．
∵∠DFE＝∠C+∠FEC＝60°，
∴∠FEC＝∠C＝30°，
∴EF＝FC，
∴DF＝2FC，
即＝2，
故答案为：2；
（3）解：在DC上截取DF＝BA，连接EF，如图，

∵∠DAE＝∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE．
∵∠ABC＝60°，∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠BAD＝120°，∠ADB+∠EDF＝120°，
∴∠BAD＝∠EDF，
在△BAD和△FDE中，
，
∴△BAD≌△FDE（SAS），
∴∠B＝∠EFD＝60°，
∴∠EFC＝120°．
∵∠AED＝60°，
∴∠DEC＝120°，
∴∠EFC＝∠DEC，
∵∠C＝∠C，
∴△EFC∽△DEC，
∴，
∴，
∴CF2+5CF﹣36＝0，
∵CF＞0，
∴CF＝4．
∴DC＝DF+CF＝5+4＝9．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．