江苏省盐城市2022-2023学年高三数学上学期期中考试试题（Word版附解析）

盐城市2023届高三年级第一学期期中考试

数学试题

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.

1. 设复数，则（    ）

A.  B. 4 C.  D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】先求再求模长可得答案.

【详解】.

故选：D．

2. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据解一元二次不等式的方法、解绝对值不等式的公式法，结合集合交集的定义进行求解即可.

【详解】因为或，

所以，

故选：A

3. 在中，“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】先考虑充分性，再考虑必要性利用函数单调性可得解.

【详解】当，因为在内单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件；

当时，因为在内单调递减，所以，所以“”是“”的必要条件.

故选：C.

4. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值求得正确答案.

【详解】，所以的定义域为，

，所以是奇函数，

图象关于原点对称，排除BD选项.

，排除C选项，

所以A选项正确.

故选：A

5. 1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”如下图，则其第10行第11列的数为（    ）

A. 220 B. 241 C. 262 D. 264

【答案】B

【解析】

【分析】观察可得第一列成等差数列，然后再观察每一行的特点，即可得到第10行第11列的数.

【详解】第一列的数字为可得为等差数列，公差，

则

则第10行的第一个数字为

然后第一行的数字是加3递增，第二行的数字是加5递增，第三行的数字是加7递增，

则第行的是加递增，

则第10行是加递增

所以第10行第11列的数为

故选:B

6. 设、，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角恒等变换可得出，再利用正切函数的单调性可得出合适的选项.

【详解】因为、，则，且，

，

所以，，可得.

故选：A.

7. 函数，则在下列区间上为单调递增函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先将函数化简，然后换元令，结合复合函数的单调性对选项逐一判断即可得到结果.

【详解】

令，，所以在区间单调递增，在区间单调递减

在，无单调性，A错误．

在递增，则，∴在递减，B错误.

在递减，∴在递增，C正确．

在递减，，∴在递减，D错误.

故选:C.

8. 已知点，及圆上的两个动点C、D，且，则的最大值是（    ）

A. 6 B. 12 C. 24 D. 32

【答案】C

【解析】

【分析】求出两点坐标，设，计算，由弦的中点在以原点为圆心3为半径的圆上，求得圆方程，然后用三角换元法化为三角函数式，利用和与差的正弦公式化简后可得最大值．

【详解】，，

，，

，同理，，，

设，

，

，则中点到圆心的距离为，中点的轨迹方程为，

中点在上，

∴，令（），

，时等号成立，

故选：C．

【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，解题关键是确定中点在圆上，这样可用元法把与用一个变量表示，把与之有关的问题转化为三角函数问题求解．本题才学生运算求解能力要求较高，属于难题．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.

9. 对于任意复数，下列说法中正确的有（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C.  D. 若，则

【答案】AD

【解析】

【分析】根据复数的概念和复数的模以及复数的运算逐项排除.

【详解】设

，即，∴，，故A对；

但与无大小，故B错；

时，故C错；

，∴，，故D对，

故选：AD．

10. 某企业决定对某产品分两次提价，现有三种提价方案：①第一次提价，第二次提价；②第一次提价，第二次提价；③第一次提价，第二次提价．其中，比较上述三种方案，下列说法中正确的有（    ）

A. 方案①提价比方案②多 B. 方案②提价比方案③多

C. 方案②提价比方案①多 D. 方案①提价比方案③多

【答案】BCD

【解析】

【分析】分别用表示三个方案提价后的价格，结合，作差比较即可判断.

【详解】不妨设原价1，

方案1：两次提价后变为，

方案2：两次提价后变为，

方案3：两次提价后变为，

由于，即，

，A错，C对．

，则，B对．

，D对，选BCD．

11. 数列的前n项和为，若，则（    ）

A. 是等比数列 B. 是单调数列

C. 是单调数列 D. 是单调递增数列

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据递推公式求出数列的通项公式，然后逐项检验即可求解.

【详解】当时，，∴，

时，，

∴，∴，

，

∴是以为公比的等比数列，A对，

无单调性，B错，，

∴，

，

∴是单调递减数列，C对，

，则是单递增数列，D对，

故选：ACD．

12. 对于函数，若在区间I上存在，使得，则称是区间I上的“函数”．下列函数中，是区间I上的“函数”的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据“函数”的定义，对于ABC，举例判断，对于D，转化为两个函数图像有交点，作出图像判断.

【详解】对于A，时，，A对．

对于B，时，，B对．

对于C，有且仅有一个零点0，，C错．

对于D，，分别作出与在的图像有交点，即有解，D对，

故选：ABD．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．请把答案写在答题纸的指定位置上．

13. 中，，若，则___________．

【答案】

【解析】

【分析】由平面向量的三点共线定理求得x、y的值，代入计算即可.

【详解】，

，

即．

.

故答案为：.

14. 半径为2的球的内接圆柱的侧面积的最大值是___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据球和圆柱的几何性质，结合基本不等式、圆柱侧面积公式进行求解即可.

【详解】设圆柱底面半径为r，高为h，则，当且仅当取等号，

即，．

故答案为：

15. 若圆与函数的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则___________．

【答案】0

【解析】

【分析】根据导数的几何意义，结合圆的切线性质进行求解即可.

【详解】设，∴，

∴，显然，且，

∴，

，

．

故答案为：0

【点睛】关键点睛：利用添项进行因式分解求解方程的实根是解题的关键.

16. 中，，则最小值为___________．

【答案】2

【解析】

【分析】先将题干条件利用正弦的和差角公式展开化简，得到，代入正切的和角公式展开中，将也用表示，最后代入原式，讨论的正负，当为正时，利用基本不等式求得原式的最小值.

【详解】

且

∴原式

若A为钝角，则为钝角，∴与条件矛盾，舍

故A为锐角，∴，，当且仅当时取“=”

故答案为：2

四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．

17. 已知O为坐标原点，．

（1）若，求；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）3    （2）

【解析】

【分析】（1）利用，求出，利用向量的模长公式，即可求解.

（2）利用，再根据，即可求出取值范围.

【小问1详解】

时，，∴

∴

【小问2详解】

∵，∴，∴

∴的取值范围为．

18. 首项为4的等比数列的前n项和记为，其中成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据等差中项及数列和的意义化简可得公比，由等比数列通项公式求解即可；

（2）裂项相消法求出数列的和即可.

【小问1详解】

∵成等差数列，

∴

，

∴等比数列公比，

∴

【小问2详解】

，

∴，

∴.

19. 中，角A，B，C的对边分别是．

（1）求角A的大小；

（2）若，的面积是，求的周长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据，化简得到求解；

（2）在中，由余弦定理得再结合的面积是求解.

【小问1详解】

解：因为，

所以，

在中，，

∴，

∴，

则

因为，

所以.

【小问2详解】

在中，由余弦定理得

又的面积是，

所以，

则

则，

∴周长为．

20. 设函数．

（1）若函数是增函数，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使得是的极值点？若存在，求出a；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】（1）由是增函数等价转化为恒成立，通过参变分离，求新函数的最值，得到参数a的取值范围；

（2）先假设是的极值点，由必要性条件求出a的值，再代回验证，发现不能使是极值点成立，故判断为不存在.

【小问1详解】

，∵是增函数，

∴对恒成立，∴

令

令且当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴，∴

即a的取值范围为．

【小问2详解】

若是的极值点，则必有（必要性）

当时，

∴在上单调递增，无极值点，故假设不成立

即不存在这样的a．

21. 数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足，求的前n项和．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）已知等式，再写一次（用替换）后，两式相减可得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，分别求出通项公式后可得；

（2）用错位相减法求和．

【小问1详解】

由①②，

②-①，

∴的奇数项与偶数项各自成等差数列，

由，∴，

∴，∴，n为奇数，

，∴，n为偶数．

∴.

【小问2详解】

，设前n项和为，

∴①，

②，

①－②，

．

22 设函数．

（1）当时，求在点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积；

（2）当时，恒成立，求a的最大值．

【答案】（1），   

（2）1

【解析】

【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程，从而得到切线方程与两坐标轴的交点坐标，求出围成的三角形的面积；

（2）利用同构得到，构造，得到，由单调性得到，构造，，分与两种情况，利用导函数得到，的单调性，从而求出a的最大值.

【小问1详解】

时，，，切点，

∴，切线方程为

令，令，

∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．

【小问2详解】

由

令，显然在R上单调递增，

且由，

所以，只需

令，，

则，

若，即时，恒成立，

故在上单调递增，此时，

所以，与取交集后得到；

若，即时，

当时，，故单调递增，

当时，，故单调递减，

故在处取得极小值，也是最小值，

故，

故，

综上：a的最大值为l．

【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形得到，从而构造进行求解.