2023届陕西省咸阳市咸阳中学高三上学期第二次质量检测数学（理）试题含解析

2023届陕西省咸阳中学高三上学期第二次质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．设全集 ，集合，则图中的阴影部分表示的集合是（    ）

A．​ B．

C． D．​

【答案】A

【分析】利用集合的基本运算求解即可.

【详解】全集 ，集合，

集合，

图中所示的阴影部分为，

故选：A.

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据分式不等式的解法求的解集，结合充分必要性定义判断题设条件间的关系即可.

【详解】当时，有或，

所以是的充分条件，但不是必要条件.

故选：A

3．已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【分析】采用列举法列举出中元素的即可.

【详解】由题意，中的元素满足，且，

由，得，

所以满足的有，

故中元素的个数为4.

故选：C.

【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.

4．已知函数为R上的偶函数，若对于时，都有，且当时，，则等于（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】A

【分析】由已知确定函数的周期，利用周期性和奇偶性进行求解.

【详解】∵为上的偶函数，∴，

又当时，，

∴，

当时，，

∴.

故选：A.

5．设奇函数 在上单调递增，且，则不等式的解集是（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】由奇函数性质得在上的单调性，利用奇函数的性质化简不等式，然后分类讨论由单调性求解．

【详解】∵为奇函数，函数​在​上单调递增，

∴在上单调递增，又​，∴，

，即，

当 时，上式化为，解得​;

当 时，上式化为，解得​，

​原不等式的解集是或​.

故选：D.

6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知星的星等是，星的星等是，则星与星的亮度的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，运用代入法，结合对数与指数的互化公式进行求解即可.

【详解】因为，星的星等是，星的星等是，

所以，

故选：A

7．“ ”的一个充分条件是（    ）

A． B．  C． D．

【答案】D

【分析】解不等式直接证明，或举特例判断.

【详解】根据得为任意实数，所以A错；

由，得，当且时，有；当且时，有，不满足题意，所以B错；

因为满足，也满足，不满足题意，所以C错；

因为，所以，所以能推出，满足题意，D 正确.

故选： D.

8．设函数的最大值为a，最小值为b，则(    )

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】利用分类常数法化简f(x)解析式为，根据为奇函数，根据奇函数的图像性质即可求解.

【详解】∵，

函数为奇函数，

由于奇函数的图象关于原点对称，∴，

从而，

故选：D．

9．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合对称性求得的取值范围.

【详解】依题意，

，关于对称.

不妨设，

则，

，

所以，

即.

故选：D

10．已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先将题意转化为对，，都有，构造函数得到在为减函数，从而得到，恒成立，再利用导数求出最小值即可得到答案.

【详解】因为对，，都有成立，

所以对，，都有.

设，则在为减函数.

，

等价于，恒成立，

即，恒成立.

设，，

所以，，为减函数，

，，为增函数，

所以，所以，即.

故选：C

11．实数，，，满足：，，则的最小值为（    ）

A．0 B． C． D．8

【答案】D

【分析】由题设，将问题转化为求上的点与上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义求上与平行的切线方程，应用点线距离公式求目标式的最值即可.

【详解】由，则，又，

的最小值转化为：

上的点与上的点的距离的平方的最小值，

由，得：，

与平行的直线的斜率为1，

∴，解得或（舍，可得切点为，

切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，

的最小值为：.

故选：D.

12．已知函数，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】作出函数的图象，利用图象可比较出的大小，再利用二次函数的性质可求得结果

【详解】因为，所以，因为，所以，

作出函数的图象，如图所示，

由题意可知直线与函数的图象的交点分别为，

由图可知，

因为，所以，

因为的对称轴为，

所以在上单调递增，

所以

故选：D

二、填空题

13．“ ”是“”的________条件.

【答案】充分不必要

【分析】化简可得然后根据充分性与必要性的定义即可作出判断

【详解】由可得“”是“”的充分不必要条件，

故答案为：充分不必要

14．已知函数的定义域是，且在为单调递增函数，则满足条件的________. （写出一个满足条件的函数即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据的定义域、对称性、单调性写出符合题意的一个函数解析式.

【详解】表示的图象关于直线对称，

的定义域是，且在上递增，则在上递减，

函数符合题意.

故答案为：（答案不唯一）

15．已知正数，，函数（且）的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值为________.

【答案】

【分析】求出A的坐标，代入直线方程即可得，从而所求式子整理成，结合基本不等式即可求出最小值.

【详解】因为函数，恒过点，

所以，

代入直线的方程得，其中，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为:

16．已知函数，若，且，则的最小值是_____.

【答案】

【分析】根据分段函数在两段上都单调,可得,且,所以,然后构造函数,利用导数求得最小值即可.

【详解】因为函数在上递增,在上也递增,且时,,

所以,所以,,

所以,即,

所以,,

令,

则,

当时,,当时,,

所以在上递减,在上递增,

所以时,取得最小值.

即的最小值是:.

故答案为: .

【点睛】本题考查了构造法,利用导数求函数的最小值,属于中档题.

三、解答题

17．已知函数

(1)计算；；的值；

(2)结合（1）的结果，试从中归纳出函数的一般性结论，并证明这个结论；

(3)求的值．

【答案】(1)1；1；1；

(2)；证明见解析；

(3)

【分析】（1）利用函数解析式代入法去求解即可解决；

（2）结合（1）的结果，归纳出，利用函数解析式代入即可证明；

（3）利用（2）的结论及的值即可求得的值．

【详解】（1）；

；

（2）结合（1）的结果，归纳出，证明如下：

（3）由（2）可知，则

18．已知函数​.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数在区间上的最大值与最小值之差为，求​.

【答案】(1)答案详见解析

(2)

【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（2）根据（1）的结论，通过在区间上的最大值与最小值来求得.

【详解】（1）因为​，

所以​.

①当时，恒成立，在上单调递增；

②当时，在区间上，，递增；

在区间上，，递减.

（2）由（1）可知：

①当时，在上单调递增，；

②当，即时，在上单调递减，；

③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

，

，

故当时，​；

当时，​；

综上可得:​.

19．已知函数（其中e为自然对数的底数，…）．

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)若恒成立，求实数a的值．

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求得在点处的切线方程；

（2）设，求得，当时，求得单调递增，且，不满足恒成立；当时，求得，得到，设，利用导数求得函数的单调性和最小值，进而得到答案.

【详解】（1）解：当时，，则，即切点为，

又由，则切线的斜率，

所以函数在点处的切线方程为．

（2）解：设，则．

当时，，单调递增，，

不满足恒成立；

当时，在上单调递减．在上单调递增．

所以的最小值为,即，

即，

设，可得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

即，故的解只有．

综上可得，实数的值为．

20．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．

(1)求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额减去成本）

(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．

【答案】(1)

(2)100百辆时，1300万元

【分析】（1）分和，由利润=销售额减去成本求解；

（2）由（1）的结果，利用二次函数和对勾函数的性质求解.

【详解】（1）解：由题意得当，，

当时，，

所以；

（2）当时，，

当时，，

当时，

由对勾函数，当时，

，时，，

时，

即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元

21．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2)

【分析】（1）利用的导数去讨论的单调性；

（2）构造新函数转化成新函数最大值不大于0去求的取值范围．

【详解】（1），

若，则当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

若时，，所以在上单调增；

若，则当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

（2）当时，恒成立等价于当时，恒成立，

即当时，恒成立．

设，，

则．

设，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

若时，，所以在上单调递减，

则，解得．

若时，当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

则时，，不合题意，

故实数的取值范围为．

22．已知函数（且）．

(1)，求函数在处的切线方程．

(2)讨论函数的单调性；

(3)若函数有两个零点，且，证明：．

【答案】(1)；

(2)答案见解析；

(3)证明见解析.

【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；

（2）求出导函数，对a分类讨论： a<0和a>0分别讨论单调性；

（3）本题属于极值点偏移，利用分析法转化为只要证明f(2e- x2)>0，由构造函数，利用导数证明出g(t)在(e，2e)上是递增的，得到g(t)>g(e)=0即为f(2e- x2)>0.

【详解】（1）当时，，所以.

，所以.

所以函数在处的切线方程为，即.

（2）的定义域为(0，+∞)， .

当a<0时， 恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减；

当a>0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.

（3）当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.

由题意可得：.由及得：.

欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.

由得 .所以

令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.

综上x1+x2>2e.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

(4)利用导数判断单调性，证明不等式．