2022-2023学年九年级数学上学期期末满分预测押题卷

这是一份2022-2023学年九年级数学上学期期末满分预测押题卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

【期末满分突破】满分预测押题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知是方程的一个根，则a的值为（   ）
A．1 B．-1 C． D．
2．某市连续10天的最低气温统计如下（单位：℃）：4，5，4，7，7，8，7，6，5，7，该市这10天的最低气温的中位数是（　　）
A．6℃ B．6.5℃ C．7℃ D．7.5℃
3．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=36°，则∠ABD等于（ ）

A．54° B．56° C．64° D．66°
4．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．任意画一个正五边形，它是中心对称图形
B．某课外实践活动小组有13名同学，至少有2名同学的出生月份相同
C．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
D．相等的圆心角所对的弧相等
5．某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：
年龄(岁)
18
19
20
21
22
人数
2
5
2
2
1

则这12名队员年龄的众数、中位数分别是(　　)
A．2，20岁 B．2，19岁 C．19岁，20岁 D．19岁，19岁
6．如图所示，一个大正方形的面上，编号为1,2,3,4的地块，是四个全等的等腰直角三角形空地，中间是小正方形绿色草坪，一名训练有素的跳伞运动员，每次跳伞都能落在大正方形地面上，则跳伞运动员一次跳伞落在草坪上的概率是（    ）

A． B． C． D．
7．2021年顺平县林木覆盖率为39.7%，被评为“河北省森林城市”．为进一步巩固成果，全县大力开展植树造林活动，计划到2023年森林覆盖率达到50%，如果这两年的森林覆盖年平均增长率相同，均为x，那么符合题意的方程是（     ）
A． B．
C． D．
8．如图1，点是上一定点，圆上一点从圆上一定点出发，沿逆时针方向运动到点，运动时间是，线段的长度是．图2是随变化的关系图象，则点的运动速度是（   ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣3＝0的一个根，则m的值为__________．
10．甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，如果甲比赛成绩的方差为S甲2=16.7，乙比赛成绩的方差为S乙2=28.3，那么成绩比较稳定的是_____（填甲或乙）
11．如图，A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠B＝118°，则∠D的度数为______°．

12．不透明的袋子里放有2个红球和若干枚白球，从中随机摸出一个球是白球的概率为A；现从中取出一个红球不放回（白球个数不改变），从中随机摸出一个球是白球的概率变为B．若B=A(A≠0)，则袋子中的白球有_________个．
13．如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为_______米．

14．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内原有液体的最大深度．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为，则截面圆中弦的长减少了________（结果保留根号）．

15．在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16=49，则该方程的正数解为7-4=3．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39．
（1）该方程的正数解为______；
（2）c的值为______．

16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB＝60°，现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时点B走过的距离为____________．（结果保留л）．

17．在创建“书香校园”活动中，为了解学生的读书情况，某校抽样调查了部分同学在一周内的阅读时间，绘制如下统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）被抽查学生阅读时间的中位数为_______h，众数为________h；平均数为________h：
（2）若该校共有800名学生，请你估算该校一周内阅读时间不少于3h的学生人数．

18．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面，在个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷．小红在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号1的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域，数字表示在A区域中有1颗地雷，那么第二步踩B区域，踩到地雷的概率为______．

三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．解一元二次方程
(1)；
(2)（用公式法）．
20．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
21．如图，已知△ABC．

(1)求作△ABC的内切圆（保留作图的痕迹，不要求写出作法）；
(2)填空：设△ABC的内心为O，边BC，CA，AB上的切点依次为D，E，F，连接DE，DF，若，则________．
22．如图1，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠C+∠D＝90°，BF∥CD．

(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)延长AC交直线FB于点P（如图2），若点E为OB中点，CD＝6，求PC的长．
23．如图△ABC三个顶点的坐标分别为，，．

(1)请画出△ABC关于x轴对称的，并写出点的坐标；
(2)请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的，并写出点的坐标；
(3)求出（2）中点C旋转到点所经过的路径长．
24．为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如下图所示：

大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表：
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
10
15
40
25
20

请根据调查的信息分析：
(1)补全频数分布直方图．
(2)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______首．
(3)估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数．
(4)选择适当的统计量，从某一个角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
25．为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；④24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：

（1）本次随机抽查的学生人数为__________人，补全图（Ⅰ）；
（2）参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱①数独挑战的学生人数为__________人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为__________度；
（3）计划在①，②，③，④四项活动中随机选取两项作为重点直播项日，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中①，④这两项活动的概率
26．如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．

(1)求证：CD＝ED；
(2)连接AD与OC、BC分别交于点F、H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
27．为兼顾季节性用水差异，大力推进水资源节约，从2019年1月1日起，遵义市中心城区居民生活用水的阶梯水量，将从“月计量”缴费调整为“年计量”缴费按“一户一表”，居民家庭为3口人计算，阶梯用水量及水价见下表：

年用水量（吨）
水价（元/吨）
第一阶梯
0～216（含216）

第二阶梯
216～288（含288）

第三阶梯
288以上
8.4

小明家和小刚家均为3口之家，2018年全年用水量分别为260吨和300吨，若按“年计量”缴费标准计算，小明家和小刚家全年应缴水费分别为789.6元和1008元.
（1）求表中，的值；
（2）小刚家实施节水计划，以2018年用水量为起点，预计2020年用水量降到243吨，且从2018年到2020年每年用水量的平均下降率都相同，请按此下降率计算2021年小刚家用水量.
28．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在和中，若，且，则和是余等三角形．
（1）如图2，等腰直角，其中，，点是上任意一点（不与点、重合），则图中______和______是余等三角形，并求证：．
（2）如图3，四边形是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，且，
①求证：和是余等三角形．
②图4，连结交于点，连结，为上一点，连结并延长交于点，若，，设，，求关于的函数关系式．


答案与解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知是方程的一个根，则a的值为（   ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】C
【分析】将代入方程即可解出．
【详解】将代入可得
解得a=3，
故答案为C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，将一个根代入得到关于a的方程是本题的关键．
2．某市连续10天的最低气温统计如下（单位：℃）：4，5，4，7，7，8，7，6，5，7，该市这10天的最低气温的中位数是（　　）
A．6℃ B．6.5℃ C．7℃ D．7.5℃
【答案】B
【分析】由于10天天气，根据数据可以知道中位数是按从小到大排序，第5个与第6个数的平均数．
【详解】解：10天的气温排序为：4，4，5，5，6，7，7，7，7，8，
中位数为：=6.5，
故选B．
【点睛】本题属于基础题，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
3．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=36°，则∠ABD等于（ ）

A．54° B．56° C．64° D．66°
【答案】A
【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠BCD=36°，然后利用互余计算∠ABD的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=∠BCD=36°，
∴∠ABD=90°-∠A=90°-36°=54°．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余．
4．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．任意画一个正五边形，它是中心对称图形
B．某课外实践活动小组有13名同学，至少有2名同学的出生月份相同
C．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】B
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、正五边形不是中心对称图形，故A是不可能事件；
B、某课外实践活动小组有13名同学，至少有2名同学的出生月份相同，是必然事件，故B正确；
C、不等式的两边同时乘以一个数，结果不一定是不等式，是随机事件，故C错误；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D是随机事件，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，解题的关键是熟练掌握定义，正确的进行判断．
5．某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：
年龄(岁)
18
19
20
21
22
人数
2
5
2
2
1

则这12名队员年龄的众数、中位数分别是(　　)
A．2，20岁 B．2，19岁 C．19岁，20岁 D．19岁，19岁
【答案】D
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：把这些数从小到大排列，最中间的数是第6、7个数的平均数，
则这12名队员年龄的中位数是=19（岁）；
19岁的人数最多，有5个，则众数是19岁．
故选D．
【点睛】本题考查了中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．如图所示，一个大正方形的面上，编号为1,2,3,4的地块，是四个全等的等腰直角三角形空地，中间是小正方形绿色草坪，一名训练有素的跳伞运动员，每次跳伞都能落在大正方形地面上，则跳伞运动员一次跳伞落在草坪上的概率是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设大正方形的边长为，从而可得大正方形的面积为，先求出小正方形绿色草坪的面积，再根据简单事件的几何概率公式即可得．
【详解】设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，
编号为的地块是四个全等的等腰直角三角形空地，
等腰直角三角形的直角边均相等，且长为，
由勾股定理得：等腰直角三角形的斜边长为，
即小正方形绿色草坪的边长为，
小正方形绿色草坪的面积为，
则跳伞运动员一次跳伞落在草坪上的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查了简单事件的几何概率计算公式、全等三角形的性质、勾股定理等知识点，根据全等三角形的性质和勾股定理求出小正方形绿色草坪的边长是解题关键．
7．2021年顺平县林木覆盖率为39.7%，被评为“河北省森林城市”．为进一步巩固成果，全县大力开展植树造林活动，计划到2023年森林覆盖率达到50%，如果这两年的森林覆盖年平均增长率相同，均为x，那么符合题意的方程是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用2022年底森林覆盖率＝2020年底森林覆盖率×（1+这两年的森林覆盖率年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：，
即．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．如图1，点是上一定点，圆上一点从圆上一定点出发，沿逆时针方向运动到点，运动时间是，线段的长度是．图2是随变化的关系图象，则点的运动速度是（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过观察，可以发现当x=1时，y有最大值2，即⊙O的直径为2，半径为1；再根据当x=0时，y=AP=,由勾股定理逆定理可得∠AOB=90°；进而求得点P运动1s，走了圆周，即求出圆周的长即可．
【详解】解：∵当x=1时，y有最大值2
∴⊙O的直径为2，半径为1
∵当x=0时，y=AP=,
∴
∴∠AOB=90°
∴点P运动1s时，走了圆周，
∴点的运动速度是cm/s
故答案为C．
【点睛】本题考查了分析函数图像、弧长公式、勾股定理逆定理等知识，掌握弧长公式和分析函数图像的方法是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣3＝0的一个根，则m的值为__________．
【答案】2
【分析】把x=-1代入x2-6x+m2-4m-3=0即可得出m的值．
【详解】解：由题意可得：1+6+m2-4m-3=0，
整理，得

∴m=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的根．
10．甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，如果甲比赛成绩的方差为S甲2=16.7，乙比赛成绩的方差为S乙2=28.3，那么成绩比较稳定的是_____（填甲或乙）
【答案】甲
【解析】解：∵S甲2=16.7，S乙2=28.3，∴S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩比较稳定，
故答案为甲．
11．如图，A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠B＝118°，则∠D的度数为______°．

【答案】124
【分析】连接 AD ，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到∠ADC = ∠ADE ，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC ，进而得到答案．
【详解】解：连接 AD ，

∵ ，
∴∠ADC = ∠ADE ，
∵四边形 ABCD 为 O 内接四边形， ∠B =118°，
∴∠ADC =180°- ∠B =180°-118°=62°，
∴∠CDE =2×62°=124°，
故答案为：124
【点睛】本题考查了的是圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的对角互补．
12．不透明的袋子里放有2个红球和若干枚白球，从中随机摸出一个球是白球的概率为A；现从中取出一个红球不放回（白球个数不改变），从中随机摸出一个球是白球的概率变为B．若B=A(A≠0)，则袋子中的白球有_________个．
【答案】3
【分析】设袋子中白球有x个，根据求概率公式表示出A、B，再根据B=A列出方程，解之即可解答．
【详解】解：设袋子中白球有x个，根据题意，
得：，
解得：x1=3，x2=0（不符合题意，舍去）
经检验，x=3是所列方程的根，
故袋子中的白球有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、概率公式，熟练掌握分式方程的解法和概率公式是解答的关键．
13．如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为_______米．

【答案】3
【分析】过O作OD⊥AB于D，连接OA，由垂径定理得AD=BD=AB=4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD的长即可．
【详解】解：过O作OD⊥AB于D，连接OA，如图所示：

则AD=BD=AB=4（米），
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=（米），
即圆心O到水面AB的距离为3米，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
14．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内原有液体的最大深度．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为，则截面圆中弦的长减少了________（结果保留根号）．

【答案】
【分析】由垂径定理和勾股定理分别求出和的长，即可得出答案．
【详解】解：设交于，

由题意得：，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即截面圆中弦的长减少了，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．
15．在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16=49，则该方程的正数解为7-4=3．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39．
（1）该方程的正数解为______；
（2）c的值为______．

【答案】     3     -39
【分析】仿照已知构造图形得到大正方形的面积为64，由此得到方程的正数解，将解代入方程即可求出c．
【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方的面积为，
∴该方程的正数解为，
把x=3代入方程得9+30+c=0，
解得c=-39，
故答案为：3，-39．
【点睛】此题考查了利用图形法求一元二次方程的解，正确读懂题意，仿照已知题意求出大正方形的面积是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB＝60°，现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时点B走过的距离为____________．（结果保留л）．

【答案】
【分析】根据点A的坐标（-2，0），可得OA=2，再根据含30°的直角三角形的性质可得OB的长，再通过弧长公式即可求解．
【详解】解：∵点A的坐标（-2，0），
∴OA=2，
∵△ABO是直角三角形，∠AOB=60°，
∴∠OAB=30°，
∴OB=OA=1，
∵将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，
∴∠BOB’=∠AOA’=90°，
∴点B走过的距离为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
17．在创建“书香校园”活动中，为了解学生的读书情况，某校抽样调查了部分同学在一周内的阅读时间，绘制如下统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）被抽查学生阅读时间的中位数为_______h，众数为________h；平均数为________h：
（2）若该校共有800名学生，请你估算该校一周内阅读时间不少于3h的学生人数．

【答案】（1）2，2，2.34；（2）阅读时间不少于3 h的学生约有288人．
【分析】（1）根据题意与中位数、众数、平均数的定义进行解答即可；
（2）用800名学生乘以一周内阅读时间不少于3h的学生人数的比例即可得解.
【详解】（1）解：由题意可知，被抽查学生阅读时间的中位数为2h，众数为2h，
平均数==2.34h；
（2）用800名学生乘以一周内阅读时间不少于3h的学生人数的比例可得：=288（人），
答：阅读时间不少于3 h的学生约有288人．
【点睛】本题主要考查中位数，众数，平均数与用样本估算总量.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
18．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面，在个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷．小红在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号1的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域，数字表示在A区域中有1颗地雷，那么第二步踩B区域，踩到地雷的概率为______．

【答案】
【分析】先求出B区方格数，再求出B区地雷数，根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：一共有=81个方格，
A区有6个方格，
所以，B区有81-6=75个方格，
又B区地雷数为：10-1=9（颗）
所以，第二步踩B区域，踩到地雷的概率为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了简单概率的计算，灵活运用概率公式是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．解一元二次方程
(1)；
(2)（用公式法）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用开平方法求解即可；
（2）根据公式法解方程的步骤依次计算即可．
【详解】（1）∵，∴， 则或，解得．
（2）∵，∴，则，∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
20．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程有两个根得到，列出不等式求解；
（2）根据根与系数的关系即可得出，，结合m的取值范围即可得出，，再由得到，即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．
【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
即，
∴．
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，，
∴，．
∵，                         
∴，
∴，
解得：或．
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出；（2）根据根与系数的关系结合得出．
21．如图，已知△ABC．

(1)求作△ABC的内切圆（保留作图的痕迹，不要求写出作法）；
(2)填空：设△ABC的内心为O，边BC，CA，AB上的切点依次为D，E，F，连接DE，DF，若，则________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作∠ABC、∠ACB的角平分线，两条角平分线交于O点，过O点作OD⊥BC于D，以O点为圆心，以OD为半径画圆，⊙O就是△ABC的内切圆．
（2）连接OE、OF，由切线的性质可知∠OFA=∠OEA=，根据四边形的内角和等于求出∠EOF的度数．根据圆周角定理即可求出∠EDF的度数．
【详解】（1）

如图，⊙O就是△ABC的内切圆；
（2）

如图连接OE、OF，
∵F、E分别是⊙O 与AB、AC边的切点，
∴∠OEA=∠OFA=，
在四边形AFOE中，∠A=，
∴∠EOF=，
∵∠EOF与∠EDF是EF弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠EDF=∠EOF=，
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的尺规作图法，切线的性质及圆周角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．如图1，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠C+∠D＝90°，BF∥CD．

(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)延长AC交直线FB于点P（如图2），若点E为OB中点，CD＝6，求PC的长．
【答案】(1)见解析
(2)PC=2
【分析】（1）根据圆周角定理以及已知条件可得∠BEC=∠A+∠C=90°，根据平行线的性质得∠ABF=∠BEC=90°，则AB⊥BF，即可得BF是⊙O的切线；
（2）由垂径定理得DE=CE=3，根据线段垂直平分线的性质得OD=BD，可证明△OBD是等边三角形，可得∠BDE=30°，BD=2BE，根据勾股定理求出BE=，可得OB=2，AB=4，在Rt△ACE中，根据勾股定理得AC=6=2CE，则∠A=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠A=∠D，∠C+∠D=90°，
∴∠BEC=∠A+∠C=90°，
∵BFCD，
∴∠ABF=∠BEC=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，

∵∠BEC=90°，
∴AB⊥CD，
∵点E为OB中点，CD=6，
∴CE=DE=3，OD=BD，
∴OB=OD=BD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠OBD=60°，∠BDE=30°，
∴BD=2BE，∠A=∠BDE=30°，
在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2，
∴（2BE）2=BE2+32，解得BE=，
∵点E为OB中点，
∴OB=2，AB=4，
∴AE=3，
在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2=32+（3）2=36，
∴AC=6=2CE，
∵AB=4，
∴BP=4，AP=8，
∴PC=8-6=2．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
23．如图△ABC三个顶点的坐标分别为，，．

(1)请画出△ABC关于x轴对称的，并写出点的坐标；
(2)请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的，并写出点的坐标；
(3)求出（2）中点C旋转到点所经过的路径长．
【答案】(1)图见解析，点的坐标为
(2)图见解析，点的坐标为
(3)
【分析】（1）先作出点A，B，C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得到；根据点A1的位置写出其坐标即可．
（2）先作出点A，B，C绕点O逆时针旋转90°的对应点，再顺次连接即可得到；根据点A2的位置写出其坐标即可．
（3）先根据勾股定理求出OC的长度，再根据弧长公式求解即可．
【详解】(1)解：作点A，B，C关于x轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接，
画图如下，即为所求，点的坐标为．

(2)解：作点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A2、B2、C2，再顺次连接
画图如（1）中图所示，点的坐标为．
(3)解：．
∴点C旋转到点所经过的路径长为．
【点睛】本题考查轴对称作图，旋转作图，写出平面直角坐标系中点的坐标，勾股定理，弧长公式，熟练掌握这些知识点是解题关键．
24．为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如下图所示：

大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表：
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
10
15
40
25
20

请根据调查的信息分析：
(1)补全频数分布直方图．
(2)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______首．
(3)估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数．
(4)选择适当的统计量，从某一个角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
【答案】(1)见解析
(2)4.5
(3)850
(4)见解析
【分析】（1）根据5首的人数和圆心角的度数求出抽取的学生数量，再求出4首的人数即可；
（2）把数据从小到大排列，求中间两个数的平均数即可；
（3）求出大赛后一个月一周诗词诵背6首（含6首）以上的比例，乘以全校学生数即可；
（4）求出两次调查的平均数，比较大小即可．
【详解】(1)解：由题意得抽查的这部分学生的数量为20÷＝120（名），
大赛启动之初，一周诗词诵背数量为4首的人数为120×＝45（名），补全统计图如图所示：

(2)解：活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”共抽样调查了120人，处在第60位和第61位的数据分别为4首和5首，中位数为（4+5）÷2=4.5（首），
故答案为：4.5．
(3)解：大赛后一个月，一周诗词诵背6首（含6首）以上的的人数为（人），
答：估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数为850人．
(4)解：活动启动之初的平均数为（首）；
大赛后一个月的平均数为（首）；
大赛后一个月学生 “一周诗词诵背数量”的平均数高于活动启动之初学生 “一周诗词诵背数量”的平均数，该校经典诗词诵背系列活动的效果非常好，提高了学生背诵诗词的能力．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图以及平均数和中位数的计算公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
25．为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；④24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：

（1）本次随机抽查的学生人数为__________人，补全图（Ⅰ）；
（2）参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱①数独挑战的学生人数为__________人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为__________度；
（3）计划在①，②，③，④四项活动中随机选取两项作为重点直播项日，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中①，④这两项活动的概率
【答案】（1）60，见解析；（2）125、90；（3）
【分析】（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校人数乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数，再用360°乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%=60（人），
则喜爱⑤玩转魔方游戏的人数为：60-15-18-9-6=12（人），
补全图（Ⅰ）如下：

故答案为：60；
（2）估计该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数为：500×=125（人），
图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×=90°，
故答案为：125，90；
（3）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个，
∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为=．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
26．如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．

(1)求证：CD＝ED；
(2)连接AD与OC、BC分别交于点F、H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）如图1中，连接BC．想办法证明∠E=∠DCE即可；（2）①如图2中，根据等腰三角形的性质得到∠CFH=∠CHF，根据三角形外角的性质得到∠ACO=∠OBC，求得∠OCB=∠OBC，得到∠ACO=∠BCO=∠ACB=45°，推出AC=BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②连接OD交BC于G．设OG=x，则DG=2-x．利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】（1）
解：证明：如图1中，连接BC．∵点D是弧BC的中点．∴，
∴∠DCB=∠DBC，∵AB是直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∴∠E+∠DBC=90°，∠ECD+∠DCB=90°，∴∠E=∠DCE，∴CD=ED；
（2）
①证明：如图2中，∵CF=CH，∴∠CFH=∠CHF，∵∠CFH=∠CAF+∠ACF，∠CHA=∠BAH+∠ABH，∵∠CAD=∠BAH，∴∠ACO=∠OBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=45°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∴AC=BC，∵∠ACH=∠BCE=90°，∠CAH=∠CBE，∴△ACH≌△BCE（ASA），∴CH=CE；
②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG=x，则DG=2-x．∵，
∴∠COD=∠BOD，∵OC=OB，∴OD⊥BC，CG=BG，在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22-x2=12-（2-x）2，∴x=，即OG=，
∵OA=OB，∴OG是△ABC的中位线，∴OG=AC，
∴AC=．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
27．为兼顾季节性用水差异，大力推进水资源节约，从2019年1月1日起，遵义市中心城区居民生活用水的阶梯水量，将从“月计量”缴费调整为“年计量”缴费按“一户一表”，居民家庭为3口人计算，阶梯用水量及水价见下表：

年用水量（吨）
水价（元/吨）
第一阶梯
0～216（含216）

第二阶梯
216～288（含288）

第三阶梯
288以上
8.4

小明家和小刚家均为3口之家，2018年全年用水量分别为260吨和300吨，若按“年计量”缴费标准计算，小明家和小刚家全年应缴水费分别为789.6元和1008元.
（1）求表中，的值；
（2）小刚家实施节水计划，以2018年用水量为起点，预计2020年用水量降到243吨，且从2018年到2020年每年用水量的平均下降率都相同，请按此下降率计算2021年小刚家用水量.
【答案】（1）的值为2.8，的值4.2；（2）2021年小刚家用水量为218.7吨.
【分析】（1）小明家：一阶梯水费+二阶梯水费=789.6；小刚家：一阶梯水费+二阶梯水费+三阶梯水费=1008；列出方程组，求得，即可.
（2）连续两年降低，列一元二次方程即可解.
【详解】（1）由题意得，解得，.
即：的值为2.8，的值4.2.
（2）由题意得，解得，（舍去），
（吨）
答：2021年小刚家用水量为218.7吨.
【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元二次方程组的应用问题，难度适中，认真分析，找到等量关系，正确求解即可.
28．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在和中，若，且，则和是余等三角形．
（1）如图2，等腰直角，其中，，点是上任意一点（不与点、重合），则图中______和______是余等三角形，并求证：．
（2）如图3，四边形是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，且，
①求证：和是余等三角形．
②图4，连结交于点，连结，为上一点，连结并延长交于点，若，，设，，求关于的函数关系式．

【答案】（1）和是余等三角形，见解析；（2）①见解析，②
【分析】
【详解】（1）∵为等腰直角三角形，
∴，，，
∴和是余等三角形，
作交于点，设，，

则，
∴，
∴，
∴；
（2）①连结并延长交于点，连结、，

在中，，
根据已知，可得：，所以，
又∵，，
∴，
∴，
由，可得，
同理可得，，
∴和是余等三角形．
②连结，，作于点，于点，

由①得，而，
∴，即，
∵，
∴为等腰直角三角形，易得，
∵，
∴，
∴，，
∴
在和中，
，
∴()，
设，，则，，
在中，，化简得，
在中，，化简得，
∴，
∴可以表示为：∴．
【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定，勾股定理，二次函数，新定义等知识点，解答本题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识点解答．