2022届福建省莆田华侨中学高三上学期第二次月考数学试题含解析

2022届福建省莆田华侨中学高三上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则=

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】由题意得，，则

．故选C．

【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

2．下列说法中正确的是（       ）

A．“”是“”的充要条件

B．在中，若， ，，则

C．命题“若，则”是真命题

D．“”是“（且）”成立的充分不必要条件

【答案】C

【分析】对A，由，可得可以互补、可以相差的整数倍，即可判断；

对B，由正弦定理求得，即可求得的度数，即可判断；

对C，利用不等式性质，两边同除ab即可推导；

对D，对a分类讨论，结合对数函数的性质即可判断

【详解】对A，若，，可知，且，故A错；

对B，由正弦定理可知，∴或，故B错；

对C，∵， ∴，即，故C对；

对D，若时，当时，，故“”不能推出“”，所以D错，

故选：C

3．在等差数列中， ，则

A．8 B．12 C．16 D．20

【答案】A

【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，，则，所以.故选A.

4．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

5．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由奇偶性和单调性求解即可

【详解】为奇函数，

∴，

又∵

∴，，，

又∵，且函数在区间上是增函数，

∴，

∴，，

故选：A.

6．已知向量，，若，则＝（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】由题意可求出，根据可得到并化简，结合和即可求出.

【详解】

故选：A．

7．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】换元，可得出，利用诱导公式以及二倍角余弦公式可求得所求代数式的值.

【详解】换元，可得，且，

所以，.

故选：D.

8．在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.

【详解】如下图所示：

，即，，

，，，，

，、、三点共线，则.

，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.

【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.

二、多选题

9．下列说法中正确的是（       ）

A．，

B．已知随机变量服从正态分布且，则

C．在二项式的展开式中第5项的二项式系数最大

D．设随机变量服从二项分布，则

【答案】BC

【分析】对A，利用期望的性质、方差的性质即可判断；

对B，利用正态分布的对称性及概率和为1即可判断；

对C，利用中间项的二项式系数最大的性质即可判断；

对D，利用二项分布的概率公式即可判断

【详解】对A，，，故A错；

对B，随机变量服从正态分布且，

所以，所以，故B对；

对C，二项式展开式共有9项，由二项式系数的性质可知第5项的二项式系数最大，故C对；

对D，因为随机变量服从二项分布，则，故D错，

故选：BC

10．函数，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是　　

A．的最小正周期为2

B．把图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象

C．在区间，上单调递减

D．是图象的一个对称中心

【答案】CD

【分析】根据函数的部分图象求出、、和的值，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．

【详解】解：由函数的部分图象知，

，，

解得，所以，选项错误；

由，得，

所以，，，

所以，函数．

图象上所有点向右平移个单位长度，

得的图象，

所以，选项错误；

，时，，，

所以函数单调递减，选项正确；

因为，

所以是图象的一个对称中心，选项正确．

故选：．

11．下列关于平面向量的说法中正确的是（       ）

A．已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得

B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

C．若且，则

D．若点为的重心，则

【答案】AD

【分析】由向量共线定理可判断选项A；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B；由数量积的运算性质可判断选项C；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D.

【详解】对于选项A： 由向量共线定理知选项A正确；

对于选项B：，若与的夹角为锐角，则

解得，当与共线时，，解得：，此时，，此时夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故选项B不正确；

对于选项C：若，则，因为，则或与垂直，

故选项C不正确；

对于选项D：若点G为的重心，延长与交于，则为的中点，所以，所以，故选项D正确.

故选：AD

【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于，但数量积大于向量夹角为锐角或，由向量夹角为锐角数量积大于，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于，但数量积小于向量夹角为钝角或.

12．设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（       ）

A．数列为等比数列 B．数列为等比数列

C．数列中 D．数列的前项和为

【答案】BCD

【解析】由已知可得，结合等比数列的定义可判断B；可得，结合和的关系可求出的通项公式，即可判断A；由的通项公式，可判断C；

由分组求和法结合等比数列和等差数列的前项和公式即可判断D.

【详解】因为，所以．

又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确；

所以，则．

当时，，但，故A错误；

由当时，可得，故C正确；

因为，所以

所以数列的前项和为，故D正确．

故选：BCD．

【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由可有目的性的构造为，进而得到，说明数列是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,

三、填空题

13．i是虚数单位，复数___________.

【答案】4–i       

【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

详解：由复数的运算法则得：.

点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14．等比数列中，且，则_______

【答案】5

【解析】利用等比数列下标和的性质可知，再进行化简即可求解出结果.

【详解】，

又等比数列中，，

，

故答案为：5．

【点睛】本题考查等比数列下标和性质的运用，难度一般.已知是等比数列，若，则有.

15．已知向量，，．若，则________．

【答案】

【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．

【详解】由题可得

,即

故答案为

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．

16．已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数的取值范围为_________

【答案】

【分析】求的导函数，因为是函数的唯一一个极值点，所以是导函数的唯一根，所以在上无变号零点．设，结合与的图像可知答案．

【详解】由题可得

因为是函数的唯一一个极值点，

所以是导函数的唯一根

所以在上无变号零点．

设，则

当时，，在上单调递减

当时，，在上单调递增

所以 ，

结合与的图像可知，若是函数的唯一极值点，则

故实数的取值范围为.

【点睛】本题考查导函数问题，解题的关键是构造函数

四、解答题

17．在的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若的周长为8，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，由此求得的大小.

（2）结合余弦定理求得，由此求得三角形的面积.

【详解】(1)由正弦定理可知，

，，

，.

(2)，，

由余弦定理得，

，得，

的面积.

18．已知等差数列满足：，．的前n项和为．

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．

【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得

解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可

试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，

解得，所以，.

（2）由（1）知，，

所以，

所以，

即数列的前项和.

【解析】等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和

19．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，现为了配合环境卫生综合整治，某企业引进了除尘设备，除尘后每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，除尘后当日产量时，总成本.

(1)求的值；

(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？

【答案】(1)

(2)除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元

【分析】（1）求出除尘后的函数解析式，利用当日产量时，总成本，代入计算的.

（2）求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可.

【详解】(1)（1）由题意，除尘后总成本，

当日产量时，总成本，代入计算得；

(2)（2）由（1），

总利润，

每吨产品的利润，

当且仅当，即时取等号，

除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元.

20．为推行“新课堂”教学法，某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲､乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，若成绩大于70分为“成绩优良”.

(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？

附：，

(2)从甲､乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记为所抽取的2人中来自乙班的人数，求的分布列及数学期望.

【答案】(1)列联表答案见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”

(2)分布列答案见解析，数学期望为

【分析】（1）根据茎叶图即可得出列联表，计算出卡方值，和3.841比较即可得出结论；

（2）可得的所有可能取值为0，1，2，计算出取不同值的概率，即可得出分布列，求出数学期望.

【详解】(1)根据茎叶图中的数据作出2×2列联表如表所示：

则，

所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.

(2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人，乙班有2人，

所以的所有可能取值为0，1，2，

则，，，

则随机变量的分布列为：

则数学期望.

21．在①，，②，，③点在直线上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.

已知数列的前n项和为，___________.

（1）求的通项公式；

（2）若，求的前项和.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

【分析】（1）若选①，根据已知条件考虑对应的等式，两式作差得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式；若选②，根据已知条件考虑对应的等式，结合得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式；若选③，将点代入直线方程，然后根据得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式；

（2）先求解出的通项公式，然后采用错位相减法进行求和.

【详解】（1）方案一：选条件①.

∵，∴当时，，

两式相减，整理得，

∵，∴，，

所以，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴.

方案二：选条件②.

∵，∴当时，，

两式相减，整理得，

∵，，∴，，

所以，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列.

∴

方案三：选条件③.

∵点在直线上，

∴，∴，

两式相减，整理得，当时，，得，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴.

（2）由（1）可得，，则，

，

两式相减得

∴.

【点睛】思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列的前项和的求解步骤（错位相减法）：

（1）先根据数列的通项公式写出数列的一般形式：；

（2）将（1）中的关于等式的左右两边同时乘以等比数列的公比；

（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；

（4）利用等比数列的前项和公式以及相关计算求解出.

22．已知函数.

(1)求在处的切线方程；

(2)当时，关于的不等式恒成立，求满足条件的实数的最大整数值.

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）求出与，利用点斜法即可；

（2），恒成立等价成，构造，通过导数法研究，由于，故进一步构造，通过导数法研究的单调性及符号，即可得，即可得结果

【详解】(1)函数的定义域为，，

则在处的切线斜率，又

所以函数的图象在点处的切线方程为：，即，

(2)即，

又，所以，可得对于恒成立，

令，则.

再令，则，

所以在上单调递增；又，，

所以使，即，使，

当时，，；当时，，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，又因为，所以实数的最大整数值是4.