2023届山东省潍坊市高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届山东省潍坊市高三上学期期中数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届山东省潍坊市高三上学期期中数学试题

一、单选题
1．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出集合MN中元素范围，在求并集即可.
【详解】由已知，，

故选：A.
2．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意为真命题，进而有在上恒成立即可求范围.
【详解】由题意为真命题，
所以在上恒成立，即.
故选：C
3．设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据范围计算，，再直接利用和差公式计算得到答案.
【详解】，故，
，，
故
.
故选：C
4．某公司决定利用随机数表对今年新招聘的800名员工进行抽样调查他们对目前工作的满意程度，先将这800名员工进行编号，编号分别为001，002，…，799，800，从中抽取80名进行调查，下图提供随机数表的第4行到第6行
32 21 18 34 29   78 64 54 07 32   52 42 06 44 38   12 23 43 56 77   35 78 90 56 42
84 42 12 53 31   34 57 86 07 36   25 30 07 32 86   23 45 78 89 07   23 68 96 08 04
32 56 78 08 43   67 89 53 55 77   34 89 94 83 75   22 53 55 78 32   43 77 89 23 45
若从表中第5行第6列开始向右依次读取3个数据，则抽到的第5名员工的编号是（     ）
A．007 B．253 C．328 D．736
【答案】A
【解析】根据随机数的定义，以及随机数表的读法，即得解.
【详解】根据随机数的定义，以及随机数表的读法，前5名员工的编号是：
253，313，457，736，007
故选：A
【点睛】本题考查了随机数的定义，以及随机数表的读法，考查了学生概念理解，数据处理的能力，属于基础题.
5．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘（如图阴影部分），为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是（　　）

①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；
③∠P1DC和∠DCP1.
A．①和② B．①和③
C．②和③ D．①和②和③
【答案】D
【分析】由正余弦定理知已知三角形两角一边或两边一角或三边均可解出三角形任意一个量，要求C，D间距离只需看CD所在三角形是否已知两角一边或者两边一角即可.
【详解】根据题意，的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，中已知，而中已知
若选条件①，则中已知两角一边，CD可以求；
若选条件②，由正弦定理可以求出及，所以可以求出，则在中已知两边及夹角运用余弦定理即可求出CD.
若选条③，则在中已知两边及一角，用正弦定理即可求出CD.
故选：D
6．函数与的图像有且只有一个公共点，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C．或 D．或或
【答案】C
【分析】直线过定点，利用导数求切线斜率并结合图象分析判断.
【详解】∵过定点，且在上，
又∵，则，
∴在处的切线斜率为，
结合图象可得：
当时，与的图像有且只有一个公共点，则符合题意；
当时，与的图像有两个公共点，则不符合题意；
当时，与的图像有且只有一个公共点，则符合题意；
当时，与的图像有两个公共点，则不符合题意；
综上所述：实数的取值范围为或.
故选：C.

7．对于函数，若存在常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不增函数”.若函数是“同比不增函数"，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，再利用余弦的和差公式与辅助角公式得到恒成立，从而得到的取值范围.
【详解】因为函数是“同比不增函数"，
所以，即，
故恒成立，
又因为，
因此，故，即.
故选：B.
8．已知数列的前项和为，满足，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．
【答案】D
【分析】根据的关系以及已知条件，可以得出，即是一个等差数列.然后求出通项公式，逐个检验选项即可.
【详解】由已知得，
两式作差得，
即，两边同时乘以可得，
，即是一个等差数列.
又，时，有，又，所以.
所以，数列首项为，公差为1的等差数列，
则，
所以，.
则，，显然A不正确；
，，，B不正确；
由前面已得，数列是等差数列，C项不正确；
单调递增，则
又   所以，
所以，.
故选：D.

二、多选题
9．某市新冠肺炎疫情工作取得阶段性成效，为加快推进各行各业复工复产，对当地进行连续11天调研，得到复工复产指数折线图（如图所示），下列说法错误的是（    ）

A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80％
D．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量
【答案】ABD
【分析】特例法否定选项A；比较两指数极差判断选项B；读图判断选项CD.
【详解】选项A：第8天比第7天的复工指数和复产指数均低.判断错误；
选项B：这11天期间，两指数的最大值相近，但复工指数比复产指数的最小值低得多，
所以复工指数的极差大于复产指数的极差. 判断错误；
选项C：第3天至第11天复工复产指数均超过80％. 判断正确；
选项D：第9天至第11天复工指数的增量小于复产指数的增量.判断错误.
故选：ABD
10．已知，且，则（    ）
A． B．
C． D．的充要条件是
【答案】AD
【分析】由均值不等式可判断A，B；由题意可得出，代入，可判断C；由，当且仅当时取等，可判断D.
【详解】对于A，，当且仅当时取等，所以A正确；
对于B，所以B错误；
对于C，因为，，
所以，
当时取等，所以C错误；
对于D，因为令，
，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等，
所以若，则，此时，反之也成立，D正确
故选：AD
11．斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引人,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:,.则下列结论正确的是（    ）
A． B．是奇数
C． D．被4除的余数为0
【答案】BCD
【分析】A:直接法写出第8项即可;
B:数列有3的倍数项为偶数,其他项为奇数的规律,用数学归纳法证明即可;
C:只需证明即可,用数学归纳法证明;
D:用数学归纳法证明6的倍数项为4的倍数即可.
【详解】解:由题知,关于选项A,
,
故选项A错误;
关于选项B,3的倍数项为偶数,其他项为奇数,下面用数学归纳法证明:
①当时,,满足规律,
②假设当时满足为偶数,为奇数,
③当时,
,为奇数,为偶数,
,为奇数,为偶数,为奇数,
,为奇数,为偶数,为奇数,
故3的倍数项为偶数,其他项为奇数得证,
2023项是非3的倍数项,故选项B正确;
关于选项C,有成立,用数学归纳法证明如下:
①当时,,满足规律,
②假设当时满足成立,
③当时,



成立,满足规律,
故,
令,
则有成立,
故选项C正确;
关于选项D,有能被4整除成立,用数学归纳法证明如下:
①当时,,满足规律,
②假设当时,满足
③当时,








能被4整除得证,
,能被4整除得证,
故选项D正确.
故选:BCD
12．定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（    ）
A．函数为偶函数
B．
C．不等式的解集为
D．若方程有两个根，则
【答案】ABD
【分析】由已知条件结合选项内容，分析函数性质，对选项逐一判断.
【详解】，函数定义域为，
由，有，
即，函数为偶函数，故选项A正确；
由，得，
即，∴，
有，得，
∴，
得，，故选项B正确；
，
当时，函数单调递增，且，有，即，不合题意，故C选项错误；
方程，即，
方程有两个根，等价于函数与函数的图像有两个交点，其中函数单调递减，函数的图像是开口向下的抛物线，对称轴方程为，时函数单调递减，
若方程有两个根，则有，
此时，即，
若且，则有，
∴，∴，得，故选项D正确.
故选：ABD
【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

三、填空题
13．的展开式中的系数为_______．
【答案】
【分析】根据二项定理展开通项，求得的值，进而求得系数．
【详解】根据二项定理展开式的通项式得
所以 ，解得
所以系数
故答案为：
【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．
14．设函数，则________.
【答案】
【分析】根据分段函数解析式，将代入求值即可.
【详解】由解析式知：，
而，故.
故答案为：
15．一个盒子中有4个白球,个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为,则________.
【答案】6
【分析】根据条件概率的公式计算出结果即可.
【详解】解:由题知,记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B,

,
,
,
或(舍).
故答案为:6

四、双空题
16．在中，点是上的点，平分面积是面积的2倍，且，则实数的取值范围为________；若的面积为1，当最短时，______.
【答案】          ##
【分析】过作交延长线于，由题设易得、、，在△中应用三边关系求的取值范围，若，由三角形面积公式得，且得，进而可得，应用余弦定理得到关于的表达式，结合其范围求最小时对应值即可.
【详解】由面积是面积的2倍，即，

如上图，过作交延长线于，又平分，
所以，即，且，故，
若，又，则且，，
△中，，可得，故；
由角平分线性质知：，则，
若，则，
又，即，则，故，
所以，可得，
由，
令，则，
所以时，即，此时，即.
故答案为：，.
【点睛】关键点点睛：注意过作交延长线于，应用三角形三边关系求参数范围，根据已知条件得到关于的表达式是求最值的关键.

五、解答题
17．定义在上的函数和，满足，且，其中.
(1)若，求的解析式;
(2)若不等式的解集为，求的值.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由题意求解析式，再由求参数a，即可得解析式；
（2）由（1）及题设得，结合解集列方程组求m、a，即可得结果.
【详解】（1）由题意知，，又，
所以，即．
所以函数的解析式．
（2）由，得，
由题意知，所以，
所以，即，所以．
18．在①，②函数图像的一个最低点为，③函数图像上相邻两个对称中心的距离为，这三个条件中任选两个补充在下面问题中，并给出问题的解答.
已知函数，满足
(1)求函数的解析式及单调递增区间;
(2)在锐角中，，求周长的取值范围.
【答案】(1)答案见解析   
(2)

【分析】（1）若选①②，将点坐标代入，结合已知限定参数范围求解即可得到值，得到解析式，然后求解单调区间；若选①③，由条件①解得，根据条件③可求出，即可得到解析式，然后求解单调区间；若选②③，根据条件③可求出，将②条件代入，求得的关系式，根据范围解得，即可得到解析式，然后求解单调区间.
（2）由解得B的值，然后根据余弦定理得到a，c的一个关系式.再结合三角形内角和得到A和C的关系式，消去一个，根据正弦定理，用三角函数表示周长，求出函数的值域，即可得到周长的范围.
【详解】（1）若选①②，
由①得，，所以或，
又因为，所以，
由②得，函数图像的一个最低点为，
所以，，
所以，，又因为，所以，
所以，，
当，，函数单调递增，即，，
所以函数单调递增区间为，，
若选①③，
由①得，，所以或，，
又因为，所以，
由③得，函数图像上相邻对称中心的距离为，所以，所以，
所以，，
当，，函数单调递增，即，，
所以函数单调递增区间为，
若选②③，
由③得，函数图像上相邻对称中心的距离为．所以，所以，
由②得，函数图像的一个最低点为，
所以，
即，
又因为，所以，所以.
当，，函数单调递增，即，，所以函数单调递增区间为.
（2），所以，
又因为锐角三角形，所以，，
又，由正弦定理可得，
则，，
所以的周长，
因为是锐角三角形，由，得，
所以，所以，
所以，
所以周长的取值范围为．
19．2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展．某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：
观看人次x（万次）
76
82
72
87
93
78
89
66
81
76
销售量y（百件）
80
87
75
86
100
79
93
68
85
77

参考数据：．
(1)已知观看人次与销售量线性相关，且计算得相关系数，求回归直线方程；
(2)规定：观看人次大于等于80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90（百件）为优秀，小于90（百件）为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1．从金牌主㨨中随机抽取3名，若用表示这3名主播赋分的和，求随机变量的分布列和数学期望．
（附：，相关系数）
【答案】(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）由相关系数求出，进而可得，即可求出回归直线方程；
（2）的可能取值为3，4，5，求出对应的概率，得到分布列，然后求出期望即可．
【详解】（1）因为，所以
所以，所以，
，
，
所以回归直线方程为．
（2）金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1，
则随机变量的可能取值为3，4，5，
，，，
所以的分布列为：

3
4
5





所以．
20．已知等差数列的前项和为，记数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式及;
(2)是否存在实数，使得恒成立?若存在，求出实数的取值范围;若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，；
(2)存在，.

【分析】（1）根据已知条件及等差数列的性质求基本量，即可写出的通项公式及；
（2）由（1）得，应用裂项相消法求得，再由不等式恒成立，讨论的奇偶性求的范围，最后取交集.
【详解】（1）因为为等差数列，设公差为，首项为，
由，解得，
由，又，则，，
所以，．
（2）由（1）知：，所以，
所以，
易知为递增数列，当时，取得最小值为，
又，所以，所以．
当为奇数时，恒成立，即，解得，
当为偶数时，恒成立，即，解得，
综上，实数的取值范围为．
21．为了解新研制的抗病毒药物的疗效，某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药，然后对每只白鼠的血液进行抽样化验，若检测样本结果呈阳性，则白鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性，则白鼠未感染病毒.现随机抽取只白鼠的血液样本进行检验，有如下两种方案:
方案一:逐只检验，需要检验次;
方案二:混合检验，将只白鼠的血液样本混合在一起检验，若检验结果为阴性，则只白鼠未感染病毒;若检验结果为阳性，则对这只白鼠的血液样本逐个检验，此时共需要检验次.
(1)若，且只有两只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好检验3次就能确定两只感染病毒白鼠的概率;
(2)已知每只白鼠感染病毒的概率为.
①采用方案二，记检验次数为，求检验次数的数学期望;
②若，每次检验的费用相同，判断哪种方案检验的费用更少?并说明理由.
【答案】(1)；
(2)①；②答案见解析.

【分析】（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件加法求恰好检验3次就能确定两只感染病毒白鼠的概率；
（2）①次数为可能取值为1，，利用对立事件概率求法求各值的概率，进而求其期望；②由①得，根据其单调性及其零点，判断方案检验的费用的大小关系.
【详解】（1）根据题意，恰好在第一、三次确定两只感染病毒白鼠的概率，
恰好在第二、三次确定有两只感染病毒白鼠的概率，
所以恰好检验3次就能确定有两只白鼠感染病毒的概率．
（2）①设检验次数为，可能取值为1，．
则，，
所以．
②方案二的检验次数期望为，
所以，设，
因为，所以单调递增，由得：，
当时，，则，
当时，，则，
故当时，选择方案二检验费用少，
当时，选择方案一检验费用少，
当时，选择两种方案检验费用相同．
22．已知函数，其中.
(1)求函数的最小值，并求的所有零点之和;
(2)当时，设，数列满足，且，证明:.
【答案】(1)，0
(2)证明见解析

【分析】（1）对求导数，研究导函数在定义域内的符号，得到函数的单调性，进而求出最小值，对换元，研究换元后函数零点满足的关系式，再求零点之和；
（2）观察欲证不等式，构造函数，由的单调性证明不等式成立.
【详解】（1）函数的定义域为，且，令，
得，解得，（舍去），
所以在上单调递减，在单调递增，所以，即，
由是方程的根，则，所以，
令，可知．
又因为，所以在单调递增，在单调递减．
而，，所以有且仅有唯一，使得，
所以存在，有．所以方程有且仅有两个根，，
即有且仅有两根，，
又因为单调递减，所以有两个零点设为，，
则.
（2）由题意知时，，
因为，
令，得；，得，
所以在上递减，在递增，则有，
因为，所以，，…，．
令，，
，所以在区间单调递减，
所以，即，
即，所以．
【点睛】第一问形式过于复杂，不利于研究函数零点情况，利用原方程的根对a进行换元，再求的零点之和；
第二问先观察不等式结构特点，构造函数，为解决单调性，还要先研究与1的大小关系.