2023届北京市第四中学高三上学期期中考试数学试题含解析

2023届北京市第四中学高三上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合，再与集合求交集.

【详解】因为，

=，

所以．

故选：D

2．已知复数z满足，则（    ）

A． B．1 C． D．5

【答案】B

【分析】根据复数的除法及模长公式运算求解．

【详解】由题意，所以，

故选：B.

3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义和常见函数的单调性逐项分析即得.

【详解】对于A，因为，所以为奇函数，故A不符合，

对于B，根据二次函数的性质可得在上单调递减，故B不符合，

对于C，的定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，故C不符合，

对于D，因为函数的定义域为，且，故为偶函数，

在上，，函数在区间上单调递增，所以D符合，

故选：D.

4．数列满足（，），，其前n项和为，若，则（    ）

A．47 B．46 C．45 D．44

【答案】C

【分析】由题意可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，进而可得，从而有，求解即可

【详解】数列满足（，），即，，

所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，

所以，

又，则，

因为，

又，且，

所以，

故选：C

5．若点在角的终边上，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求出点M的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求出tan 的值,再利用二倍角公式求解

【详解】即为，则  

故选：D

【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，以及二倍角公式，属于容易题．

6．在中，若，，，则角的大小为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】D

【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小.

【详解】由正弦定理得，即，

所以或.

故选：D

【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.

7．如果是公比为q的等比数列，为其前n项和，那么“”是“数列为单调数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】分别从充分性和必要性结合等比数列的性质入手进行分析即可得解.

【详解】充分性：当，时，，显然数列是递增数列，

当，时，，显然数列是递减数列，

综上可得充分性成立；

必要性：当数列为递增数列时，对恒成立，

可得，；

当数列为递减数列时，对恒成立，

可得，；

综上可得必要性成立；

“”是“数列为单调数列”的充分必要条件.

故选：C.

8．函数，则函数的零点个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】复合方程求解时，先求得的解有，再解即可.

【详解】下面解方程：，

当时，，得或1（舍去），

当时，，得，

所以的两根为，

由得或，

若，则当 时，无解，当 时，无解；

若，则当 时，解得，当 时，解得

所以的零点个数共有两个.

故选：B

9．声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

【答案】B

【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为、，根据题意得出，，计算出和的值，可计算出的值.

【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为、，

由题意可得，解得，

，解得，所以，，

因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，

故选：B.

【点睛】本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属于中等题.

10．已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】不妨设，则，，,，然后分和两种情况讨论求解.

【详解】不妨设，则，，

当时，，，

所以不存在非零实数，使得成立；

当时，若存在非零实数，使得成立，

则方程有正根，即函数与有交点，

先考虑函数的图象与直线相切的情况，

设切点为，则，得，

令，则，

所以函数在上单调递增，则，

所以方程的根只有一个，即，

所以，

所以函数的图象与直线相切时，切点为原点，

所以要使函数的图象与直线有交点，只需，即，

所以实数k的取值范围为，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为当时，函数与有交点，然后利用导数有几何意义求解函数的图象与直线相切的情况，从而可得答案，考查数学转化思想，属于较难题.

二、填空题

11．函数的定义域是______.

【答案】.

【分析】由对数的真数大于零，且分式的分母不为零，从而可求出函数的定义域.

【详解】由题意得，解得且，

所以函数的定义域为，

故答案为：.

12．计算：______.

【答案】1

【分析】根据对数运算法则即可求解．

【详解】

故答案为：1

13．若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到，求出在给定区间的最大值，进而可求出结果.

【详解】因为，所以由得，

因为关于的不等式在区间上有解，

所以只需小于等于的最大值，

当时，，

当时，，当且仅当时，等号成立，

故的最大值为1，

所以，

即实数的取值范围是.

故答案为：.

14．已知函数在区间上有且仅有5个零点，则下列结论中正确的是______.

①在区间上单调递增；

②在区间上有且仅有3个极大值点；

③在区间上有且仅有2个极小值点；

④的取值范围是.

【答案】①②④

【分析】根据题中所给范围确定，解出的取值范围；在运用整体代入得思想，分别求出在②③④条件下得范围，，结合的取值范围即可判断②③④是否正确.

【详解】当时，，令

由题可知在仅有五个零点，故

解得，故④正确

①当时，

而，，故①正确

②③当时，，其中

令，可取0、1、2，故在区间有3个极大值点

故②正确；同理令，若，可取0、1； 若，可取0、1、2，故③错误；

故答案为：①②④

三、双空题

15．已知等比数列满足：，，则数列的公比______；______.

【答案】     或；    

【分析】由等比数列的通项公式直接计算公比，根据等比数列的性质可得，从而判断得数列是等比数列，再利用等比数列前项和公式计算即可得答案.

【详解】在等比数列中，，，

所以，得或；

因为，所以数列是首项为，

公比为的等比数列，由等比数列前项和公式可得

.

故答案为：或；

四、解答题

16．已知函数，.

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间，上的最大值和最小值.

【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为

【分析】(1)先对函数进行降幂，再逆用两角差的正弦公式将函数化简为，即可求得周期；(2)首先求出函数的单调区间，则在，上递减，在，上递增，即可求得最大值与最小值.

【详解】⑴

∴函数的最小正周期为.

⑵令，函数的单调递增区间是，，.

由，得

，.

记，，，，，

则，

∴当，时，在，上递减，在，上递增

又，，

∴在区间，内的最大值为，最小值为.

【点睛】本题考查降幂公式，两角差的正弦公式，正弦型函数的单调区间，属于基础题.

17．在中，，.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：

(1)a的值；

(2)的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)选②，；选③，；

(2)选②，；选③，.

【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理即得；

（2）根据三角形面积公式结合条件即得.

【详解】（1）选条件①：，

在中，由余弦定理得，，

，即.

解得或，

满足条件的三角形有两个，不符合题意，舍去；

选条件②：即 ，

在中，由余弦定理得，，

，

解得；

选条件③：，

在中，由正弦定理得，，

所以；

（2）选条件②：由题可知，，

所以的面积；

选条件③：，则，，

所以的面积.

18．某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是这种新材料的含量x（单位：克）的函数，且性能指标值越大，该产品的性能越好.当时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②（且）；③（且）；其中k，a，b，c均为常数.当时，，其中m为常数.研究过程中部分数据如下表：

(1)指出模型①②③中最能反映y和x（）关系的一个，并说明理由；

(2)求出y与x的函数关系式；

(3)求该新合金材料的含量x为多少时，产品的性能达到最佳.

【答案】(1)模型①；

(2)；

(3)当克时产品的性能达到最佳．

【分析】（1）根据题中数据结合条件即得；

（2）结合待定系数法，代入数据运算即得；

（3）按，分类，结合指数函数、二次函数的性质分别求最值，进而即得.

【详解】（1）模型①最能反映y和x（）的关系，

由题可知时，，显然模型③不合题意，

若为模型②，则，不合题意，

故模型①最能反映y和x（）的关系；

（2）当时，，

由可得，

由得，

由得，

解得，

所以；

当时，y＝，

由，可得，

解得，即有y＝.

综上，可得 ；

（3）当时，，

即有时，性能指标值取得最大值12；

当时， 单调递减，

所以当x＝7时，性能指标值取得最大值3；

综上可得，当x＝4克时产品的性能达到最佳．

19．已知函数，.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数在区间上的最小值；

(3)求证：“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件.

【答案】(1)；

(2)详见解析；

(3)详见解析.

【分析】（1）根据导数的几何意义即得；

（2）由题可得，然后分，，讨论，根据导数与函数的单调性的关系即得；

（3）根据函数的单调性可得，然后根据充分条件，必要条件的定义即得.

【详解】（1）当时，，

∴，

∴，，

所以曲线在点处的切线方程为，即；

（2）由，可得，

由，可得，

当，即时，时，恒成立，单调递增，

所以函数在区间上的最小值为；

当，即时，时，恒成立，单调递减，

所以函数在区间上的最小值为；

当，即时，时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以函数在区间上的最小值为；

综上，当时，函数在区间上的最小值为；

当时，函数在区间上的最小值为；

当时，函数在区间上的最小值为；

（3）由函数在区间上单调递增，

可得，即在区间上恒成立，

又时，，

所以，

由可推出，而由推不出，

所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件.

20．已知函数，.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若函数存在两个极小值点，，求证：.

【答案】(1)在上递减，在上递增；

(2)证明见解析.

【分析】（1）对函数求导后，，令，再求导后可判断出恒成立，所以的符号与的符号相同，从而可求出其函数的单调区间；

（2）由（1）知，当时，只有一个极小值点，不合题意，当时，的最小值为，结合零点存在性定理可求出函数的极小值，从而可得结论.

【详解】（1）函数的定义域为，

由，得，

令，则，

当时，，

所以，恒成立，

当时，令，则，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以当时，取得最小值，即，

由于当时，，

综上恒成立，

所以的符号与的符号相同，

所以当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增；

（2）由（1）知，当时，只有一个极小值点，不合题意，

当时，的最小值为，

因为，

所以存在，使得，

因为，，

所以存在，使得，

因此为的两个极小值点，

且，即，

因为，所以，即，

所以.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，解题的关键是当时，根据极值的求法和零点的存在性定理求解证明，考查数学转化思想，属于较难题.

21．已知正整数，集合.对于中的元素，，定义，令.

(1)直接写出的两个元素及的元素个数；

(2)已知，，…，，满足对任意，都有，求m的最大值；

(3)证明：对任意，，…，，总存在，使得.

【答案】(1)，；个

(2)4

(3)证明见解析

【分析】（1）由题可知中的n个数中有任意3个数字为1，数字为0，根据排列组合数可列的元素个数通式为；

（2）第二小问等价于同时满足的元素个数最多几个，首先需要线分析最多几个不同元素同一位置的分量可以同时为1，在以此极限情况找到m的不等式关系求出m最大值；

（3）由题可知共有个非空子集，并且由题意可知当时，因此证明存在等式，即证明的值必有奇数即可.

【详解】（1），；

，即中6个分量中恰有3个1，故的元素个数为 ；

（2）对于的非空子集，设，这里为的第j个分量，定义，规定.

设，令

我们先证明引理：.

（反证），令，

不妨设，，…，满足，其中

又因为，且，，故，故，这与矛盾，引理证毕.

回到原题，由引理，得

，，，符合题意，综上，当时，m的最大值为4

（3）共有个非空子集，记为，，则在每个分量得奇偶性下恰有种不同得状态，由知

由抽屉原理，存在两个不同的的非空子集，设，，有与奇偶性相同，

令，由于，故

令，则

且都为偶数，

不妨设，则为偶数

而为奇数，故且为奇数

故必存在一个，使得为奇数，又由于，从而

【点睛】本题以新定义结合集合进行考查，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.