立体几何综合练习20讲（内切外接，截面，翻转，轨迹，最值，折叠问题一应俱全）

目录
第1讲 平行与垂直 1
第2讲 空间向量和空间直角坐标系 7
第3讲 空间中两直线所成的角 12
第4讲 直线与平面所成的角 16
第5讲 二面角 19
第6讲 体积公式与体积变换 25
第7讲 外接球与内切球 29
第8讲 立体几何范围与最值问题 33
第9讲 立体几何截面和交线问题 42
第10讲 立体几何翻折与旋转问题 50
第11讲 非常规空间几何体为载体 60
第12讲 立体几何空间轨迹问题 66
第13讲 立体几何空间角的大小比较 72
第14讲 立体几何存在性问题 76
第15讲 立体几何折叠问题 81
第16讲 立体几何作图问题 85
第17讲 立体几何建系繁琐问题 92
第18讲 两角相等（构造全等）的立体几何问题 95
第19讲 利用传统方法找几何关系建系 99
第20讲 立体几何综合问题 107

第1讲 平行与垂直
一．选择题（共11小题）
1．对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与　　
A．平行 B．垂直 C．相交 D．互为异面直线
2．对于平面和共面的直线、，下列命题中正确的是　　
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若、与所成的角相等，则
3．已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面　　
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，，则
5．设，是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线．其中正确的个数有
　　
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知，表示不同平面，则的充分条件是　　
A．存在直线，，且，，，
B．存在直线，，且，，，
C．存在平面，，
D．存在直线，，
7．在正方体中，为棱的中点，则　　
A． B． C． D．
8．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是　　
A． B． C．D．
9．如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是　　
A． B．
C． D．
10．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断：
①与所成的角为
②平面
③
④平面平面
其中正确判断的序号是　　

A．①③ B．②③ C．①②④ D．②③④
11．如图所示，正方体的棱长为，，分别为和上的点，，则与平面的位置关系是　　

A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
二．填空题（共7小题）
12．下列命题：①如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一平面内的两个不同平面相互平行；④垂直于同一直线的两个不同平面相互平行．其中的真命题是　　（把正确的命题序号全部填在横线上）．
13．空间四边形中，、、、分别是、、、的中点．若，则四边形是　　．
14．棱长为1的正方体中，过，，做正方体的截面，则截面的面积是　 　．
15．在长方体中，经过其对角线的平面分别与棱、相交于，两点，则四边形的形状为　　
16．如图所示是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：
①与所在的直线平行；
②与所在的直线异面；
③与所在的直线成角；
④与所在的直线互相垂直．
其中正确的命题是　 　．

17．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是　 　．
18．设有下列四个命题：
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
：若直线平面，直线平面，则．
则下述命题中所有真命题的序号是　　．
①
②
③
④
三．解答题（共7小题）
19．如图，已知为平行四边形所在平面外一点，为的中点，求证：平面．

20．如图所示，两个全等的正方形和所在平面相交于，，，且，求证：平面．
21．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面．

22．如图，为正三角形，平面，，，是的中点，求证：
（1）；
（2）平面平面；
（3）平面平面．

23．如图所示，在三棱柱中，四边形为矩形，平面平面，点，分别是侧面，对角线的交点．
（1）求证：平面；
（2）．

24．如图，正三棱柱的高为，其底面边长为2．已知点，分别是棱，的中点，点是棱上靠近的三等分点．求证：
（1）平面；
（2）平面．

25．直三棱柱 中，，，， 是 中点．
（1）求证平面；
（2）当点 在 上什么位置时，会使得平面？并证明你的结论．

第2讲 空间向量和空间直角坐标系
一．选择题（共8小题）
1．如图，在直三棱柱中，若，则　　

A． B． C． D．
2．空间四边形中，若向量，5，，，，点，分别为线段，的中点，则的坐标为　　

A．，3， B．，， C．，， D．，2，
3．已知直线的方向向量为，0，，点，2，在上，则点，，到的距离为　　
A． B．4 C． D．
4．同时垂直于，2，，，5，的单位向量是　　
A．
B．
C．
D．或
5．已知正四面体的棱长为1，点、分别是、中点，则　　

A． B． C． D．
6．如图所示，已知空间四边形，，且，则，的值为　　

A． B．0 C． D．
7．三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为　　

A． B． C． D．
8．点为底边长为，高为2的正三棱柱表面上的动点，是该棱柱内切球的一条直径，则取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
二．填空题（共6小题）
9．由空间向量基本定理可知，空间任意向量可由三个不共面的向量唯一确定地表示为，则称，，为基底下的广义坐标．特别地，当为单位正交基底时，，，为直角坐标．设分别为直角坐标中，，正方向上的单位向量，则空间直角坐标，2，在基底下的广义坐标为　　．
10．在四棱锥中，设向量，，，则顶点到底面的距离为　　
11．在空间直角坐标系中，若原点到平面的距离等于，则的值为　　．
12．空间直角坐标系中，过点，，且一个法向量为的平面的方程为，过点，，且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为　　．
13．已知点是棱长为1的正方体的底面上一点（包括边界），则的取值范围是　 　．
14．将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为　　．
三．解答题（共10小题）
15．已知，，且、、不共面，若，求，的值．
16．已知向量，，，，1，，点，，，，，．
（1）求：；
（2）在直线上，是否存在一点，使得？为原点）
17．三棱锥中、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，．

18．如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点、分别是、的中点．
（1）求证：，；
（2）求的长．

19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且和、的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长．

20．如图：为矩形，平面，，，、分别是、中点，请选择适当的坐标系证明：平面．

21．如图，平行四边形中，，，；将沿折起到的位置，使平面平面．
（1）求证：；
（2）若点为的中点，求直线与平面所成角正弦值．

22．如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，，，，是的中点．
（1）求异面直线与所成的角的余弦值；
（2）求点到平面的距离；
（3）若点是棱上一点，且，求的值．

23．如图（1），等腰中，，，以边上的中线为折痕，将沿折起，构成二面角，在平面内作，且，连，，，如图（2）所示．
（1）求证：平面；
（2）如果二面角为直二面角，求二面角的余弦值．

24．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两夹角为．
（1）求的长；
（2）求与夹角的余弦值．


第3讲 空间中两直线所成的角
一．选择题（共8小题）
1．空间四边形的两对边，、分别是、上的点，且，，则与所成角大小为　　
A． B． C． D．
2．在正方体中，、分别是棱、的中点，则与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
3．过正方体的顶点的平面与直线垂直，且平面与平面的交线为直线，平面与平面的交线为直线，则直线与直线所成角的大小为　　
A． B． C． D．
4．已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．0
5．如图，在直三棱柱中，，，点、分别是棱、的中点，则直线和所成角的度数是　　

A． B． C． D．
6．如图，在长方体中，，，，则异面直线与所成角的大小为　　

A． B． C． D．
7．在直三棱柱中，，，点，分别是棱，的中点，则直线和所成角的余弦值是　　
A． B． C． D．
8．在直三棱柱中，，，点，分别是棱，的中点，当二面角为时，直线与的夹角为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
9．平面过正方体的棱，平面，平面，则直线与直线所成角的正弦值为　　．
10．图，，分别是三棱锥的棱，的中点，，，，则异面直线与所成的角为　　．

11．将正方形沿对角线折成直二面角，
①与平面所成角的大小为；
②是等边三角形；
③与所成的角为；
④；
⑤二面角为．
则上面结论正确的为　　．

12．在正四棱柱中，，，，分别是线段与上的动点，则异面直线与所成角的余弦值为　 　，线段的长度的最小值为　 　．
13．如图，长方体中，，，点、、分别是、、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是　 　．

14．如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角为　　．

三．解答题（共4小题）
15．空间四边形中，、分别是、的中点，，且，，求异面直线与所成角的大小．

16．四面体的棱长均为，、分别为棱、的中点，求异面直线与所成的角的余弦值．

17．长方体中，已知，，，且，求：
（1）下列异面直线之间的距离：与；与；与．
（2）异面直线与所成角的余弦值．
18．如图所示，在三棱柱中，底面，，，点、分别是棱、的中点，求异面直线和所成的角的余弦值．


第4讲 直线与平面所成的角
一．选择题（共2小题）
1．正方体的棱长为6，点在上，且，过点的直线与直线，分别交于，两点，则与面所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．
2．在正方体中，点为底面的中心，点为线段的中点，则直线与平面所成角的大小为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共7小题）
3．如图，在长方体中，已知，，则直线与平面所成角的正弦值是　　．

4．在直角梯形中，，，，若将沿直线折成△，使得，则直线与平面所成角的正弦值是　 　．

5．已知长方体中，，，则直线和平面所成角的正弦值为　　．
6．和所在的平面互相垂直，且，，则与平面所成角的余弦值为　　．
7．已知和所在的平面互相垂直，且，，则与平面所成角的正弦值为　　．
8．如图，的等腰直角三角形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点，则与平面所成角的大小为　　．

9．是直角三角形所在平面外一点，已知三角形的边长，，，，则直线与平面所成角的余弦值为　　．
三．解答题（共7小题）
10．已知平面外两点、到平面的距离分别为1和2，、两点在平面内的射影之间的距离为，求直线和平面所成的角．
11．如图，在直角三角形中，，为三角形所在平面外的一点，平面，若，，．
求直线与平面所成的角
（Ⅱ）求直线与平面所成的角．
（Ⅲ）求直线和平面所成角的正弦值．

12．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．

13．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．
（1）证明：，且平面平面；
（2）设为△的中心．若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．

14．如图，已知三棱柱的侧面为矩形，，，，分别为、的中点，过作平面分别交、、于点、、．
（1）求证：平面平面．
（2）若为线段上一点，，平面．则当为何值时直线与平面所成角的正弦值为．（请说明理由）

15．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且．
（Ⅰ）证明：无论取何值，总有；
（Ⅱ）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值．

16．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，、分别是，的中点，点在线段上，且
（1）证明：无论取何值，总有；
（2）当时，求直线与平面所成角的正切值．


第5讲 二面角
一．选择题（共7小题）
1．在边长为1的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使折起后，则二面角的余弦值为　　

A． B． C． D．
2．已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为　　

A． B． C． D．
3．在平面内，已知，过直线，分别作平面，，使锐二面角为，锐二面角为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为　　
A． B． C． D．
4．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，则的长为　　

A． B．7 C． D．9
5．二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为　　
A． B． C． D．
6．设二面角的大小是，是二面角内的一点，点到，的距离分别为，，则点到棱的距离是　　
A． B． C． D．
7．正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角的平面角为，侧面与底面的二面角的平面角为，则的值是　　
A．1 B．2 C． D．
二．填空题（共4小题）
8．已知四棱锥的底面是正方形，平面，且，则平面与平面所成的二面角的度数为　 　．
9．如图所示的正方体中，过顶点、、作截面，则二面角的平面角的余弦值是　　．

10．将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么二面角的正切值为　　．
11．已知二面角等于，二面角内一点满足，，，，．，．则点到棱的距离为　　．
三．解答题（共10小题）
12．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．

13．如图，在四面体中，在平面的射影为棱的中点，为棱的中点，过直线作一个平面与平面平行，且与交于点，已知，．
（1）证明：为线段的中点；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

14．已知四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）求二面角的大小．

15．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，．
（1）证明：平面平面；
（2）求异面直线与所成的角
（3）求二面角的大小．

16．如图甲，直角梯形中，，，点、分别在，上，且，，，，现将梯形沿折起，使平面与平面垂直（如图乙）．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当时，求二面角的大小．

17．如图，正方形的边长为2，将四条边对应的等腰三角形折起构成一个正四棱锥．
（1）当为为中点时，证明平面；
（2）当等腰三角形的腰长为多少时，异面直线与所成的角为；
（3）当侧棱与底面所成的角为时，求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值．

18．已知，垂直于正方形所在平面，且．
（1）求平面与平面所成二面角的大小；
（2）求二面角的大小；
（3）求二面角的大小；
（4）求平面与平面所成二面角的大小．
19．如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且．
（Ⅰ）当时，证明：直线平面；
（Ⅱ）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

20．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．
（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体？试画出图形；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下，设正方体的棱的中点为，求平面与平面所成二面角的余弦值．

21．如图，四边形为矩形，四边形为梯形，平面平面，，．
（1）若为中点，求证：平面；
（2）若平面与所成的锐二面角的大小为，求线段的长度．


第6讲 体积公式与体积变换
一．填空题（共2小题）
1．在正三棱锥中，、是、的中点，，若，则正三棱锥的体积为　　．
2．已知两平行平面、间的距离为，点、，点、，且，，若异面直线与所成角为，则四面体的体积为　 　．
二．解答题（共15小题）
3．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．
（1）证明：直线平面；
（2）若面积为，求四棱锥的体积．

4．如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）当平面时，求三棱锥的体积．

5．如图四面体中，是正三角形，．
（1）证明：；
（2）已知是直角三角形，，若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比．

6．如图，在四棱锥中，，且
（1）证明：平面平面．
（2）若，，四棱锥一的体积为9，求四棱锥的侧面积

7．如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点，连接并延长交于点．
（Ⅰ）证明：是的中点；
（Ⅱ）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面体的体积．

8．如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，，交于点，将沿折到△的位置．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，，，求五棱锥体积．

9．如图，三棱锥中，平面，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，为中点，求三棱锥的体积．

10．如图，和所在平面互相垂直，且，，、、分别为、、的中点，连接、、．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．

11．如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面为上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）若，求四棱锥的体积．

12．如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离．

13．如图，三棱柱中，，，．
（1）证明：；
（2）若，，求三棱锥的体积．

14．如图，在三棱柱中，为的中点，，，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，，求三棱锥的体积．

15．如图，直四棱柱中，，，，，，为上一点，，
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．

16．如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，，点在线段上，，．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．

17．如图所示，在直四棱柱中，底面为直角梯形，，．连接，，已知，，，为线段上的一点，且满足为线段上的一点，且满足．
（1）证明：平面；
（2）若该四棱柱高为，，为的中点，求三棱锥的体积．


第7讲 外接球与内切球
一．选择题（共14小题）
1．在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，且直线与平面所成角的正切值为2．若三棱锥的外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为　　
A． B． C．6 D．12
2．已知四棱锥，平面，，，，，．若四面体的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
3．已知四棱锥，平面，，，，，二面角的大小为．若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
4．三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
5．三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
6．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方等于10，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，利用张衡的结论可得该球的表面积为　　
A．8 B． C．12 D．
7．如图，四面体中，面和面都是等腰△，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为　　

A． B． C． D．
8．如图，四面体中，面和面都是等腰△，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为　　

A． B． C． D．
9．在棱长为1的正方体内有两个球，相外切，球与面、面、面相切，球与面、面、面相切，则两球表面积之和的最大值与最小值的差为　　

A． B． C． D．
10．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，为球的直径且，则点到底面的距离为　　
A． B． C． D．
11．如图，半径为的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为　　

A． B． C． D．
12．已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，底面是以为直角顶点的直角三角形，，，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
13．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，，，两两垂直，则球的体积为　　
A． B． C． D．
14．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共11小题）
15．有下列命题：①边长为1的正四面体的内切球半径为；
②正方体的内切球、棱切球（正方体的每条棱都与球相切）、外接球的半径之比为；
③棱长为1的正方体的内切球被平面 截得的截面面积为．
其中正确命题的序号是　　（请填所有正确命题的序号）；
16．已知正方体的棱长为1，给出下列四个命题：
①对角线被平面和平面三等分；
②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为；
③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是；
④正方体与以为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积之比为
其中正确命题的序号为　　．

17．已知四面体满足：，，则四面体外接球的表面积为　　．
18．在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为　　．
19．已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，，平面平面，则球的表面积为　　
20．在平行四边形中，，，，．沿把翻折起来，形成三棱锥，且平面平面，则该三棱锥外接球的体积为　　．
21．一个三棱锥内接于球，且，，，则球心到平面的距离是　　．
22．如图为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体相切，则两球半径之和为　　．

23．已知正方体的棱长为1，正方体内衣球与面，，均相切，正方体内另一球与面，，均相切，且两球外切，那么两球表面积之和的最小值是　　．
24．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，圆锥圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为，圆锥底面半径为．则两个圆锥的体积之和与球的体积之比为　 　．

25．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，则当球的表面积最小时，三棱锥的体积为　　．
三．解答题（共1小题）
26．如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和．

第8讲 立体几何范围与最值问题
一．选择题（共34小题）
1．在空间中有一棱长为的正四面体，其俯视图的面积的最大值为　　
A． B． C． D．
2．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为　　
A．1 B．2 C．3 D．
3．已知三棱锥的四个顶点在以为直径的球面上，，于，，若三棱锥的体积的最大值为，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
4．已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是　　
A．2 B． C．4 D．
5．如图，正三棱锥的侧棱长为，两侧棱、的夹角为，、分别是、上的动点，则的周长的最小值是　　

A． B． C． D．
6．在正三棱锥中，，，两两垂直，，点在线段上，且，过点作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是　　
A． B． C． D．
7．如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，动点在底面内（不包括边界）．若平面，则的最小值是　　

A． B． C． D．
8．在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是　　
A． B． C． D．
9．棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是　　
A． B． C． D．
10．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为　　
A．3 B． C． D．
11．已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为　　
A．1 B． C．2 D．3
12．已知在半径为2的球面上有、、、四点，若，则四面体的体积的最大值为　　
A． B． C． D．
13．如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为．，，，为圆上的点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得，，，重合，得到四棱锥．当正方形的边长变化时，所得四棱锥体积（单位：的最大值为　　

A． B． C． D．
14．如图1，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为．点，，，为圆上的点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得，，，重合得到一个四棱锥（如图．当四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．
15．如图，在三棱锥中，底面，，于，于，若，，则当的面积最大时，的值为　　

A．2 B． C． D．
16．正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
17．已知与是四面体中相互垂直的棱，若，且，则四面体的体积的最大值是　　
A． B． C．18 D．36
18．在直四棱柱中，底面为菱形，，分别是，的中点，为的中点且，则的面积的最大值为　　
A． B．3 C． D．
19．在正四棱锥中，平面于，，底面边长为，点，分别在线段，上移动，则两点的最短距离为　　
A． B． C．2 D．1
20．已知二面角为，动点，分别在面，内，到的距离为，到的距离为，则，两点之间距离最小值为　　
A． B．2 C．4 D．
21．如果，与是夹在平面与之间的两条线段，且，直线与平面所成的角为，那么线段长的取值范围是　　
A．， B．， C． D．，
22．正三棱柱中，各棱长均为2，为中点，为的中点，则在棱柱的表面上从点到点的最短距离是　　
A． B． C． D．
23．在长方体中，，，点为的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点、可以重合），则的最小值为　　
A． B． C． D．1
24．在中，，，，点在斜边上，以为棱把它折成直二面角，折叠后的最小值为　　
A． B． C． D．3
25．在平面四边形中，，，且，现将沿着对角线翻折成△，则在△折起至转到平面内的过程中，直线与平面所成的最大角为　　
A． B． C． D．
26．已知三棱锥中，，且与平面成角．当的值取到最大值时，二面角的大小为　　
A． B． C． D．
27．已知三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上，为球的直径，当三棱锥的体积最大时，设二面角的大小为，则　　
A． B． C． D．
28．在正方体中，，是底面正方形内一点，是中点若，与底面所成角相等，则最大值为　　

A． B． C． D．
29．已知的顶点平面，点，在平面同侧，且，，若，与所成角分别为，，则线段长度的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
30．如图，空间直角坐标系中，正三角形的顶点，分别在平面和轴上移动．若，则点到原点的最远距离为　　

A． B．2 C． D．3
31．棱长为2的正方体在空间直角坐标系中移动，但保持点、分别在轴、轴上移动，则点到原点的最远距离为　　
A． B． C．5 D．4
32．如图在棱长为2的正方体中为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为　　

A． B． C． D．
33．若点，，是半径为2的球面上三点，且，则球心到平面的距离最大值为　　
A． B． C． D．
34．二面角的平面角为，在面内，于，在平面内，于，，，是棱上的一个动点，则的最小值为　　
A．6 B． C． D．5
二．多选题（共1小题）
35．已知三棱锥中，，，，，则　　
A．三棱锥的外接球的体积为
B．三棱锥的外接球的体积为
C．三棱锥的体积的最大值为
D．三棱锥的体积的最大值为
三．填空题（共14小题）
36．已知三棱锥满足，则该三棱锥体积的最大值为　　．
37．设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为　　．
38．点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为2，则的取值范围是　　．
39．如图，在棱长为2的正方体中，点是中点，动点在底面内（不包括边界），使四面体体积为，则的最小值是　　．

40．棱长为1的正方体如图所示，，分别为直线，上的动点，则线段长度的最小值为　　．

41．如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的动点．当在平面，，上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为，，．
当时，　　（填“”或“”或“” ；
的最大值为　　．

42．在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，设直线与平面所成的角为，则的最大值为　 　．
43．如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为．，，为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱锥．当所得三棱锥体积（单位：最大时，的边长为　　．

44．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为　　．

45．在正方体中，为棱的中点，且，点为底面所在平面上一点，若直线，与底面所成的角相等，则动点的轨迹所围成的几何图形的面积为　　．
46．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点在线段上，则线段长的最小值为　　．

47．如图，正方体的棱长为，点为的中点，在对角面上取一点，使最小，其最小值为　　．

48．已知正四面体的棱长为1，为的中点，在线段上，则的最小值为　　．
49．在棱长均为1的正四面体中，为的中点，为上的动点，则的最小值为　　．
四．解答题（共1小题）
50．如图所示，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，点，分别为、上的动点，求截面周长的最小值和这时点，的位置

第9讲 立体几何截面和交线问题
一．选择题（共13小题）
1．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则过，，三点的平面截该正方体，所得截面的周长为　　
A． B． C． D．
2．已知圆，过点的直线中被圆截得的最短弦长为，类比上述方法：设球是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球的截面，则最小截面的面积为　　
A． B． C． D．
3．已知正方体的棱长为2，为的中点，若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为　　
A． B． C． D．
4．正方体棱长为4，，，分别是棱，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为　　

A． B． C． D．
5．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为　　
A． B． C． D．
6．体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段上一点，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，
7．圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则的取值范围是　　
A． B． C． D．
8．如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为　　

A． B． C． D．1
9．设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面　　

A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个
10．如图，在棱长为1的正方体的对角线上任取一点，以为球心，为半径作一个球．设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图象最有可能的是　　

A． B．
C． D．
11．如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于　　

A． B． C． D．
12．已知三棱锥的棱、、两两垂直，且长度都为，以顶点为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于　　
A． B． C． D．
13．已知底面为正方形的四棱锥，各侧棱长都为，底面面积为16，以为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥相交部分的体积是　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
14．如图，在正方体中，，，，分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是　　

A．点，到平面的距离相等
B．与为异面直线
C．
D．平面截该正方体的截面为正六边形
15．如图，棱长为2的正方体的内切球为球，、分别是棱和棱的中点，在棱上移动，则下列结论成立的有　　

A．存在点，使垂直于平面
B．对于任意点，平面
C．直线的被球截得的弦长为
D．过直线的平面截球所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为
三．填空题（共17小题）
16．正方体的棱长为4，，分别是和的中点，经过点，，的平面把正方体截成两部分，则截面的周长为　　．
17．如图正方体的棱长为2，为的中点，为线段的中点，过点，，的平面截该正方体所得的截面的周长为　 　．

18．已知正方体的棱长为2，为的中点，若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为　　．
19．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为　　．
20．正方体棱长为4，，，分别是棱，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为　 　．
21．已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为　 　．
22．球为正方体的内切球，，，分别为棱，的中点，则直线被球截得的线段长为　 　．
23．如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于，两点，设，，则函数的图象大致是　　．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）

24．如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于　 　．

25．已知正方体的棱长为1，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于　　．
26．已知正三棱锥侧棱长为1，且、、两两垂直，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为　　．
27．以棱长为2的正方体中心点为球心，以为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是　 　．
28．正方体棱长为2，以其体对角线的交点为球心，为半径的球与正方体表面的交线长为　　．
29．已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以为球的半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有弧长的和为　　．
30．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是　　（写出所有正确命题的编号）
①当时，为四边形
②当时，为等腰梯形
③当时，与的交点满足
④当时，为四边形
⑤当时，的面积为

31．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若，则的面积取值范围是　　．

32．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截正方体所得的截面为，当时，的面积为　　．

四．解答题（共5小题）
33．如图，在正三棱锥中，，，平行于、的截面分别交、、、于点、、、．
（1）判定四边形的形状，并说明理由．
（2）设是棱上的点，当为何值时，平面平面，请给出证明．

34．如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、、分别是棱、、的中点，为线段上一点，．
（Ⅰ）若平面交平面于直线，求证：；
（Ⅱ）若直线平面．
求三棱锥的表面积；
试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面与棱交于点，求三棱锥的体积．

35．如图，在棱长都等于1的三棱锥中，是上的一点，过作平行于棱和棱的截面，分别交，，于，，．
（1）证明截面是矩形；
（2）在的什么位置时，截面面积最大，说明理由．

36．如图，已知三棱柱中，底面，，，，，，分别为棱，的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）若为线段的中点，试在图中作出过，，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分（较小部分与较大部分）的体积的比值．

37．已知三棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，，为上一点，且平面．
（1）求证：；
（2）过作一平面分别交，，于，，，若四边形为平行四边形，求多面体的表面积．


第10讲 立体几何翻折与旋转问题
一．选择题（共9小题）
1．把正方形沿对角线折成直二面角，对于下列结论：
①；②是正三角形；③与成角；④与平面成角．
则其中正确结论的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为　　

A． B． C． D．1
3．矩形中，，，将与沿所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线与直线成的角范围（包含初始状态）为　　

A． B． C． D．
4．已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中　　
A．存在某个位置，使得直线与直线垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．对任意位置，三对直线“与”，“ 与”，“ 与”均不垂直
5．在中，，，，是边上的动点，设，把沿翻折为△，若存在某个位置，使得异面直线与所成的角为，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．
6．如图，在中，，，是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，
7．如图，在直二面角中，、均是以为斜边的等腰直角三角形，取中点，将沿翻折到△，在的翻折过程中，下列不可能成立的是　　

A．与平面内某直线平行 B．平面
C．与平面内某直线垂直 D．
8．如图，在中，，，为的中点．将沿着翻折至△，使得，则的取值不可能为　　

A． B． C． D．
9．在斜边长为5的等腰直角三角形中，点在斜边（不含端点）上运动，将沿翻折到△位置，且使得三棱锥体积最大，则长为　　

A．2 B． C．3 D．4
二．填空题（共7小题）
10．将边长为2，锐角为的菱形沿较短对角线折成四面体，点，，分另，，的中点，则下列命题中正确的是　 　．（将正确的命题序号全填上）
①；②是异面直线与的公垂线；
③平面；④垂直于截面．
11．在中，已知，，，是边上一点，将沿折起，得到三棱锥，若该三棱锥的顶点在底面的射影在线段上，设，则的取值范围为　　．
12．如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成△．若为线段的中点，则在翻折过程中，下列命题正确的是　 　．（写出所有正确的命题的编号）
①线段的长是定值；
②点在某个球面上运动；
③存在某个位置，使；
④存在某个位置，使平面．

13．如图，在中，，，为的中点，将沿着翻折至△，使得，则的取值可能为　　（填上正确的所有序号）
①②③④

14．如图，矩形中，，，沿对角线将折起得到△，且点在平面上的射影落在边上，记二面角的平面角的大小为，则的值等于　　．

15．已知中，，，为的中点，现将沿折成三棱锥，当二面角大小为时，　　．

16．已知直角梯形，，，，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为　 　；当三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为　 　．
三．解答题（共15小题）
17．如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．

18．如图，在矩形中，，，分别为，的中点，以为折痕把折起，点到达点的位置，使．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值．

19．如图，四边形中，，，，，，分别是线段，的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，为线段的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．

20．已知，分别为边，上的一点，且，如图所示，将沿折起为△，使点位于点的位置，连接，，．
（1）当时，记平面与平面的交线为，证明：；
（2）若为直角三角形，，且将沿折成直二面角，求当为何值时，平面与平面所成的二面角为．

21．如图所示，等边三角形的边长为3，点，分别是边，上的点，满足，．将沿折起到△的位置，使二面角为直二面角，连接，．
（1）求二面角的余弦值；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

22．已知直角三角形中，，，，点，分别是边，上的动点（不含点），且满足（图．将沿折起，使得平面平面，连结、（图．
求证：平面；
求四棱锥体积的最大值．

23．等边三角形的边长为3，点，、分别是边、上的点，且满足．将沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连接、．

（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
（3）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
24．如图1，是等腰直角三角形，，，分别是，上的点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的余弦值．

25．如图1，是等腰直角三角形，，分别是，上的点，．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
26．已知如图一，，，，分别为，的中点，在上，且，为中点，将沿折起，沿折起，使得，重合于一点（如图二），设为，
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．

27．等边的边长为3，点，分别为，上的点，且满足（如图①，将沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连接，（如图②．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点（不包括端点），使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．

28．等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图．将沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图．

（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
29．等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图．将沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若点在线段上，，求直线与平面所成的角．
30．如图，中，，，，，分别为，上的点，，将沿折到△的位置，使平面平面．
（1）当为的中点时，设平面与平面所成的二面角的平面角为，直线与平面所成角为，求的值；
（2）当点在边上运动时，求四棱锥体积的最大值．

31．等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图．将沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图．
（Ⅰ）求证：平面
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．

第11讲 非常规空间几何体为载体
一．选择题（共1小题）
1．如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点，，，则二面角的大小的正弦值为　　

A． B． C． D．
二．解答题（共19小题）
2．如图，是圆的直径，圆所在的平面，是圆上的点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，，，求二面角的大小．

3．如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆0上异于，的点，
（1）求证：平面；
（2）设，分别为，的中点，问：对于线段上的任一点，是否都有平面？并说明理由．

4．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且，
（Ⅰ）若为线段的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；
（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．

5．如图所示，是圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在平面，且．
（1）为线段的中点，求证：平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求异面直线与所成的角．

6．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且．为线段的中点，
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若点在线段上，且，求三棱锥体积的最大值．

7．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的四等分点，且靠近．
（1）设是上的一点，且，求的大小；
（2）当，时，求二面角的余弦值的大小．

8．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，
（1）设是上一点，且，若中点为，求证：平面平面；
（2）若，为上的一点，且，求二面角的余弦值．

9．如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

10．如图，在平行六面体中，平面，且，，．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值．

11．在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆直径，是圆台的一条母线．
（1）已知，分别为，的中点，求证：面；
（2）已知，，求二面角的余弦值．

12．如图，已知圆柱内有一个三棱锥，为圆柱的一条母线，，为下底面圆的直径，，．
（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点，使得平面？证明你的结论．
（Ⅱ）设点为棱的中点，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

13．如图，已知圆柱内有一个三棱锥，为圆柱的一条母线，，为下底面圆的直径，．
（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点，使得平面？证明你的结论．
（Ⅱ）设点为棱的中点，，求四棱锥体积的最大值．

14．如图，在三棱台中，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面，，，，求平面与平面所成的角（锐角）的大小．

15．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长．

16．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）若直线与平面所成的角的正弦值为，求实数的值．

17．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：．
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）若平面，求的值．

18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设，是否存在实数使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

19．如图，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离．

20．已知：平行四边形中，，，平面平面，为等边三角形，，，为线段的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．


第12讲 立体几何空间轨迹问题
一．选择题（共14小题）
1．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上的点到点距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是　　
A． B．
C． D．
2．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是　　

A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
3．如图，在棱长为1的正方体中，为棱中点，点在侧面内运动，若，则动点的轨迹所在曲线为　　

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
4．在棱长为3的正方体中，是的中点，是底面所在平面内一动点，设，与底面所成的角分别为，，均不为，若，则三棱锥体积的最小值是　　
A． B． C． D．
5．如图，在正方体中，是的中点，为地面内一动点，设、与地面所成的角分别为、、均不为，若，则动点的轨迹为哪种曲线的一部分　　

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
6．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为　　

A． B．
C． D．
7．如图，在长方形中，，，为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上的射影在直线上，当从运动到，则所形成轨迹的长度为　　
A． B． C． D．
8．已知平行六面体，与平面垂直，且，为中点，在对角面所在平面内运动，若与成角，则点轨迹为　　
A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆
9．在正方体中，为的中点，点在其对角面内运动，若总与直线成等角，则点的轨迹有可能是　　
A．圆或圆的一部分 B．抛物线或其一部分
C．双曲线或其一部分 D．椭圆或其一部分
10．如图，长方体中，，，上底面的中心为，当点在线段上从移动到时，点在平面上的射影的轨迹长度为　　

A． B． C． D．
11．如图，若三棱锥的侧面内一动点到底面的距离与到点的距离之比为正常数，且动点的轨迹是抛物线，则二面角平面角的余弦值为　　

A． B． C． D．
12．如图，正方体的棱长为1，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为1，则动点的轨迹是　　

A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线
13．一光源在桌面的正上方，半径为2的球与桌面相切，且与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的长轴长为　　

A．6 B．8 C． D．3
14．平面、、两两互相垂直，点，点到、的距离都是3，是上的动点，到的距离是到点距离的2倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共7小题）
15．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点距离为的点的集合形成一条直线，那么这条曲线的形状是　 　，它的长度是　 　．
若将“在正方体的侧面上到点距离为的点的集合”改为在正方体表面上与点的距离为的点的集合”那么这条曲线的形状又是　 　，它的长度又是　 　．
16．已知正方体的棱长为1，动点在正方体的表面上运动，且与点的距离为．动点的集合形成一条曲线，这条曲线在平面上部分的形状是　　；此曲线的周长是　　．

17．如图，已知正方体的棱长为，长度为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，则的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为　　．

18．正方体中，、分别是棱，上的动点，且，为的中点，则点的轨迹是　 　．
19．在长方体中，，，在线段，上各有一动点，，则的中点的轨迹图形的面积为　 　．
20．如图，在棱长为2的正四面体中，、分别为直线、上的动点，且．若记中点的轨迹为，则等于　　．（注表示的测度，在本题，为曲线、平面图形、空间几何体时，分别对应长度、面积、体积．

21．点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为　　．

第13讲 立体几何空间角的大小比较
一．选择题（共17小题）
1．如图，已知，是的中点，沿直线将折成△，所成二面角的平面角为，则　　

A． B． C． D．
2．如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），、、分别为、、上的点，，，分别记二面角，，的平面角为、、，则　　

A． B． C． D．
3．如图，正四面体中，、、在棱、、上，且，，分别记二面角，，的平面角为、、，则　　

A． B． C． D．
4．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与面所成的角为，二面角的平面角为，则　　

A． B． C． D．
5．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点）．记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则　　
A．， B．， C．， D．，
6．如图，三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，二面角的平面角为，则不可能是　　

A． B． C． D．
7．如图，是边上一点，将沿折成直二面角，要使最短，则是　　
A．中边上的中线 B．中边上的高线
C．中的平分线 D．要视的具体情况而定
8．如图，正四棱锥．记异面直线与所成角为，直线与面所成角为，二面角的平面角为，则　　

A． B． C． D．
9．已知正四面体，为内的一点，记与平面、，所成的角分别为、、，则下列恒成立的是　　
A．
B．
C．
D．
10．已知三棱锥的底面为正三角形，，平面、、与平面所成的锐二面角分别为、、，则　　
A． B． C． D．
11．如图，已知三棱锥满足，在底面的投影为的外心，分别记直线与平面、、所成的角为，，，则　　

A． B． C． D．
12．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面，，若侧面，，与底面所成的二面角分别为，，，则下列的结论成立的是　　
A． B． C． D．
13．如图，三棱锥中，，，，，，分别
是，，的中点，记直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，平面与平面所成的锐二面角为，则　　

A． B． C． D．
14．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面．过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线，，所成锐角分别为，，，则这三个角的大小关系为　　

A． B． C． D．
15．已知长方体的底面为正方形，，，且，侧棱上一点满足，设异面直线与，与，与的所成角分别为，，，则　　
A． B． C． D．
16．如图，矩形中，，，是线段上一点且满足，是线段上一动点，把沿折起得到△，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，，平面与平面所成锐角为，则　　

A． B． C． D．
17．如图，矩形中，，，是线段（不含点上一动点，把沿折起得到△，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，，平面与平面所成锐角为，则　　

A． B． C． D．

第14讲 立体几何存在性问题
一．解答题（共12小题）
1．在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点，在线段上，且满足．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

2．如图，已知长方形中，，，为的中点．将沿折起，使得平面平面．
（1）求证：；
（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为．

3．如图，在四棱锥中，底面为菱形且，为中点．
（Ⅰ）若，求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面平面，且，试问在线段上是否存在点，使二面角的大小为，如存在，求的值，如不存在，说明理由．

4．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，为棱上的点，，，．
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）当，时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

5．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，请说明理由．

6．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小．

7．如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且．
（1）当时，求异面直线与所成角的大小；
（2）设平面与平面所成二面角的大小为，求的取值范围．

8．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．
（1）求证：；
（2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

9．在四棱柱中，底面是正方形，且，．
（1）求证：；
（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．

10．如图，五面体中，正的边长为1，平面，，且．
设与平面所成的角为，，若，求的取值范围；
（Ⅱ）在和条件下，当取得最大值时，求平面与平面所成角的大小．

11．如图，垂直于梯形所在的平面，．为中点，，． 四边形为矩形，线段交于点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出点所在的位置；若不存在，请说明理由．

12．如图，在四边形中，，，，平面，，且．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值．


第15讲 立体几何折叠问题
一．解答题（共13小题）
1．如图，矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
2．如图，在直角梯形中，，，且，，分别为线段，的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．

3．如图1，在平行四边形中，，，，、分别为、的中点，现把平行四边形沿折起如图2所示，连接、、．
（1）求证：；
（2）若，求二面角的正弦值．

4．如图1所示，在等腰梯形中，．把沿折起，使得，得到四棱锥．如图2所示．

（1）求证：面面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
5．如图1，菱形的边长为12，，与交于点．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

6．如图1，已知在菱形中，，为的中点，现将四边形沿折起至，如图2．

（1）求证：面；
（2）若二面角的大小为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
7．如图1，四边形中，，将四边形沿着折叠，得到图2所示的三棱锥，其中．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若为中点，求二面角的余弦值．

8．如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，得到如图2所示的几何体．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值．

9．如图所示，在平行四边形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面和平面的交线为，求二面角的余弦值．

10．已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示．
（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与，与能否垂直？若能垂直，求出相应的值；若不垂直，请说明理由．
（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值．

11．如图，在长方形中，，，、为线段的三等分点，、为线段的三等分点．将长方形卷成以为母线的圆柱的半个侧面，、分别为圆柱上、下底面的直径．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．

12．在菱形中，且，点，分别是棱，的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取，的中点，．

（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求多面体的体积．
13．已知等腰直角△，，，，分别为，的中点，将△沿折到的位置，，取线段的中点为．

求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

第16讲 立体几何作图问题
一．解答题（共15小题）
1．如图，三棱柱的各棱长均相等，底面，，分别为棱，的中点．
（1）过作平面，使得直线平面，若平面与直线交于点，指出点所在的位置，并说明理由；
（2）求二面角的余弦值．

2．如图，三棱柱中，，，，，分别为棱，的中点．
（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值．

3．如图，在四棱锥中，底面，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）试在棱上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为；
（3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值．

4．如图，在多面体中，四边形为矩形，，均为等边三角形，，．
（1）过作截面与线段交于点，使得平面，试确定点的位置，并予以证明；
（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．

5．如图，三棱柱中，四边形为菱形，，，，平面平面，在线段上移动，为棱的中点．
（1）若为线段的中点，为中点，延长交于，求证：平面；
（2）若二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离．

6．如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱中，，四边形为矩形，过作与直线平行的平面交于点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若与底面所成角为，求二面角的余弦值．

7．如图，四棱锥中，底面为梯形，，．是的中点，底面．在平面上的正投影为点，延长交于点．
（1）求证：为中点；
（2）若，，在棱上确定一点，使得平面，并求出与面所成角的正弦值．

8．四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，且平面，，点，分别是线段，上的中点，在上，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤．

9．在等腰直角中，，分别为，的中点，，将沿折起，使得二面角为．
（1）作出平面和平面的交线，并说明理由；
（2）二面角的余弦值．

10．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，平面平面，且与棱，，分别交于，，三点．
（1）过作直线，使得，，请写出作法并加以证明；
（2）若将三棱锥分成体积之比为的两部分（其中，四面体的体积更小），为线段的中点，求四棱锥的体积．

11．如图，在三棱锥中，，．两两垂直，，平面平面，且与棱．．分别交于，，三点．
（1）过作直线，使得，，请写出作法并加以证明；
（2）若将三棱锥分成体积之比为的两部分（其中，四面体的体积更小），为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

12．如图，在三棱柱中，，，．
（Ⅰ）证明：点在底面上的射影必在直线上；
（Ⅱ）若二面角的大小为，，求与平面所成角的正弦值．

13．如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．

14．在如图所示的几何体中，，平面，，，，．
（1）证明：平面；
（2）过点作一平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积．

15．如图，在四棱锥中，，，，．
（1）求证：；
（2）若，，为的中点．
过点作一直线与平行，在图中画出直线并说明理由；
求平面将三棱锥分成的两部分体积的比．


第17讲 立体几何建系繁琐问题
一、解答题
1． 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．
（1）证明：，且平面平面；
（2）设为△的中心．若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．







2． 如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，，，分别是，的中点
（1）证明：平面
（2）求二面角的余弦值．







3． 如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，．
（1）证明：；
（2）已知点，为线段，上的点，，，求平面与平面所成二面角的正弦值．







4． 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面．
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：　　　　，则三棱锥为“鳖臑”；
（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，．
（ⅰ）证明：平面平面；
（ⅱ）设平面与平面的交线为，若，，求二面角的大小．







5． 已知四面体，，，且平面平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．







6． 已知四面体，，且平面平面．
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）求二面角的正切值．








第18讲 两角相等（构造全等）的立体几何问题
一．解答题（共12小题）
1．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，点是
的中点，连接，
（1）证明：平面平面；
（2）若，，求三棱锥的体积．

2．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，点是的中点，
记、的面积分别为、，二面角的大小为，证明：
（1）平面平面；
（2）．

3．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，点是
的中点，连接，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，且二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．

4．如图，在三棱锥中，和均为等腰直角三角形，且，已知侧面与底面垂直，点是的中点，点是的中点，点在棱上，且，点是上的动点．
（1）证明：；
（2）当平面时，求二面角的余弦值．

5．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，面积是面积的两倍，点在侧棱上．
（1）若，证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为，且为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

6．如图，四棱锥中，底面为边长是2的正方形，，分别是、的中点，，，且二面角的大小为．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．

7．如图，四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）当直线与平面所成的角为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

8．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是边长为4的菱形，，对角线与相交于点，，．
（1）证明：；
（2）若直线与平面所成角为，问在线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．

9．如图，在四面体中，已知，，
（1）求证：；
（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值．

10．已知如图，平面平面，，，．
（Ⅰ）异面直线、所成的角为，异面直线、所成的角为，求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值的绝对值．

11．如图，是四边形的外接圆的直径，平面，为的中点，已知，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值．

12．已知四面体，，且平面平面．
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）求二面角的正切值．


第19讲 利用传统方法找几何关系建系
一．解答题（共20小题）
1．如图：长为3的线段与边长为2的正方形垂直相交于其中心．
（1）若二面角的正切值为，试确定在线段的位置；
（2）在（1）的前提下，以，，，，，为顶点的几何体是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．

2．在四棱锥中，为棱的中点，平面，，，，，为棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若二面角为，求直线与平面所成角的正切值．

3．如图（1），在等腰梯形中，，是梯形的高，，，现将梯形沿，折起，使且，得一简单组合体如图（2）示，已知，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若直线与平面所成角的正切值为，则求平面与平面所成的锐二面角大小．

4．三棱柱中，，，侧面为矩形，，二面角的正切值为．
（Ⅰ）求侧棱的长；
（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．

5．如图，在四棱锥中，底面四边形内接于圆，是圆的一条直径，平面，，是的中点，
（1）求证：平面；
（2）若二面角的正切值为2，求直线与平面所成角的正弦值．

6．如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，，平面平面，点，为棱，中点，二面角的平面角的余弦值为．
（1）求棱的长；
（2）求与平面所成角的正切值．

7．在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的正切值；
（Ⅲ）若点在线段上，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围；并求该正弦值取最大值时，多面体的体积．

8．如图，在多面体中，侧面底面，四边形是矩形，，，，．
（1）求证：；
（2）当二面角的正切值为2时，求的值．

9．如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若，，且二面角所成角的正切值是2，试求该几何体的体积．

10．如图所示，平面，为等边三角形，，，为中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若与平面所成角的正切值为，求二面角的正切值．

11．在等腰梯形中，，分别是，的中点，，，，现将梯形沿折起，并记平面与平面所成二面角的平面角为，中点为．
（1）当时，求证：平面；
（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求与平面所成角的正切值．

12．已知直角三角形，，，，分别是，上的动点，且，将沿折起到位置，使平面与平面所成的二面角的大小为，设，．
（1）若且与平面所成的角的正切值为，求二面角的大小的正切值；
（2）已知，为的中点，若，求的取值．
13．已知和是两个有公共斜边的直角三角形，并且，．
（1）若是边上的一点，当的面积最小时，求二面角的平面角的正切值；
（2）能否找到一个球，使，，，都在该球面上，若不能，请说明理由；若能，求该球的内接圆柱的表面积的最大值．

14．如图，已知四棱锥，底面为菱形，，，平面，，分别是，的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．

15．在三棱锥中，平面，，点在棱上，且．
（1）试证明：面；
（2）若，过直线任作一个平面与直线相交于点，得到三棱锥的一个截面，求面积的最小值；
（3）若，求二面角的正弦值．

16．如图1所示，在边长为12的正方形中，点，在线段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱．
（1）求证：平面；
（2）若点为四边形内一动点，且二面角的余弦值为，求的最小值．

17．如图，在边长为4的菱形中，．点、分别在边、上，点与点、不重合，，．沿将翻折到的位置，使平面平面，点满足．
（1）求证：平面；
（2）求的最小值，并探究此时直线与平面所成的角是否一定大于？
18．在中，，，，，分别为，边上的点，且，沿将折起（记为△，使二面角为直二面角．
（1）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值；
（2）当的长度最小时，求二面角的大小．

19．如图，在四棱锥中，面，四边形是菱形，，，是上任意一点
（1）求证：；
（2）当面积的最小值是9时，求的长
（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使与面所成角的正切值为2？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求直线与平面所成的角的余弦值．

第20讲 立体几何综合问题
一．解答题（共14小题）
1．如图，直线平面，直线平行四边形，四棱锥的顶点在平面上，，，，，，，，分别是与的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．

2．如图，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，平面，平面，，．
证明：平面平面；
求二面角的余弦值．

3．如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形．，．
（1）证明：平面
（2）求与平面所成角的正弦值．

4．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，．
（Ⅰ）证明：是侧棱的中点；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

5．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且，，为等边三角形，平面平面；点、分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．

6．如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且．
（1）当时，求异面直线与所成角的大小；
（2）设平面与平面所成二面角的大小为，求的取值范围．

7．如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，其中，，，，，，点在棱上且，点为棱的中点．
在棱上且，点位棱的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值的大小．

8．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是．

9．如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，且，是边长为2的正三角形，顶点在上的射影为点，且，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．

10．如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．
求证：；
若，求平面和平面所成锐二面角的余弦值．

11．在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为2的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．
（1）求证：平面；
（2）求二面角．

12．如图，在四面体中，已知，，
（1）求证：；
（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值．

13．三棱柱的底面是等边三角形，的中点为，底面，与底面所成的角为，点在棱上，且，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．

14．如图，将矩形沿折成二面角，其中为的中点，已知，．，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．