高中数学专题-平面方程及其应用解析版

 § 6 平面方程及其应用秒杀知识点知识点1：（空间平面方程）设平面经过空间一点，且法向量，记平面内任一点为，则由得，所以，即，其形式为（不全为0）．于是得到：定理1 空间中，以为法向量的平面方程为（不全为0）（*）．从方程形式可以很快确定该平面的法向量，给我们解决问题带来了很大的方便．一般地，若知道空间中不共线的三点，将它们的坐标代入（*）式，通过解方程组，就能确定平面的方程，从而确定其法向量．知识点2：（点到平面距离公式）定理2 设空间中点的坐标为，平面的方程为，则点到平面的距离．证明：设平面内任一点，则，又平面的法向量，且，所以点到平面的距离．上述定理可看作平面内点到直线距离公式在空间的推广，该公式形式简捷，具备对称和谐之美，学生也便于记忆，有很强的操作性．平面方程问题在原人教B版选修2-1P106（探索与研究）专栏中有过介绍，但对它的应用教材并未涉及．本节主要介绍平面方程的一些基本应用．就运算来说虽然不能简化，但就解题思路是一种通性通法，就解题路径讲是一种“秒杀”方式．秒杀思路分析利用平面方程可以解决高考中的立体几何的平行、垂直、二面角、直线与平面成角以及点到平面距离问题．解题思路一般依条件建立空间坐标系，求出点的坐标进而求出相应平面方程，利用平面方程写出法向量或讨论相关问题．【示例1】如图，在正三棱柱中，，．是的沿长线上一点，，过三点的平面交于，交于．（1）当平面平面时，求的值；（2）求证：平面．【秒杀方法】（1）如图，取的中点，的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．则在平面中，，，，设平面的方程为，则：，于是平面的方程为得平面的一个法向量．在平面中，，，，设平面的方程为，则：于是平面的方程为，得平面的一个法向量为，当平面平面时，，即．（2）由（1）知平面的一个法向量为，又，且，所以，即，所以平面．【示例2】（2017年全国卷Ⅱ理19）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点．（1）证明：直线平面．（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．【秒杀方法】（1）由已知得，以为坐标原点，方向为轴正方向，以为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，则．设平面的方程为．则于是平面的方程为，得平面的一个法向量．∵，∴平面．（2）由与平面所成角为，可求点．设平面的方程为,则，即，则平面的方程为．可得平面的一个法向量为．又平面的方程为，则法向量为．∴因此二面角的余弦值为【示例3】（原人教B版选修2-1P113例2）如图，已知四棱锥，底面，，，，，是中点，在上，且，求点到平面的距离．【秒杀方法】以为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示，则，，，．设平面的方程为．即即则平面的方程为．即．∴到平面的距离．方法对比【例1】（2017年全国卷Ⅲ理19）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．常规方法（1）证明：由题设可得，从而，又是直角三角形，所以．取的中点，连接，，则，．又因为是正三角形，故，所以为二面角的平面角，在中，，又，所以，故．所以平面平面．（2）解：由题设及（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系﹐则，，，，由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得，故，，，设是平面的法向量，则即可取．设是平面的法向量，则同理可取，则．所以二面角的余弦值为．秒杀方法（1）证明：取中点，中点，由已知，又，，，．∴平面，即．∴平面，又平面，故平面平面．（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设，，，．由已知为中点，∴．设平面的方程为．即则平面的方程为，即．可得法向量．设平面的方程为．即即，∴平面的方程为．可得法向量．则．所以二面角的余弦值为．【例2】（2014年新课标全国Ⅱ文18）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．（1）证明：平面；（2）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离．常规方法（1）连接交于点，连接．∵为矩形，∴为中点．又为中点，则，又平面，平面，故平面．（2），由可得．作交于，由题意知平面，则，故平面．又，故到平面的距离为．秒杀方法（1）建立如图所示的空间直角坐标系．设，，，则，，设平面的方程为，则即则平面的方程为，即．可得法向量，又，∵，故平面．（2）由，可得，则，，，设平面的方程为，则即则平面的方程为，即，则到平面的距离．秒杀训练【试题1】已知点，平面经过点，，，求点到平面的距离．   【试题2】已知为空间直角坐标系内一定点，过作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于三点，则所有这样的四面体的体积的最小值为_______．   【试题3】如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，，．（1）证明：四点共面；（2）略． 【试题4】已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是的中点，点在直线上，且．（1）证明：无论取何值，总有；（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大?并求该角取最大值时的正切值；（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．    真题回放【试题1】（2016年江西预赛）如图，在四面体中，为正三角形，，，，则点到面的距离为___________．  【试题2】（2017年安徽预赛）设正八面体的棱长为1，则其两个平行平面之间的距离为______．    【试题3】（2017年清华大学领军计划试题）已知点集，则的体积是（   ）A．    B．    C．    D．  【试题4】（2017年新课标全国卷Ⅰ理18）如图，在四棱锥中，，且．（1）证明平面平面；（2）若，，求二面角的余弦值．  【试题5】（2011年江西高考理科题）（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体的四个顶点满足，求该正四面体的体积．