直线与圆的综合问题-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义

解析几何-直线与圆有关的综合问题专题综述从近三年的高考情况来看, 直线与圆的方程考查的重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题，有时候会结合其他知识点综合考查直线与圆有关的位置关系（特别是弦长问题），面积问题，最值问题等，一般以选填题的形式出现。解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力。专题探究探究1：直线与圆的方程问题 直线与圆的方程问题是高考中的热点问题之一，解决这类问题主要以方程思想和数形结合的方法来处理，求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，还应注意恰当运用平面几何知识对其进行求解。解决直线的方程问题的三个注意点：（1）求解两条直线平行的问题时，在利用建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．（2）要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．（3）讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．解决圆的方程问题一般有两种方法：（1）几何法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程;（2）待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程（组）求得各系数，进而求出圆的方程。(2021湖北省襄阳市联考)圆关于直线对称的圆的方程为      A.  B.
C.  D. 【审题视点】如何理解圆关于直线对称？【思维引导】求出圆心关于直线的对称点的坐标，即可求得对称圆的方程．【规范解析】圆的圆心为，设关于直线对称的点为，
则，解得
故圆关于直线对称的圆的方程为，                  即．故选B．【探究总结】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：（1）几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，常用到的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③相切两圆的连心线经过切点；（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解，若由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程。            (2020河北省衡水市期中)若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为A.  B.
C.  D.  探究2：直线与圆、圆与圆的位置关系 直线(不全为0)与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法:圆心到直线的距离为，直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.（2）代数法:由联立消元，得到的一元二次方程的判别式为，则直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.圆与圆的位置关系的判断(圆，圆的半径分别为)（1）两圆外离，（2）两圆外切，（3）两圆相交，（4）两圆内切，（5）两圆内含.直线与圆相切问题的解题策略：直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算。       (2021四川省成都市)对圆上任意一点，都与，无关，则的取值范围为     A.  B.  C.  D. 【审题视点】如何根据条件“为定值”联想到点到直线的距离是解题关键。【思维引导】可以看作点到直线：与直线：距离之和的倍，结合图形分析，可知圆在两直线之间，由点到直线的距离公式求解直线与圆相切时的值。【规范解析】因为，所以可以看作点到直线：与直线：距离之和的倍，的取值与，无关，这个距离之和与点在圆上的位置无关，如图所示，可知当直线平移时，点与直线，的距离之和均为，的距离，此时圆在两直线之间．当直线与圆相切时，，解得或舍去，故，故选：．【探究总结】解决直线与圆的位置关系的问题，要充分运用数形结合的思想，既要充分运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本度量关系，养成勤画图的良好习惯。(2021湖北省武汉市)若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是    A.  B.  C.  D.  探究3：与圆有关的弦长问题 有关弦长问题的两种求法：（1）设直线被圆截得的弦长为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则弦长公式：.（2）若斜率为的直线与圆交于,两点，则,（其中），特别地，当时，；当斜率不存在时，.(2021湖南省长郡十五校联考)已知,，是拋物线上的三点，如果直线，被圆截得的两段弦长都等于，则直线的方程为A.  B.
C.  D. 【审题视点】如何通过直线与圆的弦长找到等量关系？【思维引导】先求出抛物线方程，设出点坐标，点坐标，可表示出直线的方程，由点到直线的距离及垂径定理得出直线的斜率，进而得出直线的方程。【规范解析】在抛物线上，
故，即，抛物线方程为，
设，易得直线的斜率存在，
，
直线的方程为，
即，易得直线的斜率存在，
设直线的方程为：，即，
依题意圆心到直线的距离，解得，
不妨设得，
同理，，
故直线的方程为，
故选：．【探究总结】研究直线与圆有关的弦长问题时最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题，即利用圆的半径为，圆心到直线的距离为，以及半弦长，构成直角三角形的三边，利用勾股定理求解。           (2021江苏省南京市高三模拟)若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为      A.  B.  C.  D.  探究4：与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点。与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化;直线与圆的综合问题主要包括弦长问题,切线问题及组成图形面积问题,解决方法主要依据圆的几何性质。(2021江西省南昌市三模)已知直线与轴相交于点，过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，两点，记是的中点，则的最小值为  A.  B.  C.  D. 【审题视点】如何求解点的轨迹？【思维引导】为定点，求的最小值需先找到点的轨迹，设，则以为直径的圆的方程为，化简与联立，可得所在直线方程：，直线过定点，由题意得，，为直线上的一个定点，则点在以为直径的圆上，可得点的轨迹为：，圆心，半径，由题可知，可得答案。【规范解析】如图：设，    则以为直径的圆为，
化简得，与联立，
可得所在直线方程：，
易得，直线过定点，
由题意得，，为直线上的一个定点，则点在以为直径的圆上，
可得：点的轨迹为：，圆心，半径．
由题可知，．
线段长的最小值为．
故选A．【探究总结】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解。求两圆相交时的公共弦的方程，只需将两圆方程作差，消去二次项所得的直线方程即可，而在求两圆公共弦长时，应注意数形结合思想的灵活运用。(2021.四川省成都市期末)已知圆：的圆心为，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为          ．     专题升华圆的切线方程常用结论      过圆上一点的圆的切线方程为.       过圆上一点的圆的切线方程为:.      过圆外一点作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为:.易错点防范      求圆的弦长时，注意应用圆的几何性质解题，即垂径定理与勾股定理．      过一点求圆的切线、圆的割线方程时，应注意斜率的讨论，一般地，过圆外一点可求两条切线，若求出一条要注意考虑该点是在圆上或漏掉了斜率不存在的情况．                          【答案详解】变式训练1【答案】【解析】圆的圆心，
因为圆与圆关于直线对称，
所以满足直线方程，解得，
过点的圆与轴相切，圆心的坐标为,
所以， 解得：，
故圆心的轨迹方程为：．
故选：．变式训练2【答案】【解析】由题得圆的标准方程为，圆心是半径为，依题意，可知当圆心到直线的距离不超过时，满足圆上至少有个不同的点到直线的距离为，所以圆心到直线的距离，显然，化简得，解得，
又，所以直线的倾斜角的取值范围是，故选B．变式训练3【答案】【解析】双曲线：的一条渐近线不妨设为：，
圆的圆心，半径为，
由双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，
可得圆心到的距离为，即，
又，可得，即．
故选A．变式训练4【答案】16【解析】如图所示,，
又，，
设，在直线上，，，，
，
当时，的最小值为，即的最小值为．
故答案为：．