山西省吕梁市交城县2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题

这是一份山西省吕梁市交城县2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(满分120分，考试时间120分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A.等边三角形 B.正五角星
C.正六边形 D.平行四边形
2. 一元二次方程的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
3. 我们学习了一次函数、二次函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是
A. 演绎 B. 数形结合 C.抽象 D. 公理化
4. 如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是B′，B′,A，C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数可以是
A. 60° B. 90° C.120° D. 150°
二次函数中，的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为
A.轴 B.直线 C. 直线 D. 直线
6.将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为
A. B.
C. D.
7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径，∠B=35°，则∠ACD的度数是
A. 45° B. 50° C.55° D. 60°
8.有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是
A.35 B.53 C.62 D.35或53
9.已知二次函数的图象过点A，B，C,则，，的大小关系是
B.
C. D.
10.如图，二次函数（）的图象与轴交于点A，B，且点A在-1和0之间，图象与轴交于负半轴，对称轴为直线，对于该二次函数，下列结论中错误的是
A. 二次函数的最小值为 B.
C. D.
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
11. 抛物线的顶点坐标为 .
在某校秋季运动会上，某班参加接力赛的同学每两人握一次手，共握手190次，设参加接力赛的人数为，则可列方程为 .
13.飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行的最长距离为 米.
14.已知关于的方程（为常数，）的两根分别为-3，1，那么关于的方程的两根分别为 .
如图，△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△AB′C′,若∠BAC=90°,AB=AC=,则图中阴影部分的面积等于 .
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(本题共2个小题，每小题5分，共10分)解下列方程：
（1） （2）
17.(6分)已知关于的方程有两个实数根，.
求实数的取值范围；
若满足，求实数的值.
18.（9分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在如图所示的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC绕着点A逆时针旋转90°的△；
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△；
（3）请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.

19.（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F.
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求弧BD的长.（结果保留）
20.（8分）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
“原材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有原材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表达是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸,AB=1尺，其中1尺=10寸，求出直径CD的长.
解题过程如下：
连接OA，设OA=寸，则OE=-CE=(-1)寸.
∵AB⊥CD，AB=1尺=10寸，∴AE=AB=5寸.
在Rt△OAE中，,即，解得=13，
∴CD==26寸.
任务：
（1）上述解题过程中运用了 定理和 定理；
（2）若原题改为已知DE=25寸，AB=1尺，请根据上述解题思路，求直径CD的长；
（3）若继续往下锯，当锯到AE=OE时，弦AB所对圆周角的度数为 .
21.（10分）某商店经销一种运动器材，已知这种运动器材的成本价为每个30元.市场调查发现，这种运动器材每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下的关系：.设这种运动器材每天的销售利润为元.
（1）求与之间的函数解析式；
（2）这种运动器材销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种运动器材的销售单价不高于42元，该商店销售这种运动器材每天要获得200元的销售利润，销售单价应为多少元？
22.（12分）综合与实践
【情境呈现】如图1,将两个正方形纸片ABCD和AEFG放置在一起.若固定正方形ABCD，将正方形AEFG绕着点A旋转.
【数学思考】
（1）如图1，当点E在AB边上，点G在AD边上时，线段BE与DG的数量关系是 ，位置关系是 .
(2)如图2，是将正方形AEFG绕着点A逆时针旋转度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 .
【拓展探究】
（3）如图3，若点D，E，G在同一条直线上，且AB=2AE=，求线段BE的长度（直接写出答案）.
23.（12分）如图，已知抛物线的顶点坐标为Q（2，-1），且与轴交于C（0，3），与轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD⊥直线AC于点D.
求该抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
求点P在运动的过程中，线段PD的最大值；
（3）若点P与点Q重合，点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A，P，E，F为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
2022—2023学年第一学期期中质量监测试题
九年级数学答案
选择题 （每小题3分，共30分）
填空题 （每小题3分，共15分）
(2,1) 12. 13.600
14. 或 15.
解答题（共75分）
16.（每小题5分，共10分）
（1）解：
………………………………………1分
………………………………………3分
………………………………………4分
………………………………………5分
（2）解：（2）
∵ ………………………………………1分
∴………………………………………2分
……………………………………4分
∴………………………………………5分
17.(第一问3分，第二问3分，共6分)
(1)∵关于的方程有两个实数根，
∴……………………………2分
解得：
∴实数的取值范围为 ………………………………………3分
（2）∵关于的方程有两个实数根，
∴ ………………………………………4分
∵
∴………………………………5分
∴
解得：（不符合题意，舍去）
∴实数的值为-2………………………………………6分

(第一问3分，第二问3分，第三问3分，共9分)
（1）如图，△A即为所求作的图形；………………………………………3分
（2）如图，△即为所求作的图形；……………………………………6分
（3）（5，3）或（3，-1）或（-1，1） ………………………………………9分
19.(第一问4分，第二问4分，共8分)
（1）证明：如图，连接OD ……………………………1分
∵DF是⊙O的切线，D是切点
∴OD⊥DF
∴∠ODF=90°………………………………………2分
∵BD=CD,OA=OB
∴OD是△ABC的中位线 ………………………………3分
∴OD∥AC
∴∠CFD=∠ODF=90°
∴DF⊥AC ………………………………………4分
（2）∵∠CDF=30°
由（1）得∠ODF=90°
∴∠ODB=180°-∠CDF -∠ODF=60°………………………5分
∵OB=OD
∴△OBD是等边三角形 ………………………………………6分
∴∠BOD=60°
∴BD的弧长=…………………………8分
20.（(第一问2分，第二问4分，第三问2分，共8分)
（1）垂径 勾股………………………………………2分
（2）连接OA
设OA=寸………………………………………3分
则OE=DE-=(25-)寸
∵AB⊥CD，AB=1尺=10寸
∴AE=AB=5寸…………………………………4分
在Rt△OAE中，
即……………………………5分
解得=13，
∴CD==26寸……………………………………6分
（3）45°或135°………………………………………8分
21.(第一问3分，第二问4分，第三问3分，本题10分)
（1）………………………………………2分
∴函数解析式为…………………………3分
（2）……………………5分
∵
∴有最大值
当时，有最大值225………………………………………6分
答：这种运动器材销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元.………………………………7分
（3）令时
………………………………………8分
解得：………………………………………9分
∵
∴
答：销售单价定为40元时，每天利润为200元.………………………10分
22.（第一问4分，第二问6分，第三问2分，共12分）
解:（1） BE=DG,BE⊥DG……………………………………4分
（2）成立……………………………………5分
如图，延长BE交DG于点H
∵四边形ABCD与四边形AEFG均为正方形
∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°………………………6分
∴∠BAD+∠EAD=∠EAG+∠EAD
∴∠BAE=∠DAG……………………………………7分
∴△BAE≌△DAG(SAS)
∴BE=DG,∠ABE=∠ADG……………………………………8分
∵∠OBA+∠BOA=180°-∠BAO=90°,∠DOH=∠BOA
∴∠ADG+∠DOH=90°……………………………………9分
∴∠DHO=180°-(∠ADG+∠DOH)=90°
∴BE⊥DG……………………………………10分
（3）……………………………………12分
23.解：（第一问4分，第二问6分，第三问2分，共12分）
（1）∵因为抛物线的顶点为Q（2，-1）
∴设抛物线的解析式为………………………………………1分
把C（0，3）代入中
得
解得：
∴抛物线的解析式为………………………………………2分
即令，
则
解得：………………………………………3分
∴A(3,0)，B（1，0）……………………………………4分
（2）设直线AC的解析式为
把A(3,0),C(0,3)分别代入中
解得：
∴直线AC的解析式为……………………………………5分
过P作EF⊥轴，交直线AC于点E，交轴于点F，连接AP，CP.
∵点P在抛物线上，点E在直线AC上，EF⊥轴
设P（），E（）……………………………………6分
∴PE=-=……………………………7分
∴
=
=
=
∵
∴有最大值
最大值==………………………9分
在Rt△AOC中：
∵
∴当最大值=时，PD有最大值
∴PD有最大值为.……………………………………10分
（3）存在 ……………………12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
…
-2
-1
0
1
2
…
…
0
-4
-6
-6
-4
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
D
B
D
C
D
B
C