【备战2023高考】数学考点全复习——第60讲《椭圆的几何性质》精选题（新高考专用）

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第60讲 椭圆的几何性质

【基础知识回顾】
1、 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性质

范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距
＝2c
离心率
e＝，　　e∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

1、若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】：B
【解析】：由题意得a＝2b，a2＝4b2＝4(a2－c2)，∴ ＝．
2、已知椭圆＋＝1上一点P到右准线的距离为10，则点P到它的左焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】：A
【解析】：设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P到左准线的距离为d1，P到右准线的距离为d2＝10，由圆锥曲线的统一定义知，＝＝，解得PF2＝6．又PF1＋PF2＝2a＝10，解得PF1＝4，故P到它的左焦点距离为4．
3、经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】：D
【解析】∵ 垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x＝±c，由
得y2＝，∴ |y|＝，故弦长为．
4、若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　C
【解析】　依题意可知，c＝b，
又a＝＝c，
∴椭圆的离心率e＝＝.
5、(2021·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A.长轴长为 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
【答案】：　D
【解析】　把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，
则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝，故选D.

考向一　 椭圆的离心率的值
例1(1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，所以e＝＝.
(2)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.
【答案】　
【解析】由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.
因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去).
变式1、(1)(2022·湛江模拟)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　A
【解析】过椭圆C的下顶点(0，－b)且斜率为的直线方程为y＝x－b，即x－y－b＝0，
F(c,0)，由点到直线距离公式，
得c＝，
即c2＝－bc＋b2，即(2c－b)(c＋2b)＝0，
则2c－b＝0，b＝2c.
又a2＝b2＋c2，即a2＝(2c)2＋c2＝5c2，
解得＝.
(2)(2022·济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为(　　)
A.－1 B.
C. D.＋1
【答案】　A
【解析】不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，如图所示，

∵△PF1F2为直角三角形，
∴PF1⊥F1F2，
又|PF1|＝|F1F2|＝2c，
∴|PF2|＝2c，
∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，
∴椭圆E的离心率e＝＝－1.
变式2、焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c×b＝(2a＋2c)×，得a＝2c，即e＝＝，故选C.
变式3、 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．

【答案】　
【解析】因为F(c,0)，B2(0，b)，B1(0，－b)，A(a,0)，所以＝(c，－b)，＝(a，b)．因为FB2⊥AB1，所以ac－b2＝0，即c2＋ac－a2＝0，故e2＋e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．
方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
考向二 椭圆离心率的范围
例2、 (1)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　B
【解析】若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，

可得c≥b，即c2≥b2，
所以2c2≥a2，即e2≥，
又e<1，所以e∈.
（2）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点A，B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得∠APB＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　A
【解析】　如图，

当P在上顶点时，∠APB最大，
此时∠APB≥120°，
则∠APO≥60°，
所以tan∠APO≥tan 60°＝，
即≥，a2≥3b2，a2≥3(a2－c2)，
所以2a2≤3c2，
则≥，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
变式1、过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　A
【解析】　由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c，0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.
又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.
变式2、已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
【答案】 (－1，1)
【解析】 由题意知点P不在x轴上，在△PF1F2中，
由正弦定理得＝，所以由＝，
可得＝，即＝＝e，所以|PF1|＝e|PF2|．
由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以e|PF2|＋|PF2|＝2a，解得|PF2|＝．
由于a－c<|PF2|－1或e<1－，所以e∈(－1，1)．
方法总结：求离心率的值关键是找到不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。

考向三 与椭圆有关的范围(最值)
例3　(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)
A．1 B.
C．2 D．2
【答案】　D
【解析】　设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，所以×2cb＝1，故bc＝1，故2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)．
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．

【答案】　4
【解析】　由题意知a＝2，因为e＝＝，
所以c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3，
故椭圆的方程为＋＝1.
设P点的坐标为(x0，y0)，
所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.
因为F(－1,0)，A(2,0)，
所以＝(－1－x0，－y0)，
＝(2－x0，－y0)，
所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2，
所以当x0＝－2时，·取得最大值4.
变式、(2022·太原模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】　C
【解析】由椭圆＋＝1可得F(－1,0)，
点O(0,0)．
设P(x，y)(－2≤x≤2)．
则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3
＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
方法总结：与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；
(2)利用函数，尤其是二次函数；
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．

1、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．
故选：A．
2、（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：根据题意，可知，因为，
所以，即，
所以椭圆的离心率为，故选C.
3、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
故选：C．
4、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）设A，B分别为椭圆C：(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C过点P(2，1)，当线段AB长最小时椭圆C的离心率为_______.
【答案】
【解析】因为A，B分别为椭圆C：(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，
所以，，
又椭圆C过点，
所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
此时，所以离心率为.
故答案为
5、【2018年新课标2卷理科】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率为得，，
由正弦定理得,
所以，故选D.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
6、【2018年新课标2卷文科】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，
设，则，
又由椭圆定义可知
则离心率，
故选D.
7、【2022年全国甲卷】椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（       ）
A．32 B．22 C．12 D．13
【答案】A
【解析】
解：A-a,0，
设Px1,y1，则Q-x1,y1，
则kAP=y1x1+a,kAQ=y1-x1+a，
故kAP⋅kAQ=y1x1+a⋅y1-x1+a=y12-x12+a2=14，
又x12a2+y12b2=1，则y12=b2a2-x12a2，
所以b2a2-x12a2-x12+a2=14，即b2a2=14，
所以椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=32.
故选：A.


8、【2021年乙卷理科】设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．