2022北航附中期中模拟练习二试卷及参考答案

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  2023届北航附中高三数学第一学期期中模拟练习题2答题纸 班级                 姓名                 学号             成绩              一．选择题（每题5分，共50分）题号12345678910答案BBCCADBBCD二、填空题（每题5分，共25分）11124213214，（答案不唯一）15①     ③④  三、解答题（共85分）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）．．因为，所以的最小正周期为．..................................................7分（Ⅱ）因为，所以．所以．所以．所以当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．所以的值域为．.......................................................13分 （17）（本小题13分）解：选条件①②．（Ⅰ）设的公差为．由题意得解得所以（）．...........................................................6分（Ⅱ）设的公比为（）．由题意得解得所以（）．所以．.............................................................13分选条件①③．（Ⅰ）设的公差为．由题意得解得所以（）．..........................................................6分（Ⅱ）设的公比为（）．由得．所以解得所以（）．所以．.............................................................13分选条件②③．（Ⅰ）设的公比为（）．由题意得解得所以（）．设的公差为．由题意得解得所以（）．...........................................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．所以．..............................................................13分   （18）（本小题14分）解：（Ⅰ）（ⅰ）在中，，，，所以．所以．解得，或（舍）．所以．...........................................................5分（ⅱ）因为，所以．所以为等边三角形．所以．在中，因为，即，所以．所以．...........................................................11分（Ⅱ）设．因为，所以．所以．所以．因为，所以．所以．..............................................................14分   （19）（本小题15分）解：函数的定义域为，．（Ⅰ）当时，．令，得．当变化时，的变化情况如下：-+↘极小值↗所以的极小值为，无极大值．.............................................6分（Ⅱ）不等式恒成立等价于恒成立．令，．所以．（1）当时，因为，所以．令，得．当变化时，的变化情况如下：-+↘最小值↗当时，不等式恒成立当且仅当．所以符合题意．（2）当时，．所以在内单调递增．因为，所以不恒成立．所以不符合题意．（3）当时，．当变化时，的变化情况如下：+-+↗极大值↘极小值↗因为，所以不恒成立．所以不符合题意．（4）当时，．当变化时，的变化情况如下：+-+↗极大值↘极小值↗因为，所以不恒成立.所以不符合题意．综上所述，的取值范围是．...............................................15分（（2）（3）（4）可由判断出不符合题意）（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当，时，，所以．因为，所以．所以函数在区间内单调递减．.............................................5分（Ⅱ）（ⅰ）由，得．因为直线过点，且斜率为，            所以，．所以，．            所以．................................................................10分（ⅱ）方程在区间上的解有3个．证明如下：            设，则．当时，，所以在上单调递减．又，所以在上有一个零点．当时，，所以．所以函数在内无零点．当时，令，，所以在上单调递增．又，，所以存在，使得．当时，，所以在内单调递增．当时，，所以在内单调递减．因为，所以当时，．又因为，，所以在上有1个零点．又因为，所以在上有2个零点．综上，函数在上有3个零点．所以方程在区间上的解有3个．........................................15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）数列是“S数列”．理由如下：当时，．对任意正整数，设，则是整数，且．所以数列是“S数列”．.................................................4分（Ⅱ）因为，所以，当时，．所以下面证明该数列不是“S数列”．因为，所以数列严格递增且均为正数．所以．当时，，所以．当时，对任意正整数有．所以不存在正整数（）使得．所以当时，数列不是“S数列”．..........................................9分（Ⅲ）若数列的通项公式为（为常数），则是“S数列”．证明如下：当时，．对任意正整数，设，则是整数，且，所以数列是“S数列”．同理，若数列的通项公式为（为常数），则也是“S数列”．设是首项为，公差为的等差数列，则．设，，因为，所以．因为和都是“S数列”，且（），所以命题得证．.......................................................15分