广西壮族自治区南宁市宾阳县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年广西南宁市宾阳县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）

1．奥运火炬时隔14年再次在“鸟巢”点燃，北京由此成为世界上首个既举办夏季奥运会又举办冬季奥运会的“双奥之城”，下列各届冬奥会会徽图案中，是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

2．我国自主研发的北斗三号新信号22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用．已知22纳米米，数据0.000000022用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

3．下列方程中是关于的一元二次方程的是　　

A． B． 

C． D．

4．抛物线的开口方向　　

A．向左 B．向右 C．向上 D．向下

5．二次函数的图象的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

6．已知点与点关于原点成中心对称，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

7．如图，将三角尺（其中，绕点按逆时针方向转动一个角度到△的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角等于　　

A． B． C． D．

8．用配方法解方程，配方后可得　　

A． B． C． D．

9．如图，是的直径，，若．则的度数是　　

A． B． C． D．

10．某种植基地2019年蔬菜产量为80吨，预计2021年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为　　

A． B． C． D．

11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2．已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是　　

A．1米 B．米 C．2米 D．米

12．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是　　

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个

二、填空题（每小题2分，共12分）

13．如图，在中．若，则的度数为　　．

14．将抛物线向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是　 　．

15．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则他将铅球推出的距离是 　　．

16．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　．

17．如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为 　　．

18．如图，已知点，，，在函数位于第二象限的图象上，点，，，在函数位于第一象限的图象上，点，，，在轴的正半轴上，若四边形、，，都是正方形，则正方形的对角线长为 　　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

19．（6分）计算：．

20．（6分）解方程：．

21．（10分）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．

22．（10分）已知的三个顶点的坐标分别为、、．

（1）画出关于坐标原点成中心对称的△；

（2）将绕坐标原点顺时针旋转，画出对应的△；

（3）若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出的坐标　　．

23．（10分）如图，在中，弦垂直于半径，垂足为点，是优弧上一点，连接，，，

（1）求的度数；

（2）若，，求的长．

24．（10分）某超市对进货价为10元千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量（千克）与销售价（元千克）存在一次函数关系，如图所示．

（1）求关于的函数关系式（不要求写出的取值范围）；

（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？

25．（10分）阅读材料：

材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．

材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．

解：一元二次方程的两个实数根分别为，，

，，

则．

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　．　　．

（2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．

（3）思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值．

26．（10分）已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标；

（3）在第二象限的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

1．【解答】解：选项、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：．

2．【解答】解：．

故选：．

3．【解答】解：、该方程是分式方程，一元二次方程首先必须是整式方程，故本选项不符合题意；

、当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

、是一元二次方程，故本选项不符合题意；

、是二元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：．

4．【解答】解：，

抛物线的开口向下，

故选：．

5．【解答】解：二次函数为顶点式，其顶点坐标为．

故选：．

6．【解答】解：点与点关于原点成中心对称，

点的坐标是．

故选：．

7．【解答】解：，

旋转角．

故选：．

8．【解答】解：方程，

整理得：，

配方得：，即，

故选：．

9．【解答】解：与是同弧所对的圆周角，，

．

，

，

．

故选：．

10．【解答】解：依题意得：．

故选：．

11．【解答】解：连接交于，连接，

点为运行轨道的最低点，

，

（米，

在中，（米，

点到弦所在直线的距离米，

故选：．

12．【解答】解：抛物线开口向上，交轴的负半轴，

，，

抛物线的对称轴为直线，

，

，所以①错误；

抛物线与轴有2个交点，

△，所以②正确；

，

，所以③错误；

时，，

，

而，

，所以④正确；

时，，

，

，

，即，所以⑤正确．

故选：．

13．【解答】解：由圆周角定理得，．

故答案为：．

14．【解答】解：抛物线的顶点坐标为，

向上移2个单位后的抛物线顶点坐标为，

新抛物线解析式为．

故本题答案为：．

15．【解答】解：当时，，

解得：（舍，，

他将铅球推出的距离是．

故答案为：10．

16．【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

解得：且．

故答案为：且．

17．【解答】解：连接，如图所示，

边长为的正方形绕点逆时针旋转到正方形，

，，，

在△和中，

，

△，

，

，，

，

，，，

，，

设，则，

，

解得或（舍去），

，

，

故答案为：．

18．【解答】解：是正方形，

与轴的夹角为，

的解析式为，

联立方程组得：，

解得或，

点的坐标是：；

，

，

同理可得：正方形的边长，则，

依此类推，正方形则正方形的边长为，

正方形的对角线长为，

故答案为：4044．

19．【解答】解：原式

．

20．【解答】解：移项，得．

，，，

，

，

，．

21．【解答】（1）证明：，，，

△

，

方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：由题意得：

，

解得：，

，

，

，

的值为．

22．【解答】解：（1）如图所示，△即为所求；

（2）如图所示，△即为所求；

（3）的坐标、、．

故答案为：、、．

23．【解答】解：（1）连接，

，过圆心，

，

，

，

；

（2），，过圆心，

，

，，

，

．

24．【解答】解：（1）设，由图象可知，

，

解之，得：，

；

（2）

，

，

有最大值，

当时，．

即当销售单价为20元千克时，每天可获得最大利润200元．

25．【解答】解：（1）一元二次方程的两个根为，，

，，

故答案为：，；

（2）一元二次方程的两根分别为、，

，，

；

（3）实数、满足，，

与看作是方程的两个实数根，

，，

，

，

，

，

．

26．【解答】解：（1）抛物线的图象经过点和点，

，

解得，，

抛物线的解析式为：．

（2）对称轴为，

令，

解得，，

，

如图所示，

点与点关于直线对称，

连接与对称轴的交点即为所求之点，

的长是个定值，

则此时的点，使的周长最小，

由于、两点关于对称轴对称，

则此时最小．

设直线的解析式为，

由、可得：

，

解得，，

直线解析式为；

当时，，

点坐标为；

（3）结论：存在．

设是第二象限的抛物线上一点，

过点作轴交直线于点，则的坐标为，

，

，

当时，取得最大值．

当时，，

，．

所以，在第二象限的抛物线上，存在一点，使得的面积最大；点的坐标为，．

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