2023安康高二上学期期中考试数学（理）含解析

2022-2023学年第一学期高二年级期中考试

理科数学

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则

A.   B.   C.   D.

2.已知，是两条不同的直线，是平面，且，则下列命题中正确的是

A.若，则   B.若，则

C.若，则   D.若，则

3.函数的部分图象大致为

A.   B.

C.   D.

4.已知，若直线：与直线：平行，则它们之间的距离为

A.   B.   C.   D.或

5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某条棱上的一个端点P在侧视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则P在正视图中对应的点为

A.A   B.B   C.C   D.D

6.如图所示的直三棱柱容器中，，，把容器装满水（容器厚度忽略不计），将侧面BCFE平放在桌面上，放水过程中，当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量的比值为

A.   B.   C.   D.

7.如图，在平行六面体中，为与的交点.若入，，，则下列向量中与相等的是

A.   B.

C.   D.

8.已知两点，，直线过点且与线段AB有交点，则直线的倾斜角的取值范围是

A.    B.

C.  D.

9.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为

A.  B.  C.  D.

10.比萨斜塔是意大利的著名景点，因斜而不倒的奇特景象而闻名世界.把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，OA的方向即为A点处的竖直方向.已知比萨斜塔处于北纬44°，经过测量，比萨斜塔朝正南方向倾斜。且其中轴线与竖直方向的夹角为4°，则其中轴线与赤道所在平面所成的角为

A.40°   B.42°   C.48°   D.50°

11.函数在区间上可找到个不同的数，使得，则的最大值为

A.20   B.21   C.22   D.23

12.在正方体中，E为线段AD的中点，设平面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为

A.   B.   C.   D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若，满足约束条件，则的最大值为_____________.

14.从3男2女共5名医生中，抽取2名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为_____________.

15.点到直线：的距离的最大值为_____________.

16.在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，，.E，F分别为AB，PD的中点，经过C，E，F三点的平面与侧棱PA相交于点G.若四棱锥的顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为_____________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

在数列中，，.

（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18.（12分）

如图，在直三棱柱中，，，M为AB的中点.

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离.

19.（12分）

已知函数，.

（1）求函数的最大值；

（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求a，b的值.

20.（12分）

已知的顶点，，边所在直线方程为，边上的高所在直线的方程为.

（1）求边所在直线的方程；

（2）求的面积.

21.（12分）

如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点.

（1）证明：；

（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值.

22.（12分）

如图，在矩形ABCD中，，M为边AB的中点.以CM为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且，连接PA，PB，PD.

（1）证明：平面平面；

（2）若E是线段DP上的动点（不与点P，D重合），二面角的大小为，试确定点E的位置.

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.D解析：∵，∴.

2.D解析：依题意，若，则可能，∴A错误；若，则与可能相交、异面、平行，∴B错误；若，则可能，，与相交，∴C错误；由于，∴平面内存在直线，满足，若，则，则，∴D正确.

3.B解析：易知是偶函数，且当时，，当时，，故选B.

4.A解析：直线：与直线：平行，∴，解得或，又，∴，直线：与直线：距离为.

5.A解析：根据三视图可知该几何体的直观图如图所示，由图可知P在正视图中对应的点为A.

6.B解析：如图，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，没有水的部分底面积变为原来的，故放出水量是原来水量的，剩余水量是原来水量的.

7.B解析：.

8.C解析：如图，直线的斜率，直线的斜率.由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，因此直线的倾斜角的取值范围是.

9.C解析：设圆锥的母线长为，则，解得，则该圆锥的表面积为.

10.A解析：如图，为比萨斜塔的中轴线，，，则，即其中轴线与赤道所在平面所成的角为40°.

11.C解析：设，则条件等价为的根的个数，作出函数和的图象，由图象可知当时，与函数的图象最多有22个交点，即的最大值为22.

12.D解析：设正方体的棱长为2，以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、、.设平面的法向量为，，，由，取可得.设平面的法向量为，，，由，取可得.设直线的方向向量为，∵平面，平面，则，，∴，取可得，，，∴直线与所成角的余弦值为.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.4  14.  15.  16.

13.4解析：作出可行域可得当直线过点时，取得最大值4.

14.解析：将3名男性医生分别设为a，b，c，2名女性医生分别设为d，e，这个实验的样本空间可记为，共包含10个样本点，记事件A为至少有1名女医生参加，则，则A包含的样本点个数为7，∴.

15.解析：直线：经过定点，当时，点到直线：的距离最大，最大值为.

16.解析：根据题意，以点A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，设，则，，.∵经过，，三点的平面与侧棱相交于点，∴，，，四点共面，∴存在实数，使得，即.

∴，，，解得，，∴，四棱锥的外接球O的半径与边长为1，，2的长方体的外接球半径相同，为，表面积为.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.解析：（1）∵，

∴数列是首项为，公比为2的等比数列，

∴，即.

（2）由（1）知

.

18.解析：（1）连接交于点N，则N为中点，连接MN，

∵M为AB中点，∴，

∵平面，平面，∴平面.

（2）由已知易得，

设点到平面的距离为，由得

，解得.

19.解析：（1）由题意知，

∵，∴，∴函数的最大值为2.

（2）由题意得，即，

∵，∴，∴，∴，即，

由及正弦定理得，由余弦定理得，即，

联立解得，.

20.解析：（1）∵边上的高所在直线方程为，∴直线的斜率为，

∴直线的方程得，即.

（2）联立，解得，即点，，

直线的斜率为，则直线的方程为，即，

点到直线的距离为，∴.

21.解析：依题意建立如图空间直角坐标系，则，，，，.

（1），，∴，∴.

（2），.

设为平面的法向量，则，即，

令得，

∴.

∴直线与平面所成角的正弦值为.

22.解析：（1）取线段CM的中点O，连接BO，PO，

∵，，∴为等边三角形，

∴，∴，.

∵，∴，

∴，∴，

∵，∴平面.

∵平面，∴平面平面.

（2）由（1）知OP，CM，OB相互垂直，以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示

空间直角坐标系.

设，则，，连接，则，且，

∴，，，，

∴，，，

设，，

则，

设为平面的法向量，

则，

令得，

易知平面的一个法向量，

∴，解得（舍）或，

∴当点在线段上，满足时，二面角的大小为.