专题08 立体几何与空间向量 -2023届（新高考）高考数学二轮精品专题

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     1．空间几何体结构特征的考查，主要为表面积和体积的求解，一般以选择题和填空题的形式出现．2．空间点、线、面的位置关系的考查，一般为线线关系、线面关系、面面关系的证明以及表面积、体积的求解．3．空间向量通常当作工具来求解空间几何体的问题．  1．空间几何体的表面积与体积（1）多面体的表面积，，．（2）旋转体的表面积①圆柱：，其中为底面半径，为母线长；②圆锥：，其中为底面半径，为母线长；③圆台：，其中为上、下底面半径分别，为母线长；④球体：，其中为球的半径．（3）几何体的体积公式①柱体：，其中为底面面积，为高；②椎体：，其中为底面面积，为高；③台体：，其中、分别为上、下底面面积，为高；④球体：，其中为球的半径．2．空间点、直线、平面之间的位置关系（1）平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过不同在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一直线的两条直线平行．3．直线、平面平行的判定及其性质（1）直线与平面平行的判定定理文字语言：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：，，．图形语言：如下图．（2）直线与平面平行的性质定理文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号语言：，，．图形语言：如下图．（3）平面与平面平行的判定定理文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号语言：，，，，．图形语言：如下图．（4）平面与平面平行的性质定理文字语言：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言：，，．图形语言：如下图．4．直线、平面垂直的判定及其性质（1）直线与平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：，，，，．图形语言：如下图．（2）直线与平面垂直的性质定理文字语言：垂直于同一个平面内的两条直线平行．符号语言：，．图形语言：如下图．（3）平面与平面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．符号语言：，．图形语言：如下图．（4）平面与平面垂直的性质定理文字语言：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号语言：，，，．图形语言：如下图．5．空间向量的运用设平面的法向量分别为，，直线的方向向量为，则：（1）线面平行（2）线面垂直，，（3）面面平行，，（4）面面垂直  
      一、选择题．1．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）A． B． C． D．2．如图，已知四棱锥的底面是边长为6的菱形，，，相交于点，平面，，是的中点，动点在该棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的长为（    ）A．3 B．7 C．13 D．83．如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，是线段的三等分点，且．若该三棱柱的外接球的表面积为，则（    ）A． B． C． D．4．已知正三棱柱的所有棱长均相等，、在上，且，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．5．（多选）在正方体中，点P在线段上运动，则下列命题正确的是（    ）A．异面直线和所成的角为定值 B．直线和平面相交C．三棱锥的体积为定值 D．直线和直线可能相交 二、填空题．6．小明同学在进行剪纸游戏，将长方体剪成如图所示的侧面展开图，其中，，，已知，分别为，的中点，则将该长方体还原后直线与所成角的余弦值为______．7．在三棱锥中，，是正三角形，为中点，有以下四个结论：①若，则三棱锥的体积为；②若，且三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为；③若，则三棱锥的体积为；④若，且三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．其中结论正确的序号为__________．8．在三棱锥中，平面，，，．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为______；若点是的重心，则过点的平面截球所得截面的面积的最小值为______．       三、解答题．9．如图，在正四面体中，点，分别是，的中点，点，分别在，上，且，．（1）求证：直线，必相交于一点，且这个交点在直线上；（2）若，求点到平面的距离．        10．如图，已知是圆柱的轴截面，、分别是两底面的圆心，是弧上的一点，，圆柱的体积和侧面积均为．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的大小．  11．如图，四棱锥中，底面，，，，且，，分别为，的中点．（1）若，求证：平面；（2）若四棱锥的体积为2，求二面角的余弦值．       12．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，是线段上一点(不含)，在平面内过点作平面交于点．（1）写出作点P､GP的步骤(不要求证明)；（2）若，，P是SD的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小．   13．如图，在直角梯形中，，，，E为的中点，F在线段上，且．将四边形沿折起，使得到的四边形所在平面与平面垂直，M为的中点．连接，，．（1）证明：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．                    一、选择题．1．设､为两条直线，､为两个平面，则下列命题中假命题是（    ）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则 二、解答题．2．如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，，平面平面直线，平面，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．            一、选择题．1．在空间，已知直线及不在上两个不重合的点､，过直线做平面，使得点､到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个2．日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为，矩形的宽和正方形的边长均为．若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为，则的最大值为（    ）A． B． C． D．3．在四面体中，，，，若与互余，则的最大值为（    ）A． B． C． D．4．如图，在正四棱柱中，底面边长，高，为棱的中点．设、、，则、、之间的关系正确的是（    ）A． B． C． D． 二、填空题．5．若正四棱锥的侧面均是正三角形，且它的表面积是，则该四棱锥外接球的体积是__________．6．如图，棱长为1的正方体ABCD-中，P为线段上的动点(不含端点)，有下列结论：①平面P⊥平面AP；②多面体的体积为定值；③直线P与BC所成的角可能为；④AP能是钝角三角形．其中结论正确的序号是___________(填上所有序号)． 三、解答题．7．如图三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别为，的中点，，．（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角大小．       8．已知三棱柱，平面，．（1）求异面直线与所成的角；（2）求二面角的正弦值；（3）设M为的中点，在的内部或边上是否存在一点N，使得平面?若存在，确定点N的位置，若不存在，说明理由．            9．如图1，扇形的圆心角为60°，半径为3，点，分别在线段，上，且，将沿折起到的位置，如图2所示．（1）求证：；（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．