高中数学高考 2021届高考二轮精品专题六 立体几何与空间向量（理） 学生版(1)

这是一份高中数学高考 2021届高考二轮精品专题六 立体几何与空间向量（理） 学生版(1)，共38页。试卷主要包含了空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行的判定及其性质，直线、平面垂直的判定及其性质，空间向量的运用等内容，欢迎下载使用。

专题 6
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立体几何与空间向量






命题趋势

高考立体几何的考查通常为一道大题和一道小题的形式．小题即选择题或者填空题，通常为几何体三视图的识别或者点线面位置关系的判断，空间几何体表面积、体积的计算；大题即解答题，考查的内容主要为：空间平行关系、垂直关系的证明，面积和体积的计算，线面角、二面角、面面角的计算，多数情况下需利用空间向量作为工具进行计算．


考点清单

1．空间几何体的表面积与体积
（1）多面体的表面积
S棱柱表=S棱柱侧+2S底，S棱锥表=S棱锥侧+S底，S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底．
（2）旋转体的表面积
①圆柱：S表=2πr(r+l)，其中r为底面半径，l为母线长；
②圆锥：S表=πr(r+l)，其中r为底面半径，l为母线长；
③圆台：S表=π(r'2+r2+r'l+rl)，其中r'，r为上、下底面半径分别，l为母线长；
④球体：S球=4πr2，其中r为球的半径．
（3）几何体的体积公式
①柱体：V柱体=Sh，其中S为底面面积，h为高；
②椎体：，其中S为底面面积，h为高；
③台体：，其中S'、S分别为上、下底面面积，h为高；
④球体：，其中r为球的半径．
2．空间点、直线、平面之间的位置关系
（1）平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
公理2：过不同在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一直线的两条直线平行．
3．直线、平面平行的判定及其性质
（1）直线与平面平行的判定定理
文字语言：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
符号语言：a⊄α，b⊂α，a//b⇒a//α．
图形语言：如下图．

（2）直线与平面平行的性质定理
文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
符号语言：a//α，a⊂β，α∩β=b⇒a//b．
图形语言：如下图．

（3）平面与平面平行的判定定理
文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a//α，b//α⇒α//β．
图形语言：如下图．

（4）平面与平面平行的性质定理
文字语言：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
符号语言：α//β，γ∩α=a，γ∩β=b⇒a//b．
图形语言：如下图．

4．直线、平面垂直的判定及其性质
（1）直线与平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b=P⇒l⊥α．
图形语言：如下图．

（2）直线与平面垂直的性质定理
文字语言：垂直于同一个平面内的两条直线平行．
符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a//b．
图形语言：如下图．

（3）平面与平面垂直的判定定理
文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
符号语言：l⊂β，l⊥α⇒α⊥β．
图形语言：如下图．

（4）平面与平面垂直的性质定理
文字语言：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
符号语言：α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β．
图形语言：如下图．

5．空间向量的运用
设平面α，β的法向量分别为，，直线l的方向向量为，则：
（1）线面平行

（2）线面垂直
，，
（3）面面平行
，，
（4）面面垂直



精题集训
（70分钟）

经典训练题

一、选择题．
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则ΔPAC在该正方体各个面上的正投影（实线部分）可能是（ ）

A．①④ B．①② C．②③ D．②④
2．下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（ ）

A．12πa2 B．6πa2 C．3πa2 D．πa2
3．过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作平面α，使得正方体的各棱与平面α所成的角都相等，则满足条件的平面α的个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
4．设m､n为两条直线，α､β为两个平面，则下列命题中假命题是（ ）
A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β B．若，m⊥α，，则α⊥β
C．若m⊥n，，，则 D．若，m⊥α，n⊥β，则
5．已知直线l、m与平面α、β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是（ ）
A．若l//m，则必有α//β B．若l⊥m，则必有α⊥β
C．若l⊥β，则必有α⊥β D．若α⊥β，则必有m⊥α
6．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若，，，则下列向量中与BM相等的向量是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（ ）

A．4 B．43 C．2 D．23
8．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD上的动点（不含端点），过B，E，D1的截面与棱A1B1交于F，若截面在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1上正投影的周长分别为C1，C2，则C1+C2（ ）

A．有最小值2+25 B．有最大值 C．是定值 D．是定值4+25
9．如图，已知四棱锥的底面是边长为6的菱形，，AC，BD相交于点O，平面ABCD，SO=4，E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为（ ）

A．3 B．7 C．13 D．8
10．（多选）已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是（ ）
A．若a⊥α，a⊥β，则α//β B．若α⊥β，a⊥α，，b⊄β，则b//β
C．若，b⊥α，则a⊥α D．若a//α，b⊂α，则

二、填空题．
11．在三棱锥S-ABC中，AB=10，，AC=AS，BC=BS，若该三棱锥的体积为，则三棱锥S-ABC外接球的体积为__________．
12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，M分别为棱AB，A1D1，D1C1的中点，过点M与平面CEF平行的平面与AB交于点N，则四面体NCEF的体积为________．
13．如图，棱长为1的正方体中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，有下列结论：

①平面A1D1P⊥平面A1AP；
②多面体D1-CDP的体积为定值；
③直线D1P与BC所成的角可能为；
④△APD1能是钝角三角形．
其中结论正确的序号是___________(填上所有序号)．
14．古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在2:1的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天，A4纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近2:1，我们称这种满足了2:1的矩形为“优美”矩形．现有一长方体ABCD-A1B1C1D1，AD1=26，AC=25，AC1=27，则此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为___________．
15．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为8 cm的正四棱锥，则这个粽子的表面积为______，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为______．

三、解答题．
16．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PC⊥AC，BC⊥AC，AC=PC=2，CB=4，
M是PA的中点．
（1）求证：PA⊥平面MBC；
（2）设点N是PB的中点，求二面角N-MC-B的余弦值．











17．如图1，正方形ABCD，边长为a，E，F分别为AD，CD中点，现将正方形沿对角线AC折起，折起过程中D点位置记为T，如图2．
（1）求证：EF⊥TB；
（2）当时，求平面ABC与平面所成二面角的余弦值．












18．如图，在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=m．若∠BSC=θ，∠CSA=β，∠ASB=γ，且．
（1）证明：平面SAB⊥平面ABC；
（2）若，，，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60∘．若存在，请求出D点的位置；若不存在，请说明理由．










19．如图①，△ABC中，，，E，F分别为边AB，AC的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置(如图②)，且．
（1）证明：EF⊥平面PBE；
（2）设N为线段PF上的动点(包含端点)，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值．










高频易错题

一、解答题．
1．如图，在正四面体A-BCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且，．
（1）求证：直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上；
（2）求直线AB与平面所成角的正弦值．









精准预测题

一、选择题．
1．已知某几何体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图水平放置的直观图如图②中粗线部分所示，其中四边形A'B'C'D'为平行四边形，B'C'=2A'B'=4O'A'=4，则该几何体的体积为（ ）

A．16+8π B．8+16π C．16+16π D．8+8π
2．已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，的中点，O，M分别为BD，EF的中点，
则下列说法错误的是（ ）

A．四点B，D，E，F在同一平面内 B．三条直线BF，DE，有公共点
C．直线A1C与直线OF不是异面直线 D．直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线
4．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD为矩形，EF//AB，若AB=3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD=2EF，则异面直线AE与CF所成角的大小为（ ）

A． B． C． D．
5．已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，其底面ABCD是平行四边形，外接球体积为36π，若AC1⊥BD，则其外接球被平面AB1D1截得图形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．

二、填空题．
6．如图，大摆锤是一种大型的游乐设备，常见于各大游乐园．游客坐在圆形的座舱中，面向外．通常，大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险．座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．大摆锤的运行可以使置身其上的游客惊心动魄．今年元旦，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴OB在平面α内绕点O左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面β内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB⊥β，B∈β，已知OB=6AB，在“大摆锤”启动后，下列4个结论中正确的是______（请填上所有正确结论的序号）．

①点A在某个定球面上运动；
②线段AB在水平地面上的正投影的长度为定值；
③直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为；
④直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为．

三、解答题．
7．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，三角形ABC是正三角形，PA=AB，点D、E、F分别为棱PA、PC、BC的中点，G为AD的中点．
（1）求证：平面BDE；
（2）求二面角B-DE-F的余弦值．









8．如图，底边ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AFDE，AD⊥DE，AF=26，DE=36．
（1）求证：平面ACE⊥平面BED；
（2）在线段AF上是否存在点M，使得二面角M-BE-D的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．







参考答案

经典训练题

一、选择题．
1．【答案】A
【解析】从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况．
从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况．
从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况．
故选A．
【点评】本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图的关键点，如顶点等，再连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成．属于基础题．
2．【答案】C
【解析】根据三视图可知，该几何体为如图正方体中的三棱锥A-BCD，
正方体的棱长等于a，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
所以外接球的直径2R=3a，
因此外接球的表面积为S=4πR2=3πa2，故选C．

【点评】本题主要考了三视图还原以及几何体外接球的求解，属于基础题．
3．【答案】C
【解析】解法一：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，
直线AB、AD、AA1与平面A1BD所成角都相等，
过顶点A作平面α∥平面A1BD，
则直线AB、AD、AA1与平面α所成角都相等，
同理，过顶点A分别作平面α与平面C1BD、平面B1AC，平面D1AC平行，
直线AB、AD、AA1与平面α所成的角都相等，
∴这样的平面α可以作4个，故选C．
解法二：只要与体对角线垂直的平面都和正方体的所有棱所成的角相等，
因为有四条体对角线，所以，可以做四个平面，故选C．
【点评】本题主要考查正方体在平面上的投影以及直线与平面所成的角，还考查了空间想象的能力，
属于基础题．
4．【答案】C
【解析】A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，相当于两平面的法向量垂直，两个平面垂直，A正确；
B．若，m⊥α，则n⊥α，又，则平面β内存在直线，所以c⊥α，所以α⊥β，B正确；
C．若m⊥n，，，则α，β可能相交，可能平行，C错误；
D．若，m⊥α，n⊥β，则α，β的法向量平行，所以，D正确，
故选C．
【点评】本题考查两平面平行与垂直的判断，掌握两平面平行与垂直的和性质定理是解题关键．另外从空间向量角度出发，利用平面的法向量之间的关系判断两平面平行与垂直也是一种行之有效较简单的方法．
5．【答案】C
【解析】A．如图所示，设，l//c，m//c满足条件l//m，但是α与β不平行，故A不正确；
B．假设α//β，n⊂β，n//l，n⊥m，则满足条件l⊥m，但是α与β不垂直，故B不正确；
C．若l⊂α，l⊥β，根据面面垂直的判定定理可得α⊥β，故C正确；
D．设，若l//c，m//c，虽然α⊥β，但是可有m//α，故D不正确，
综上可知：只有C正确，故选C．

【点评】本题考查空间点、直线、平面之间的位置关系，以及线线、线面平行垂直的判定和性质，考查对命题的判断和推理证明思想，属于基础题．
6．【答案】A
【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，
，故选A．
【点评】本题考查了空间向量的线性运算属于基础题．
7．【答案】D
【解析】以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：

设，，则，即．
又，，所以，，
．
显然x≠0且x≠2，所以．
因为x∈0，2，所以．
所以当2x-x2=1，a2取得最小值12．
所以a的最小值为23，故选D．
【点评】集合问题代数化是空间向量法解决问题的一般思路，通过向量将几何关系建立代数式，例如两直线垂直时即可转为向量的数量积为0，利用向量的坐标表示即可．
8．【答案】A
【解析】依题意，设截面在平面A1B1C1D1的投影为四边形B1MD1F，
在平面ABB1A1上的投影为四边形BFA1N，
设DE=t，t∈0，1，
则四边形B1MD1F的周长C1=2t+21-t2+12，
四边形BFA1N的周长为C2=21-t+2t2+12，
则，
又因为1-t2+12+t2+12可以看成0