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2021-2022学年上海市黄浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析）
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这是一份2021-2022学年上海市黄浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析），共21页。
A. 6B. ±6C. 169D. 814
如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应角平分线的比为( )
A. 1：4B. 1：2C. 1：16D. 1:2
已知a，b，c是非零问量，下列条件中不能判定a//b的是( )
A. a//c，b//cB. a=3b
C. |a|=|b|D. a=12c，b=−2c
已知Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=3，那么下列各式中正确的是( )
A. sinA=23B. csA=23C. tanA=23D. ctA=23
如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列各比例式不一定能推得DE//BC的是( )
A. ADBD=AECE
B. ADAB=AEAC
C. ADAB=DEBC
D. ABBD=ACCE
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么点P(b,ac)在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
计算：如果xy=23，那么x−yy=______.
如图，已知AB//CD//EF，它们依次交直线l1、l2于点A，D，F和点B，C，E.如果ADDF=23，BE=20，那么线段BC的长是______.
如图，D、E分别是△ABC的边BA、CA延长线上的点，DE//BC，EA：AC=1：2，如果ED=a，那么向量BC=______(用向量a表示).
在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果ACAB=32，那么∠B=______.
已知一条抛物线经过点(0,1)，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的表达式可以是______(写出一个即可).
如果抛物线y=−x2+bx−1的对称轴是y轴，那么顶点坐标为______.
已知某小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度i=______.
如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，∠ADE=60∘，如果BD=1，那么CE=______.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的中线，若CD=5，BC=6，则cs∠ACD的值是______.
如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，如果△AOE的面积是4，那么四边形OECD的面积是______.
如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于______.
若抛物线y1=ax2+b1x+c1的顶点为A，抛物线y2=−ax2+b2x+c2的顶点为B，且满足顶点A在抛物线y2上，顶点B在抛物线y1上，则称抛物线y1与抛物线y2互为“关联抛物线”，
已知顶点为M的抛物线y=(x−2)2+3与顶点为N的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN与x轴正半轴交于点D，如果tan∠MDO=34，那么顶点为N的抛物线的表达式为______.
计算：tan30∘2cs30∘+ct245∘−sin245∘.
已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(2,−3)、B(5,0)两点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)将该二次函数的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
已知：如图，在△ABC中，DE//BC，AFDF=ADDB.
(1)求证：EF//CD；
(2)如果EFCD=45，AD=15，求DF的长．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，过点D作DF//CB，分别交AC、AB点E、F，且满足AB⋅AF=DF⋅BC.
(1)求证：∠AEF=∠DAF；
(2)求证：AFAB=DE2CD2.
如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37∘方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN.经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．
(1)求AB两地的距离；(结果保留根号)
(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．
(参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37≈0.75.)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−3ax−4a(a<0)与x轴交于A(−1,0)、B两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E.
(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标；
(2)如果MD=158，求抛物线y=ax2−3ax−4a(a<0)的表达式；
(3)在(2)的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC的下方，∠CFB=∠BCO，求点F的坐标．
如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB=∠DAB=90∘，AB2=BC⋅BD，AB=3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，连接DF.
(1)求证：AE=AC；
(2)设BC=x，AEEF=y，求y关于x的函数关系式及其定义域；
(3)当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：两外项之积等于两内项之积，
设它们的比例中项是x，则x2=4×9，
解得x=±6.
故选：B.
本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项，求比例中项根据比例的基本性质进行计算．
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积求解．
2.【答案】A
【解析】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线的比为1：4.
故选：A.
本题主要考查相似三角形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．
利用相似三角形的性质：相似三角形的对应周长的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比，据此作答即可．
3.【答案】C
【解析】解：∵a//c，b//c，
∴a//b，
故A能；
∵a=3b，
∴a//b，
故B能；
∵|a|=|b|，不能判断a与b方向是否相同或相反，
故C不能；
∵a=12c，b=−2c，
∴a=−14b，
∴a//b，
故D能.
故选：C.
本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．
根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．
4.【答案】D
【解析】解：如图：
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=22+32=13，
所以sinA=BCAB=313=31313，csA=ACAB=213=21313，tanA=BCAC=32，ctA=ACBC=23，
所以只有选项D正确，选项A、B、C都错误．
故选：D.
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠C=90∘，则sinA=∠A的对边斜边，csA=∠A的邻边斜边，tanA=∠A的对边∠A的邻边，ctA=∠A的邻边∠A的对边.
根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案．
5.【答案】C
【解析】解：∵ADBD=AEEC，
∴DE//BC，故A正确；
∵ADAB=AEAC，
∴DE//BC，故B正确；
由ADAB=DEBC，不能得出DE//BC，
故C错误；
∵ABDB=ACEC，
∴DE//BC，故D正确.
故选：C.
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
6.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴−b2a>0，即b<0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴ac<0，
∴点P在第三象限．
故选：C.
本题考查二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置确定a，b，c的符号，进而求解．
7.【答案】−13
【解析】解：∵xy=23，
∴x−yy=xy−1=23−1=−13.
故答案为：−13.
本题考查了比例的性质，解题的关键是把x−yy化成xy−1.
先把x−yy化成xy−1，再把xy=23代入进行计算即可得出答案．
8.【答案】8
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴ADDF=BCCE=23，
∴23=BC20−BC，
∴BC=8.
故答案为：8.
本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
9.【答案】2a
【解析】解：∵DE//BC，
∴△DEA∽△BCA，
∴EAAC=EDBC=12，
∴ED=12BC，则BC=2ED，
∵ED=a，
∴BC=2ED=2a.
故答案为：2a.
本题考查了相似三角形的判定与性质，平面向量等知识，熟练掌握相似三角形判定与性质是解题的关键．
根据相似三角形的判定与性质求出BC=2ED即可求解．
10.【答案】60∘
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，ACAB=32，
那么sinB=ACAB=32，
∴∠B=60∘.
故答案为：60∘.
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．
根据∠B的正弦值即可判断．
11.【答案】y=−x2+2x+1(答案不唯一)
【解析】解：∵对称轴右侧的部分是下降的，
∴开口向下，
∵抛物线经过点(0,1)，
∴抛物线的表达式可以是y=−x2+2x+1(答案不唯一).
故答案为：y=−x2+2x+1(答案不唯一).
本题考查了二次函数性质、二次函数图象上点的坐标特征，掌握三个知识点的应用，根据已知得到开口方向及递增情况是解题关键．
根据对称轴右侧的部分是下降的，可得开口向下，再根据抛物线经过点(0,1)，可得解析式．
12.【答案】(0,−1)
【解析】解：∵抛物线y=−x2+bx−1的对称轴是y轴，
∴对称轴x=−b2×(−1)=0，
解得b=0，
∴函数为y=−x2−1，
∴顶点坐标为(0,−1).
故答案为：(0,−1).
本题考查二次函数的性质，掌握对称轴的公式求得b的值是解决问题的关键．
由抛物线的对称轴x=−b−2=0，求得b=0，得到抛物线的顶点式即可．
13.【答案】1：3
【解析】解：∵小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，
∴坡角为30∘，
∴山坡的坡度i=tan30∘=3：3=1：3.
故答案为：1：3.
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的垂直高度h和水平距离l的比是解题的关键．
根据题意求出坡角，根据坡度的概念计算即可．
14.【答案】23
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60∘，AB=BC=3，
∴CD=BC−BD=3−1=2，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADE=60∘，
即∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
而∠B=∠C，
∴△CDE∽△BAD，
∴CEBD=CDAB，即CE1=23，
∴CE=23.
故答案为：23.
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何运算，也考查了等边三角形的性质．
根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60∘，AB=BC=3，再证明∠CDE=∠BAD，然后可判断△CDE∽△BAD，从而利用相似比可求出CE.
15.【答案】45
【解析】解：∵∠ACB=90∘，CD是AB边上的中线，CD=5，
∴CD=AD=12AB，
∴AB=10，
∴AC=AB2−BC2=102−62=8，
∴csA=ACAB=810=45，
∵CD=AD，
∴∠A=∠ACD，
∴cs∠ACD=45.
故答案为：45.
本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，利用等边对等角，把cs∠ACD转化为csA是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，证明CD=AD，求出AB的长，从而得∠CAD=∠ACD，然后进行计算即可解答．
16.【答案】8
【解析】解：在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴AO：OD=2：1，BO：OE=2：1，
∵△AOE的面积是4，
∴△AOB的面积=2×△AOE的面积=8，
∴△BOD的面积=12×△AOB的面积=4，
∴△ABD的面积=△AOB的面积+△BOD的面积=12，
∴△ADC的面积=△ABD的面积=12，
∴四边形OECD的面积=△ADC的面积−△AOE的面积=12−4=8.
故答案为：8.
本题考查了三角形重心的定义及性质，重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，也考查了三角形的面积．
由重心的定义得出点O是△ABC的重心，根据重心的性质求出AO：OD=2：1，BO：OE=2：1，根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△AOB的面积=2×△AOE的面积=8，△BOD的面积=12×△AOB的面积=4，再求出△ABD的面积=△AOB的面积+△BOD的面积=12，△ADC的面积=△ABD的面积=12，进而得到四边形OECD的面积=△ADC的面积−△AOE的面积=8.
17.【答案】5
【解析】解：∵将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，AB=4，AC=5，
∴AD=AB=4，AE=AC=5，∠BAC=∠DAE，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
∴∠C=∠E，DE=BC，
∵∠BDC=∠ADE，
∴△ADE∽△BDC，
∴BCAE=CDDE，
∴BC5=5−4BC，
∴BC=5.
故答案为：5.
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质定理是解题的关键．
根据旋转的性质得到AD=AB=4，AE=AC=5，∠BAC=∠DAE，根据全等三角形的性质得到∠C=∠E，DE=BC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
18.【答案】y=−(x−54)2+5716
【解析】解：∵y=(x−2)2+3，
∴M(2,3)，
如图所示，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，
∴tan∠MDO=MHHD=34，
易得MH=3，
∴HD=4，则OD=6，
∴D(6,0)，
设MD所在直线函数解析式为y=kx+bk≠0，
则2k+b=36k+b=0，
解得：k=−34b=92，
∴MD所在直线函数解析式为y=−34x+92，
∴设N(n,−34n+92)，
∵点N在抛物线y=(x−2)2+3上，
∴(n−2)2+3=−34n+92，
解得：n=54或n=2(舍去)，
∴N(54,5716)，
由互为“关联抛物线”的定义知，点N所在抛物线的二次项系数为−1，
∴顶点为N的抛物线的表达式为y=−(x−54)2+5716.
故答案为：y=−(x−54)2+5716.
本题考查二次函数的性质，掌握“关联抛物线”是解题关键．
根据已知抛物线可以得出顶点M的坐标，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，根据tan∠MDO=34，可以求出点D坐标，再用待定系数法求直线MD的函数解析式，设点N(n,−34n+92)，再把点N坐标代入y=(x−2)2+3，可解出n，得出点N的坐标为(54,5716)，再根据互为“关联抛物线”的定义得出a=−1，然后写出以点N为顶点的函数解析式．
19.【答案】解：tan30∘2cs30∘+ct245∘−sin245∘
=332×32+1−(22)2
=13+1−12
=56.
【解析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
20.【答案】解：(1)把x=2，y=−3；x=5，y=0，分别代入y=x2+bx+c，
得4+2b+c=−325+5b+c=0，
解得b=−6c=5，
∴二次函数的解析式为：y=x2−6x+5；
(2)y=x2−6x+5
=x2−6x+9−4
=(x−3)2−4，
则该二次函数图象的开口向上，顶点坐标为(3,−4)，对称轴是直线x=3.
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的三种形式，掌握这几个知识点的综合应用，用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题关键．
(1)把x=2，y=−3；x=5，y=0，分别代入y=x2+bx+c列出方程组求出解集，写出二次函数的解析式；
(2)用配方法把y=x2−6x+5化为顶点式，并写出对应的二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
21.【答案】解：(1)证明：∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC，
∵AFDF=ADDB，
∴AEEC=AFDF，
∴AEAC=AFAD，
∵∠FAE=∠DAC，
∴△AEF∽△ACD，
∴∠AEF=∠ACD，
∴EF//CD；
(2)∵△AEF∽△ACD，
∴AFAD=EFCD=45，
∴AF=45AD=45×15=12，
∴DF=AD−AF=15−12=3.
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何运算．
(1)先根据平行线分线段成比例定理得到ADDB=AEEC，则AEEC=AFDF，利用比例的性质得到AEAC=AFAD，则可证明△AEF∽△ACD，利用相似三角形的性质得到∠AEF=∠ACD，从而得到结论；
(2)根据相似三角形的性质得到AFAD=EFCD=45，则AF=12，然后计算AD−AF即可．
22.【答案】(1)证明：∵AB//CD，DF//CB，
∴四边形FBCD是平行四边形，
∴DC=FB，DF=CB，
∵AB⋅AF=DF⋅BC，
∴ABDF=BCAF，
∵DF//CB，
∴∠B=∠AFD，
∴△ABC∽△DFA，
∴∠ACB=∠DAF，
∵DF//CB，
∴∠AEF=∠ACB，
∴∠AEF=∠DAF；
(2)证明：∵AB//CD，
∴△DCE∽△FAE，
∴DCAF=DEEF，
∴DECD=EFAF，
∴DE2CD2=EF2AF2，
∵∠AEF=∠DAF，∠AFE=∠DFA，
∴△AFE∽△DFA，
∴EFAF=AFDF，
∴AF2=EF⋅DF，
∴DE2CD2=EF2AF2=EF2EF⋅DF=EFDF=EFBC，
∵DF//CB，
∴△AEF∽△ACB，
∴EFBC=AFAB，
∴AFAB=DE2CD2.
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
(1)根据DF//CB，可得∠B=∠AFD，根据AB⋅AF=DF⋅BC，证明△ABC∽△DFA，进而可以解决问题；
(2)由△DCE∽△FAE，可得DECD=EFAF，所以DE2CD2=EF2AF2，再由△AFE∽△DFA，可得AF2=EF⋅DF，由△AEF∽△ACB，得EFBC=AFAB，进而可得结论．
23.【答案】解：(1)过点A作AC⊥OB于点C，
由题意，得OA=60千米，OB=30千米，∠AOC=37∘，
∴在Rt△AOC中，AC=OAsin37∘≈60×0.60=36(千米)，
OC=OA⋅cs∠AOC≈60×0.8=48(千米)，
∴BC=OC−OB=48−30=18(千米)，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=362+182=185(千米)，
故AB两地的距离为185千米；
(2)如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸，
理由：延长AB交l于点D，
∵∠ABC=∠OBD，∠ACB=∠BOD=90∘，
∴△ABC∽△DBO，
∴BCAC=OBOD，
∴1836=30OD，
∴OD=60(千米)，
∵60>58+1，
∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力，计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
(1)过点A作AC⊥OB于点C.可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答；
(2)延长AB交l于点D，比较OD与OM+MN的大小即可得出结论．
24.【答案】解：(1)∵抛物线解析式为y=ax2−3ax−4a(a<0)，
∴抛物线的的对称轴是直线x=−−3a2a=32，
∵抛物线y=ax2−3ax−4a(a<0)与x轴交于A(−1,0)、B两点，
∴点B(4,0)；
(2)当x=32时，y=94a−92a−4a=−254a，
∴点M(32,−254a)，
∵抛物线y=ax2−3ax−4a(a<0)，与y轴交于点C，
∴点C(0,−4a)，
又∵点B(4,0)，
∴直线BC的解析式为y=ax−4a，
当x=32时，y=32a−4a=−52a，
∴点D(32,−52a)，
∵MD=158，
∴158=−254a+52a，
∴a=−12，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2；
(3)如图，
易得点B(4,0)，点A(−1,0)，点C(0,2)，
∴OA=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AOOC=OCOB，
又∵∠AOC=∠BOC=90∘，
∴△AOC∽△COB，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠CFB=∠BCO，
∴∠CAO=∠CFB，
∴点A，点C，点B，点F四点共圆，
∵∠CAO+∠ACO=90∘，
∴∠BCO+∠ACO=90∘，
∴∠ACB=90∘，
∴AB是直径，
∴点E是圆心，
∴EF=AE=BE=52，
∴点F(32,−52).
【解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
(1)先求出抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可求点B坐标；
(2)先求出点M，点D坐标，由MD=158可列等式，可求a的值，即可求解；
(3)通过证明△AOC∽△COB，可得∠CAO=∠BCO，可证点A，点C，点B，点F四点共圆，即可求解．
25.【答案】解：(1)证明：∵AB2=BC⋅BD，
∴ABBD=BCAB，
∴AB2BD2=BC2AB2，
∴AB2BD2−AB2=BC2AB2−BC2，
∵∠ACB=∠DAB=90∘，
∴AB2AD2=BC2AC2，
∴ABAD=BCAC，
∵∠C=∠BAD=90∘，
∴△ABC∽△DBA，
∴∠ADB=∠BAC，
∵∠BAD=90∘，
∴∠ADB+∠ABD=90∘，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90∘，
∴∠EAB+∠ABD=90∘，
∴∠BAE=∠ADB，
∴∠BAE=∠BAC，
∵∠AEB=∠C=90∘，AB=AB
∴△BAE≌△BAC(AAS)，
∴AE=AC；
(2)如图1，
作AG//BE交BC的延长线于点G，作GH⊥AB交AB于点H，
∴△FBE∽△FGA，∠ABE=∠BAG，
∴AFEF=AGBE，
由(1)△BAE≌△BAC(AAS)得，∠EAB=∠BAC，BC=BE，∠ABE=∠ABC，
∴∠ABC=∠BAG，
∴AG=BG，
∴△BAG是等腰三角形，
∴BH=AH=12AB=32，
∵cs∠ABC=BCAB=BHBG，
∴x3=32BG，
∴BG=92x，
∴AG=92x，
∴AFEF=92xx，
∴AFEF=92x2，
∴AF−EFEF=9−2x22x2，
∴AEEF=9−2x22x2，
∴y=9−2x22x2(0(3)如图2，
当△ACB∽△DEF时，∠EDF=∠BAC，
由(1)知∠ADB=∠BAC，
∴∠EDF=∠ADE，
∵∠DEF=∠DEA，DE=DE，
在△DEF和△DEA中，
∠FDE=∠ADEDE=DE∠DEF=∠DEA，
∴△DEF≌△DEA(ASA)，
∴EF=AE，
∴y=1，
∴9−2x22x2=1，
∴x1=32，x2=−32(舍去)，
∴BC=32；
如图3，
当△ACB∽△FED时，∠BAC=∠DFE，
∵∠BAE=∠BAC，
∴∠DFE=∠BAE，
∴DF//AB，
∴AEEF=BEDE，
∵∠AEB=∠DAB=90∘，∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴ABBD=BEAB，
∴3BD=x3，
∴BD=9x，
∴DE=BD−BE=9x−x，
∴AEEF=9−2x22x2=x9x−x，
∴x1=3，x2=−3(舍去)，
∴BC=3.
综上所述：BC=32或3.
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线和正确分类，计算能力也很关键．
(1)将AB2=BC⋅BD转化为ABBD=BCAB，进而根据勾股定理和比例性质推出ABAD=BCAC，进而△ABC∽△DBA，进一步证明△BAE≌△BAC，从而命题得证；
(2)作AG//BE交BC的延长线于点G，作GH⊥AB交AB于点H，推出△FBE∽△FGA和cs∠ABC=BCAB=BHBG，再根据比例性质求得结果；
(3)两种情形：△ACB∽△DEF和△ACB∽△FED，当△ACB∽△DEF时，由y=1求得结果；当△ACB∽△FED时，推出DF//AB，从而AEEF=BEDE，根据△ABE∽△DBA，推出BD=9x，进而可求得结果．
A. 6B. ±6C. 169D. 814
如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应角平分线的比为( )
A. 1：4B. 1：2C. 1：16D. 1:2
已知a，b，c是非零问量，下列条件中不能判定a//b的是( )
A. a//c，b//cB. a=3b
C. |a|=|b|D. a=12c，b=−2c
已知Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=3，那么下列各式中正确的是( )
A. sinA=23B. csA=23C. tanA=23D. ctA=23
如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列各比例式不一定能推得DE//BC的是( )
A. ADBD=AECE
B. ADAB=AEAC
C. ADAB=DEBC
D. ABBD=ACCE
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么点P(b,ac)在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
计算：如果xy=23，那么x−yy=______.
如图，已知AB//CD//EF，它们依次交直线l1、l2于点A，D，F和点B，C，E.如果ADDF=23，BE=20，那么线段BC的长是______.
如图，D、E分别是△ABC的边BA、CA延长线上的点，DE//BC，EA：AC=1：2，如果ED=a，那么向量BC=______(用向量a表示).
在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果ACAB=32，那么∠B=______.
已知一条抛物线经过点(0,1)，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的表达式可以是______(写出一个即可).
如果抛物线y=−x2+bx−1的对称轴是y轴，那么顶点坐标为______.
已知某小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度i=______.
如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，∠ADE=60∘，如果BD=1，那么CE=______.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的中线，若CD=5，BC=6，则cs∠ACD的值是______.
如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，如果△AOE的面积是4，那么四边形OECD的面积是______.
如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于______.
若抛物线y1=ax2+b1x+c1的顶点为A，抛物线y2=−ax2+b2x+c2的顶点为B，且满足顶点A在抛物线y2上，顶点B在抛物线y1上，则称抛物线y1与抛物线y2互为“关联抛物线”，
已知顶点为M的抛物线y=(x−2)2+3与顶点为N的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN与x轴正半轴交于点D，如果tan∠MDO=34，那么顶点为N的抛物线的表达式为______.
计算：tan30∘2cs30∘+ct245∘−sin245∘.
已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(2,−3)、B(5,0)两点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)将该二次函数的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
已知：如图，在△ABC中，DE//BC，AFDF=ADDB.
(1)求证：EF//CD；
(2)如果EFCD=45，AD=15，求DF的长．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，过点D作DF//CB，分别交AC、AB点E、F，且满足AB⋅AF=DF⋅BC.
(1)求证：∠AEF=∠DAF；
(2)求证：AFAB=DE2CD2.
如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37∘方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN.经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．
(1)求AB两地的距离；(结果保留根号)
(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．
(参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37≈0.75.)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−3ax−4a(a<0)与x轴交于A(−1,0)、B两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E.
(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标；
(2)如果MD=158，求抛物线y=ax2−3ax−4a(a<0)的表达式；
(3)在(2)的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC的下方，∠CFB=∠BCO，求点F的坐标．
如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB=∠DAB=90∘，AB2=BC⋅BD，AB=3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，连接DF.
(1)求证：AE=AC；
(2)设BC=x，AEEF=y，求y关于x的函数关系式及其定义域；
(3)当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：两外项之积等于两内项之积，
设它们的比例中项是x，则x2=4×9，
解得x=±6.
故选：B.
本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项，求比例中项根据比例的基本性质进行计算．
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积求解．
2.【答案】A
【解析】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线的比为1：4.
故选：A.
本题主要考查相似三角形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．
利用相似三角形的性质：相似三角形的对应周长的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比，据此作答即可．
3.【答案】C
【解析】解：∵a//c，b//c，
∴a//b，
故A能；
∵a=3b，
∴a//b，
故B能；
∵|a|=|b|，不能判断a与b方向是否相同或相反，
故C不能；
∵a=12c，b=−2c，
∴a=−14b，
∴a//b，
故D能.
故选：C.
本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．
根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．
4.【答案】D
【解析】解：如图：
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=22+32=13，
所以sinA=BCAB=313=31313，csA=ACAB=213=21313，tanA=BCAC=32，ctA=ACBC=23，
所以只有选项D正确，选项A、B、C都错误．
故选：D.
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠C=90∘，则sinA=∠A的对边斜边，csA=∠A的邻边斜边，tanA=∠A的对边∠A的邻边，ctA=∠A的邻边∠A的对边.
根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案．
5.【答案】C
【解析】解：∵ADBD=AEEC，
∴DE//BC，故A正确；
∵ADAB=AEAC，
∴DE//BC，故B正确；
由ADAB=DEBC，不能得出DE//BC，
故C错误；
∵ABDB=ACEC，
∴DE//BC，故D正确.
故选：C.
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
6.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴−b2a>0，即b<0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴ac<0，
∴点P在第三象限．
故选：C.
本题考查二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置确定a，b，c的符号，进而求解．
7.【答案】−13
【解析】解：∵xy=23，
∴x−yy=xy−1=23−1=−13.
故答案为：−13.
本题考查了比例的性质，解题的关键是把x−yy化成xy−1.
先把x−yy化成xy−1，再把xy=23代入进行计算即可得出答案．
8.【答案】8
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴ADDF=BCCE=23，
∴23=BC20−BC，
∴BC=8.
故答案为：8.
本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
9.【答案】2a
【解析】解：∵DE//BC，
∴△DEA∽△BCA，
∴EAAC=EDBC=12，
∴ED=12BC，则BC=2ED，
∵ED=a，
∴BC=2ED=2a.
故答案为：2a.
本题考查了相似三角形的判定与性质，平面向量等知识，熟练掌握相似三角形判定与性质是解题的关键．
根据相似三角形的判定与性质求出BC=2ED即可求解．
10.【答案】60∘
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，ACAB=32，
那么sinB=ACAB=32，
∴∠B=60∘.
故答案为：60∘.
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．
根据∠B的正弦值即可判断．
11.【答案】y=−x2+2x+1(答案不唯一)
【解析】解：∵对称轴右侧的部分是下降的，
∴开口向下，
∵抛物线经过点(0,1)，
∴抛物线的表达式可以是y=−x2+2x+1(答案不唯一).
故答案为：y=−x2+2x+1(答案不唯一).
本题考查了二次函数性质、二次函数图象上点的坐标特征，掌握三个知识点的应用，根据已知得到开口方向及递增情况是解题关键．
根据对称轴右侧的部分是下降的，可得开口向下，再根据抛物线经过点(0,1)，可得解析式．
12.【答案】(0,−1)
【解析】解：∵抛物线y=−x2+bx−1的对称轴是y轴，
∴对称轴x=−b2×(−1)=0，
解得b=0，
∴函数为y=−x2−1，
∴顶点坐标为(0,−1).
故答案为：(0,−1).
本题考查二次函数的性质，掌握对称轴的公式求得b的值是解决问题的关键．
由抛物线的对称轴x=−b−2=0，求得b=0，得到抛物线的顶点式即可．
13.【答案】1：3
【解析】解：∵小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，
∴坡角为30∘，
∴山坡的坡度i=tan30∘=3：3=1：3.
故答案为：1：3.
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的垂直高度h和水平距离l的比是解题的关键．
根据题意求出坡角，根据坡度的概念计算即可．
14.【答案】23
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60∘，AB=BC=3，
∴CD=BC−BD=3−1=2，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADE=60∘，
即∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
而∠B=∠C，
∴△CDE∽△BAD，
∴CEBD=CDAB，即CE1=23，
∴CE=23.
故答案为：23.
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何运算，也考查了等边三角形的性质．
根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60∘，AB=BC=3，再证明∠CDE=∠BAD，然后可判断△CDE∽△BAD，从而利用相似比可求出CE.
15.【答案】45
【解析】解：∵∠ACB=90∘，CD是AB边上的中线，CD=5，
∴CD=AD=12AB，
∴AB=10，
∴AC=AB2−BC2=102−62=8，
∴csA=ACAB=810=45，
∵CD=AD，
∴∠A=∠ACD，
∴cs∠ACD=45.
故答案为：45.
本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，利用等边对等角，把cs∠ACD转化为csA是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，证明CD=AD，求出AB的长，从而得∠CAD=∠ACD，然后进行计算即可解答．
16.【答案】8
【解析】解：在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴AO：OD=2：1，BO：OE=2：1，
∵△AOE的面积是4，
∴△AOB的面积=2×△AOE的面积=8，
∴△BOD的面积=12×△AOB的面积=4，
∴△ABD的面积=△AOB的面积+△BOD的面积=12，
∴△ADC的面积=△ABD的面积=12，
∴四边形OECD的面积=△ADC的面积−△AOE的面积=12−4=8.
故答案为：8.
本题考查了三角形重心的定义及性质，重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，也考查了三角形的面积．
由重心的定义得出点O是△ABC的重心，根据重心的性质求出AO：OD=2：1，BO：OE=2：1，根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△AOB的面积=2×△AOE的面积=8，△BOD的面积=12×△AOB的面积=4，再求出△ABD的面积=△AOB的面积+△BOD的面积=12，△ADC的面积=△ABD的面积=12，进而得到四边形OECD的面积=△ADC的面积−△AOE的面积=8.
17.【答案】5
【解析】解：∵将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，AB=4，AC=5，
∴AD=AB=4，AE=AC=5，∠BAC=∠DAE，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
∴∠C=∠E，DE=BC，
∵∠BDC=∠ADE，
∴△ADE∽△BDC，
∴BCAE=CDDE，
∴BC5=5−4BC，
∴BC=5.
故答案为：5.
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质定理是解题的关键．
根据旋转的性质得到AD=AB=4，AE=AC=5，∠BAC=∠DAE，根据全等三角形的性质得到∠C=∠E，DE=BC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
18.【答案】y=−(x−54)2+5716
【解析】解：∵y=(x−2)2+3，
∴M(2,3)，
如图所示，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，
∴tan∠MDO=MHHD=34，
易得MH=3，
∴HD=4，则OD=6，
∴D(6,0)，
设MD所在直线函数解析式为y=kx+bk≠0，
则2k+b=36k+b=0，
解得：k=−34b=92，
∴MD所在直线函数解析式为y=−34x+92，
∴设N(n,−34n+92)，
∵点N在抛物线y=(x−2)2+3上，
∴(n−2)2+3=−34n+92，
解得：n=54或n=2(舍去)，
∴N(54,5716)，
由互为“关联抛物线”的定义知，点N所在抛物线的二次项系数为−1，
∴顶点为N的抛物线的表达式为y=−(x−54)2+5716.
故答案为：y=−(x−54)2+5716.
本题考查二次函数的性质，掌握“关联抛物线”是解题关键．
根据已知抛物线可以得出顶点M的坐标，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，根据tan∠MDO=34，可以求出点D坐标，再用待定系数法求直线MD的函数解析式，设点N(n,−34n+92)，再把点N坐标代入y=(x−2)2+3，可解出n，得出点N的坐标为(54,5716)，再根据互为“关联抛物线”的定义得出a=−1，然后写出以点N为顶点的函数解析式．
19.【答案】解：tan30∘2cs30∘+ct245∘−sin245∘
=332×32+1−(22)2
=13+1−12
=56.
【解析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
20.【答案】解：(1)把x=2，y=−3；x=5，y=0，分别代入y=x2+bx+c，
得4+2b+c=−325+5b+c=0，
解得b=−6c=5，
∴二次函数的解析式为：y=x2−6x+5；
(2)y=x2−6x+5
=x2−6x+9−4
=(x−3)2−4，
则该二次函数图象的开口向上，顶点坐标为(3,−4)，对称轴是直线x=3.
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的三种形式，掌握这几个知识点的综合应用，用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题关键．
(1)把x=2，y=−3；x=5，y=0，分别代入y=x2+bx+c列出方程组求出解集，写出二次函数的解析式；
(2)用配方法把y=x2−6x+5化为顶点式，并写出对应的二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
21.【答案】解：(1)证明：∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC，
∵AFDF=ADDB，
∴AEEC=AFDF，
∴AEAC=AFAD，
∵∠FAE=∠DAC，
∴△AEF∽△ACD，
∴∠AEF=∠ACD，
∴EF//CD；
(2)∵△AEF∽△ACD，
∴AFAD=EFCD=45，
∴AF=45AD=45×15=12，
∴DF=AD−AF=15−12=3.
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何运算．
(1)先根据平行线分线段成比例定理得到ADDB=AEEC，则AEEC=AFDF，利用比例的性质得到AEAC=AFAD，则可证明△AEF∽△ACD，利用相似三角形的性质得到∠AEF=∠ACD，从而得到结论；
(2)根据相似三角形的性质得到AFAD=EFCD=45，则AF=12，然后计算AD−AF即可．
22.【答案】(1)证明：∵AB//CD，DF//CB，
∴四边形FBCD是平行四边形，
∴DC=FB，DF=CB，
∵AB⋅AF=DF⋅BC，
∴ABDF=BCAF，
∵DF//CB，
∴∠B=∠AFD，
∴△ABC∽△DFA，
∴∠ACB=∠DAF，
∵DF//CB，
∴∠AEF=∠ACB，
∴∠AEF=∠DAF；
(2)证明：∵AB//CD，
∴△DCE∽△FAE，
∴DCAF=DEEF，
∴DECD=EFAF，
∴DE2CD2=EF2AF2，
∵∠AEF=∠DAF，∠AFE=∠DFA，
∴△AFE∽△DFA，
∴EFAF=AFDF，
∴AF2=EF⋅DF，
∴DE2CD2=EF2AF2=EF2EF⋅DF=EFDF=EFBC，
∵DF//CB，
∴△AEF∽△ACB，
∴EFBC=AFAB，
∴AFAB=DE2CD2.
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
(1)根据DF//CB，可得∠B=∠AFD，根据AB⋅AF=DF⋅BC，证明△ABC∽△DFA，进而可以解决问题；
(2)由△DCE∽△FAE，可得DECD=EFAF，所以DE2CD2=EF2AF2，再由△AFE∽△DFA，可得AF2=EF⋅DF，由△AEF∽△ACB，得EFBC=AFAB，进而可得结论．
23.【答案】解：(1)过点A作AC⊥OB于点C，
由题意，得OA=60千米，OB=30千米，∠AOC=37∘，
∴在Rt△AOC中，AC=OAsin37∘≈60×0.60=36(千米)，
OC=OA⋅cs∠AOC≈60×0.8=48(千米)，
∴BC=OC−OB=48−30=18(千米)，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=362+182=185(千米)，
故AB两地的距离为185千米；
(2)如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸，
理由：延长AB交l于点D，
∵∠ABC=∠OBD，∠ACB=∠BOD=90∘，
∴△ABC∽△DBO，
∴BCAC=OBOD，
∴1836=30OD，
∴OD=60(千米)，
∵60>58+1，
∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力，计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
(1)过点A作AC⊥OB于点C.可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答；
(2)延长AB交l于点D，比较OD与OM+MN的大小即可得出结论．
24.【答案】解：(1)∵抛物线解析式为y=ax2−3ax−4a(a<0)，
∴抛物线的的对称轴是直线x=−−3a2a=32，
∵抛物线y=ax2−3ax−4a(a<0)与x轴交于A(−1,0)、B两点，
∴点B(4,0)；
(2)当x=32时，y=94a−92a−4a=−254a，
∴点M(32,−254a)，
∵抛物线y=ax2−3ax−4a(a<0)，与y轴交于点C，
∴点C(0,−4a)，
又∵点B(4,0)，
∴直线BC的解析式为y=ax−4a，
当x=32时，y=32a−4a=−52a，
∴点D(32,−52a)，
∵MD=158，
∴158=−254a+52a，
∴a=−12，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2；
(3)如图，
易得点B(4,0)，点A(−1,0)，点C(0,2)，
∴OA=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AOOC=OCOB，
又∵∠AOC=∠BOC=90∘，
∴△AOC∽△COB，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠CFB=∠BCO，
∴∠CAO=∠CFB，
∴点A，点C，点B，点F四点共圆，
∵∠CAO+∠ACO=90∘，
∴∠BCO+∠ACO=90∘，
∴∠ACB=90∘，
∴AB是直径，
∴点E是圆心，
∴EF=AE=BE=52，
∴点F(32,−52).
【解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
(1)先求出抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可求点B坐标；
(2)先求出点M，点D坐标，由MD=158可列等式，可求a的值，即可求解；
(3)通过证明△AOC∽△COB，可得∠CAO=∠BCO，可证点A，点C，点B，点F四点共圆，即可求解．
25.【答案】解：(1)证明：∵AB2=BC⋅BD，
∴ABBD=BCAB，
∴AB2BD2=BC2AB2，
∴AB2BD2−AB2=BC2AB2−BC2，
∵∠ACB=∠DAB=90∘，
∴AB2AD2=BC2AC2，
∴ABAD=BCAC，
∵∠C=∠BAD=90∘，
∴△ABC∽△DBA，
∴∠ADB=∠BAC，
∵∠BAD=90∘，
∴∠ADB+∠ABD=90∘，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90∘，
∴∠EAB+∠ABD=90∘，
∴∠BAE=∠ADB，
∴∠BAE=∠BAC，
∵∠AEB=∠C=90∘，AB=AB
∴△BAE≌△BAC(AAS)，
∴AE=AC；
(2)如图1，
作AG//BE交BC的延长线于点G，作GH⊥AB交AB于点H，
∴△FBE∽△FGA，∠ABE=∠BAG，
∴AFEF=AGBE，
由(1)△BAE≌△BAC(AAS)得，∠EAB=∠BAC，BC=BE，∠ABE=∠ABC，
∴∠ABC=∠BAG，
∴AG=BG，
∴△BAG是等腰三角形，
∴BH=AH=12AB=32，
∵cs∠ABC=BCAB=BHBG，
∴x3=32BG，
∴BG=92x，
∴AG=92x，
∴AFEF=92xx，
∴AFEF=92x2，
∴AF−EFEF=9−2x22x2，
∴AEEF=9−2x22x2，
∴y=9−2x22x2(0
当△ACB∽△DEF时，∠EDF=∠BAC，
由(1)知∠ADB=∠BAC，
∴∠EDF=∠ADE，
∵∠DEF=∠DEA，DE=DE，
在△DEF和△DEA中，
∠FDE=∠ADEDE=DE∠DEF=∠DEA，
∴△DEF≌△DEA(ASA)，
∴EF=AE，
∴y=1，
∴9−2x22x2=1，
∴x1=32，x2=−32(舍去)，
∴BC=32；
如图3，
当△ACB∽△FED时，∠BAC=∠DFE，
∵∠BAE=∠BAC，
∴∠DFE=∠BAE，
∴DF//AB，
∴AEEF=BEDE，
∵∠AEB=∠DAB=90∘，∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴ABBD=BEAB，
∴3BD=x3，
∴BD=9x，
∴DE=BD−BE=9x−x，
∴AEEF=9−2x22x2=x9x−x，
∴x1=3，x2=−3(舍去)，
∴BC=3.
综上所述：BC=32或3.
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线和正确分类，计算能力也很关键．
(1)将AB2=BC⋅BD转化为ABBD=BCAB，进而根据勾股定理和比例性质推出ABAD=BCAC，进而△ABC∽△DBA，进一步证明△BAE≌△BAC，从而命题得证；
(2)作AG//BE交BC的延长线于点G，作GH⊥AB交AB于点H，推出△FBE∽△FGA和cs∠ABC=BCAB=BHBG，再根据比例性质求得结果；
(3)两种情形：△ACB∽△DEF和△ACB∽△FED，当△ACB∽△DEF时，由y=1求得结果；当△ACB∽△FED时，推出DF//AB，从而AEEF=BEDE，根据△ABE∽△DBA，推出BD=9x，进而可求得结果．
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