2022年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（理科）（一）教师版

2022年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（理科）（一）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

故选：．

2．（5分）已知集合，0，1，2，，，那么集合　　

A．，0，1， B．，1，2， C．，1， D．，0，1，2，

故选：．

3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是　　

A． B． C． D．

故选：．

4．（5分）《几何原本》又称《原本》，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年，该书据克拉维斯的拉丁文本《欧几里得原本十五卷》译出．前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章内容，几乎包含现今平面几何的所有内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里面任选3章进行选修并计人学分．则数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为　　

A． B． C． D．

故选：．

5．（5分）的展开式中，的系数为　　

A．10 B． C．20 D．

故选：．

6．（5分）已知等差数列的公差为，其前项和为．若，，成等比数列，则一定有　　

A． B． C． D．

故选：．

7．（5分）已知角终边上一点，那么　　

A． B． C．1 D．0

故选：．

8．（5分）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为　　

A． B． C． D．

故选：．

9．（5分）如图所示，已知是双曲线的右焦点，是坐标原点，、是的两条渐近线，在、上分别有点、（不同于坐标原点，若四边形为菱形，且其面积为．则双曲线的离心率为　　

A．3 B．2 C． D．

故选：．

10．（5分）如图，在直二面角中，、是直线上两点，点，点，且，，，，，那么直线与直线所成角的余弦值为　　

A． B．C． D．

故选：．

11．（5分）已知实数，，满足，若不等式对任意的正实数、恒成立，那么实数的最大值为　　

A． B． C．3 D．

故选：．

12．（5分）设实数，那么、、的大小关系为　　

A． B． C． D．

故选：．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）经统计，某校高三学生期末数学成绩服从正态分布，，且，则从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率为 　　．

故答案为：0.35．

14．（5分）已知向量的夹角为，且，则向量与向量的夹角等于 　　．

故答案为：．

15．（5分）已知在平面直角坐标系中，直线即是抛物线的切线，又是圆的切线，则　　．

故答案为：．

16．（5分）已知数列的通项公式是，数列的前项和为，且．那么　　．

故答案为：．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．（12分）在中，，，分别是角，，所对的边，满足．

（Ⅰ）求角大小；

（Ⅱ）求的取值范围．

【解答】解：，

由正弦定理知：，

即，

，，，又，．

（Ⅱ），

，且．

，

，，，

，

故的取值范围是．

18．（12分）如图，已知三棱柱中，侧面底面，，为等腰直角三角形，．

（Ⅰ）若为的中点，求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】证明：为等腰直角三角形，，若为的中点，，

又平面平面，平面平面．平面，又平面，．

（Ⅱ）解：为等腰直角三角形，，，

又，四边形为菱形，△为正三角形，，

又平面平面，平面平面，平面，建立如图所示的空间直角坐标系，，

．

又，

设是平面的一个法向量，则有即

令，则．

设直线与平面所成的角为，

则．

19．（12分）为丰富社区群众的文化生活，某社区利用周末举办羽毛球比赛．经过抽签，甲乙两人进行比赛，比赛实行三局两胜制（若某人胜了两局则为获胜方，比赛结束）．根据以往数据统计，甲乙两人比赛时，甲每局获胜的概率为，每局比赛相互独立．

（Ⅰ）求甲获胜的概率．

（Ⅱ）比赛规则规定：比赛实行积分制，胜一局得3分，负一局得1分；若连胜两局，则还可获得5分的加分．用表示甲乙比赛结束后甲获得的积分．求的分布列和数学期望．

【解答】解：甲乙两人比赛时，甲每局获胜的概率为，每局比赛相互独立，

甲获胜的概率．

由题意可得，所有可能取值为2，5，7，11，12，

，，

，，，

故的分布列为：

故．

20．（12分）如图，已知椭圆分别是长轴的左、右两个端点，是右焦点．椭圆过点，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线上有两个点，，且，连接交椭圆于另一点（不同于点，证明：、、三点共线．

【解答】解：（1）由题意可知：，．，，．

椭圆的方程为．

（Ⅱ）证明：如图，设，，

由于，因此，

，，

，直线的斜率为，直线的方程为，

代入椭圆方程得：，

整理得：，

设，，，，

代入直线的方程得，，

直线的斜率为，

直线的斜率为，

，

，

所以、、三点共线．

21．（12分）已知函数．

（Ⅰ）当时，讨论函数在区间上的单调性；

（Ⅱ）当时，证明．

【解答】解：（Ⅰ），函数的定义域，

，

设，

，函数是开口向下的抛物线，

又△．

①当时，△，

又，，即，

因此在上单调递减．

②当时，△，有两个不等实根，

设两个根为，，且．

，可知，，

解，得，

因此在上单调递减，

在上单调递增，在上单调递减．

综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．

（Ⅱ）证明：要证明成立，即就是证明成立．

当时，由上可知，函数在上递减，在上递增，

因此函数的最小值为．

设，．

因此，当时，，在区间上递增，

当时，，在区间上递减，

所以的最大值为，

因此对任意，总有，

故．

（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设点的直角坐标为，为上的动点，点是线段的中点，求点轨迹的极坐标方程．

【解答】解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为，

，

，化为标准方程为．

（Ⅱ）设，

又，由中点坐标公式可得，

化为参数方程为为参数），

化为普通方程为，

化为极坐标方程为．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数的最小值为．

（1）求的值；

（2）设，，均为正实数，，求的最小值．

【解答】解：（1）当时，，，，

当时，，，，

当时，，，，

所以的最小值为3，即．

（2）因为，所以，

由柯西不等式得，

所以，当且仅当，即，时取等号，

所以的最小值为1．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/20 22:21:12；用户：邵国海；邮箱：shg0505@163.com；学号：19638118