【备战2023高考】数学专题讲与练-考向19《三角函数的图象和性质》（重点）全能练（新高考地区专用）

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考向19三角函数的图象和性质

【2022·全国·高考真题】记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（       ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
【2022·全国·高考真题（理）】设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．

1．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）或，常见方法有：
（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函；
（2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；
（3）用两角和、差公式或辅助角公式将已给函数化成同函．
2．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述或的形式，有时会化简为二次函数型：或，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意的取值范围．
若将已给函数化简为更高次的函数，如，则换元后可通过导数求解．如：解析式中同时含有和，令，由关系式得到关于的函数表达式．
3．求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型：
（1），令，则；
（2），引入辅助角，化为；
（3），令，则；
（4），令，
则，所以；
（5），根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．

关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
函数



图象



定义域



值域



周期性



奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间



递减区间


无
对称中心



对称轴方程


无
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）
注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；
3．与的图像与性质
（1）最小正周期：．
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设．
①对于，

②对于，

（4）对称轴与对称中心．
假设．
①对于，

②对于，

正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．
（5）单调性．
假设．
①对于，

②对于，



1．（2022·上海青浦·二模）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，因为，所以，因为，所以.
正弦函数在一个周期内，要满足上式，则，
所以，所以的取值范围是.
故选：D
2．（2022·上海松江·二模）设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知，则，
因为，所以
所以
易知的最小值为.
故选：B
3．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数的图象与直线的两相邻交点间的距离为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正切型函数的性质可知，函数的最小正周期为，
因此，.
故选：B.
4．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数图象的两个相邻最高点间的距离为，则在下列区间中单调递增的区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为图象的两个相邻最高点间的距离为，
所以，解得，.
，解得，.
当，.
故选：A
5．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在上的函数，若的最大值为，则的取值最多有（       ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】∵，则
若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，根据正弦函数的单调性可知，，解得；
②当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，所以，结合函数与在上的图像可知，存在唯一的，使得.
综上可知，若的最大值为，则的取值最多有2个.
故选：A．



1．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数，直线为图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（       ）
A． B．在区间单调递减
C．在区间上的最大值为2 D．为偶函数，则
【答案】D
【解析】解：因为函数，直线为图象的一条对称轴，
所以，所以，
又，所以，故A不正确；
所以，
对于B，当时，，所以在区间单调递增，故B不正确；
对于C，当时，，在区间上的最大值为，故C不正确；
对于D，若为偶函数，且，
所以，解得，故D正确，
故选：D.
2．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）函数在单调递增，在单调递减，则的值为（       ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】依题意得：，
，
又在单调递减，，
解得：，，
故选：
3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若函数f(x)在上单调递减，则实数ω的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数，
由函数f(x)在上单调递减，且，
得，，解，.
又因为ω>0，，所以k＝0，
所以实数ω的取值范围是.
故选：B
4．（2022·上海长宁·二模）已知函数满足：． 若函数在区间上单调，且满足，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
因为，所以当时，取得最大值，即
所以，即
因为，所以的中点是函数的对称中心，
由，得
所以，
所以
易知，当时取得最小值.
故选：C
5．（2022·青海·模拟预测（理））若，分别是函数的零点和极值点，且在区间上，函数存在唯一的极大值点，使得，则下列数值中，的可能取值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设函数的最小正周期为T,由题意得则其中在区间上，
函数存在唯一的极大值点，使得，
所以解得即解得
对于D.若，则由且可知可使成立，
当时当或时，都成立，
故不符合；
对于C. 若，则，且可知
可使成立，当时，当时，存在唯一的极大值点，使得，故符合条件；
对于B. 若，则由且可知
可使成立，当时，
当或时，都成立，故不符合；
对于A. 若，则由 且可知
可使成立，当时，，
当或时，都成立，故不符合；
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（       ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
7．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．函数的最小正周期为 B．的最大值为
C．的图像关于直线对称 D．将的图像向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数
【答案】BD
【解析】，故的最小正周期为，最大值为，故A错误，B正确；
对称轴方程为，，即，，当时，不为整数，故C错误；
对于选项D，将的图像向右平移个单位长度后得到，
然后将此图像向上平移个单位长度，
得到函数的图像，是一个奇函数，故D正确.
故选：BD.
8．（多选题）（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．直线为函数f(x)图像的一条对称轴
B．函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移后得到
C．函数f(x)在[－，]上单调递增
D．函数的值域为[－2，]
【答案】AD
【解析】解：对于A：，选项A正确；
对于B：函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，得到，再向左平移后得到，选项B错误；
对于C：当时，，其中，不妨令为锐角，
当即，时，f(x)单调递增，
当，即时，f(x)单调递减，选项C错误；
对于D：2π是函数的周期，可取一个周期[－，]探究f(x)值域．
而函数f(x)的对称轴为：．
因此：可取区间[－，]探究f(x)值域，
当时，，其中，
即：，选项D正确．
故选：AD.
9．（多选题）（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．
B．的图象关于原点对称
C．若，则
D．对，，，有成立
【答案】ACD
【解析】∵函数的周期，所以恒成立，
故A正确；
又，所以，，所以，
所以的图象不关于原点对称，故B错误；
当时，，所以函数在上单调递增，故C正确；
因为 ，所以，故，
，又，即，
所以对有成立，故D正确.
故选：ACD.
10．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知函数（a为常数，）的图像关于直线对称，函数，则下面说法正确的是（     ）
A．将的图像向左平移个单位可以得到的图像
B．的图像关于点对称
C．在上单调递减
D．的最大值为1
【答案】ABC
【解析】由题意，，
，

，
将的图像向左平移个单位所得图像的解析式为，A正确；
，B正确；
时，，此时是减函数，C正确；
的最大值为，D错误．
故选：ABC．
11．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知函数，且方程在内有实数根，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】，
方程在内有实数根，即在内有实数根，
，，得，即a的取值范围是，
故答案为：
12．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数与直线的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是___________.
【答案】且
【解析】根据正弦型函数的周期性，当，则：
若，最近的另一个值为，
所以，而，可得.
故此函数的最小正周期是，则函数的周期为且.
故答案为：且
13．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．
【答案】17
【解析】由，且在上有最大值，没有最小值，可得， 所以.
由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，,
故答案为：17
14．（2022·北京·人大附中三模）已知函数，给出下列四个结论：
①是偶函数；
②有4个零点；
③的最小值为；
④的解集为.
其中，所有正确结论的序号为___________.
【答案】①②
【解析】对于①：因为函数的定义域为，且，所以是偶函数.故①正确；
对于②：在，令，解得：，，，.所以有4个零点.故②正确；
对于③：因为是偶函数，所以只需研究的情况. 如图示，作出（）和的图像如图所示：

在上，有，所以，即的最小值大于.故③错误；
对于④：当时，可化为：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为.故④不正确.
故答案为：①②
15．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】如下图，作出简图，由题意知，，设函数的最小正周期为，

因为，则，，
结合有且，解得．
故答案为：
16．（2022·江西师大附中三模（理））定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，
当时，，
因为函数有零点，所以，解得，
当时，，
因为值域，所以，解得，
综上，.
故答案为：.
17．（2022·陕西·西安中学一模（理））函数的所有零点之和为_________.
【答案】
【解析】由，可得，令，
可得函数与的图象都关于直线的对称，
在同一坐标系内作出函数与的图象，如图所示，
由图象可得，函数与的图象有6个公共点，
其横坐标依次为，
这6个点两两关于直线的对称，所以，
所以，
即函数的所有零点之和为.
故答案为：.

18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数（其中）部分图象如图所示，是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点．


(1)求的最小正周期及的值；
(2)若，求A的值．
【解析】(1)函数的最小正周期，
因是函数图象的最高点，则，而，有，，
所以函数的最小正周期为2，.
(2)由（1）知，，由得，即点，由得，即点，
于是得，，而，
则，又，解得，
所以.
19．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数，其中
(1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；
(2)若，求函数在上的最小值；
【解析】(1)可知，
因为直线是图象的一条对称轴，故，
解得，而，故，则，
则周期，
再令，则，
故的递减区间为.
(2)可知



因为，故，
则在即取最小值，其最小值为.
20．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定.
(1)求的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最大值.
条件①：的最小正周期为；
条件②：；
条件③：图象的一条对称轴为.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】(1)选择条件①②：
由条件①及已知得，所以.
由条件②，即，解得.
因为，所以，
所以，
经检验符合题意.
选择条件①③：
由条件①及已知得，所以．
由条件③得，
解得，因为，
所以，
所以．
若选择②③：由条件②，即，解得，
因为，所以，
由条件③得，
∴，则的解析式不唯一，不合题意.
(2)由题意得，
化简得

因为，所以，
所以当，即时，的最大值为.
21．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数．
(1)若，求的面积；
(2)当时，取最大值，求在上的值域.
【解析】(1)因为，
所以，即，
或，
由正弦定理可得,又，所以，
若则
所以，
，
当则
所以，
，
(2)

．
因为在处取得最大值，所以，
即．因为，所以，所以．
因为，所以，所以，
在上的值域为.
22．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数满足：
①的最大值为2；②；的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值．
【解析】(1)由条件③，得又，所以．
由条件①，得，又，所以．
由条件②，得，又，所以．
所以．
经验证，符合题意．
(2)函数的单调递增区间为．
由，得．又因为，
所以在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为.
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值，．
故在区间上的单调递增区间为，最小值为.


1．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（       ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以．
故选：A
2．（2022·全国·高考真题（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（       ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】C
【解析】因为．
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错．
故选：C．
4．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【解析】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值．
故选：D．
5．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（       ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【解析】由题，，所以的最小正周期为，最大值为．
故选：C．
6．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件．
故选：A．
7．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（       ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【解析】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或，
从而得：或，
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
8．（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
9．（2021·全国·高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

【答案】2
【解析】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以．
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2．
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．
故答案为：2．
10．（2021·浙江·高考真题）设函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值．
【解析】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期；
（2）由题意，

，
由可得，
所以当即时，函数取最大值．