【备战2023高考】数学专题讲与练-考向04《基本不等式及应用》（重点）全能练（新高考地区专用）

考向04   基本不等式及应用

【2021·全国·高考真题】已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（       ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【解析】由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

【2022年新高考全国II卷】（多选题）若x，y满足，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；

由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；

因为变形可得，设，所以，因此

，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．

故选：BC．

1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.

注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．

2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

1.几个重要的不等式

（1）

（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).

特例：（同号）.

（3）其他变形：

①(沟通两和与两平方和的不等关系式)

②(沟通两积与两平方和的不等关系式)

③(沟通两积与两和的不等关系式)

④重要不等式串：即

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).

2.均值定理

已知.

（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.

（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.

3.常见求最值模型

模型一：，当且仅当时等号成立；

模型二：，当且仅当时等号成立；

模型三：，当且仅当时等号成立；

模型四：，当且仅当时等号成立.

1.基本不等式

如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；

基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

1．（2022·全国·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】

根据题意得，再化简整理利用基本不等式求解即可.

【详解】

，当且仅当，

即，时取得等号．

故答案为：.

2．（2022·福建龙岩·模拟预测）若正实数a，b满足，则的最小值为___________.

【答案】1

【解析】

【分析】

利用基本不等式可得，以为整体求解．

【详解】

∵，当且仅当时等号成立

即，则

∴或（舍去），即

故答案为：1．

3．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知实数满足，则的最小值是_______．

【答案】16

【解析】

【分析】

根据对数定义和运算可得，利用基本不等式代入整理计算．

【详解】

∵，则可得

∴

∵当且仅当时等号成立

∴

故答案为：16．

4．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是_________.

【答案】8

【解析】

【分析】

根据圆的性质，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】

因为直线过圆心，所以，

因为a、b为正实数，

所以，当且仅当时取等号，即时取等号，

故答案为：8

1．（2022·广东茂名·二模）已知 ，则 的最小值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由可得，令，表示出a,b,再由，结合不等式知识，即可求得答案.

【详解】

由可得：,故 ，

令，则，

因为

，

当且仅当，即或时等号成立，

所以 ，即的最小值为2，

故选：C．

2．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知，定义，则的最小值是（       ）

A．5 B．6 C．8 D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

利用定义得到，两个不等式相加后利用基本不等式可求出结果.

【详解】

由定义，得，

所以，

当且仅当，即时，取等号.

所以，即的最小值为.

故选：A

3．（2022·全国·模拟预测（文））若实数，满足，则的最小值为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

由条件结合基本不等式求的最小值.

【详解】

因为，又

所以

所以，当且仅当，时取等号，

所以的最小值为2，

故选：C.

4．（2022·江西萍乡·三模（文））已知正实数满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知可得，利用基本不等式即可求出.

【详解】

由，则，

所以，当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

故选：B.

5．（2022·江西·南昌市八一中学三模（文））已知实数a，b满足，且，则的最小值为（       ）.

A．1 B． C．4 D．

【答案】C

【解析】

【分析】

对已知等式进行变形，然后利用基本不等式进行求解即可.

【详解】

由，

，

当且仅当时取等号，即时取等号，

故选：C

6．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．不存在

【答案】A

【解析】

【分析】

由题设条件可得，从而利用换底公式的推论可得，代入要求最小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值

【详解】

又，则

当且仅当即时取等号

故选：A

7．（2022·山东泰安·模拟预测）已知，则的最小值是（       ）

A．2 B． C． D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

对原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解.

【详解】

由，得，

即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.

故选：A.

8．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知，满足，则的最小值是（　　）

A． B． C．2 D．2

【答案】D

【解析】

【分析】

将给定等式变形为，，再代入并结合均值不等式求解作答.

【详解】

由，得，而，则有，

因此，，当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值为2.

故选：D

9．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）若正实数x，y满足，则的最小值为（       ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用即可求解.

【详解】

因为正实数x，y满足，所以.

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值是，

故选：C．

10．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知正实数a，b满足，则下列结论不正确的是（       ）

A．有最大值 B．的最小值是8

C．若，则 D．的最大值为

【答案】B

【解析】

【分析】

利用基本不等式，以及对数的运算，不等式的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】

对A：，∴，当且仅当时，等号成立，故A正确；

对B：，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；

对C：，∴，∴，故C正确；

对D：由可知，故，当且仅当时，等号成立，故D正确.

故选：B.

11．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（       ）

A．8 B．9 C．10 D．13

【答案】B

【解析】

【分析】

设切点为,求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，可得,再由乘1法结合基本不等式，即可得到所求最小值．

【详解】

设切点为 ，

的导数为，

由切线的方程可得切线的斜率为1，令，

则 ，故切点为，

代入，得，

、为正实数，

则，

当且仅当，时，取得最小值9，

故选：B

12．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出的值，由已知条件可得出，将代数式与相乘，利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】

设等比数列的公比为，则，由可得，解得，

因为，则，，可得，

由已知、，所以，

，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：D.

13．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知正数x，y满足，则的最小值（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用换元法和基本不等式即可求解.

【详解】

令，，则，

即，

∴

，

当且仅当，即，时，等号成立，

故选：A.

14．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知 ， 且， 则 的最小值为_____.

【答案】

【解析】

【分析】

利用基本不等式可求最小值.

【详解】

，

而，当且仅当时等号成立，

由可得或，

故，当且仅当或等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

15．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（文））已知 为正实数， 且， 则 的最小值为___________．

【答案】

【解析】

【分析】

由基本不等式求解

【详解】

由题意

当且仅当即时等号成立，

故答案为：

1．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．

【详解】

由可得，而，所以，即，所以．

又，所以，即，

所以．综上，．

故选：A.

2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．

【详解】

对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．

3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（       ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．

【详解】

由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

【点睛】

4．（多选题）（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．

【详解】

因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；

由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；

因为变形可得，设，所以，因此

，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．

故选：BC．

5．（多选题）（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】

对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.

6．（2022·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．

【答案】##

【解析】

【分析】

设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.

【详解】

设，

则在中，，

在中，，

所以

，

当且仅当即时，等号成立，

所以当取最小值时，.

故答案为：.

7．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】

两次利用基本不等式即可求出.

【详解】

，

，

当且仅当且，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

8．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．

【答案】4

【解析】

【分析】

根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.

【详解】

，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

【点睛】

本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

9．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.

【详解】

∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.

∴的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

10．（2019·天津·高考真题（文）） 设，，，则的最小值为__________.

【答案】.

【解析】

【分析】

把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．

【详解】

由，得，得

，

等号当且仅当，即时成立．

故所求的最小值为．

【点睛】

使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．

11．（2019·天津·高考真题（理））设，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．

【详解】

，

当且仅当，即时成立，

故所求的最小值为．

【点睛】

使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．