高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式集体备课课件ppt

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3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1　从函数观点看一元二次方程学 习 任 务核 心 素 养1．理解函数零点的概念．(重点)2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点．(重点、难点)通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养.函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格，并思考它们有着怎样的联系？ a>0a<0一次函数y＝ax＋b的图象  一元一次方程y＝ax＋b的根    Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根   二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点   知识点1　二次函数的零点一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点．二次函数一定有零点吗？[提示]　当二次函数的图象与x轴不相交时，二次函数无零点．函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量的x的值，也是函数相应的方程相异的实数根．1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)(1)二次函数y＝x2的零点为(0,0)．(　　)(2)当Δ＝0时，二次函数有两个相同的零点．(　　)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有两个零点．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√知识点2　函数零点的探究当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异的实数根x1,2＝有两个相等的实数根x1,2＝－没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的零点有两个零点x1,2＝有一个零点x＝－无零点　 　　　　　　　　　　 　　　　　 　　　2.二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　)A．1 B．2  C．－1 D．－2C　[令y＝0得，x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为－1.] 类型1　求函数的零点【例1】　求下列函数的零点．(1)y＝3x2－2x－1；(2) y＝ax2－x－a－1(a∈R)；(3) y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．[思路点拨]　(1)直接解出相应方程的根．(2)对于二次项的系数a分a＝0，a≠0两类进行讨论，当a≠0时，还要比较两根的大小．(3)根据相应函数的图象，找到其与x轴的交点的横坐标．[解]　(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－.(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1.(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1.又－(－1)＝，①当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1.②当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和.综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1.当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和.(3)函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3. 1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点．2．函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．3．求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤(1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零；(2)若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数．若可以因式分解，则一定存在零点．(3)若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．[跟进训练]1．求下列函数的零点．(1)y＝2x2－3x－2；(2)y＝ax2－x－1；(3)y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．[解]　(1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－.(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1.(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a，当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，函数无零点；当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2.当Δ>0，即a>－时，由ax2－x－1＝0得x1,2＝，函数有两个零点和.综上：当a＝0时，函数的零点为－1；当a＝－时，函数的零点为－2；当a>－时，函数有两个零点和；当a<－时，相应方程无实数根，函数无零点．(3) 由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，所以该函数的零点为－3和1. 类型2　函数的零点个数的论证与探究【例2】　若a>2，求证： 函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．[思路点拨]　要证明二次函数有两个零点，需要证明一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等实数根．[证明]　考察一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)，又a>2，所以Δ>0，所以函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．求函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．[解]　(必要性)因为函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解．函数无零点；当a≠2时，因为函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，即 或 解得a≥2或a≤－2，又a≠2，所以a>2或a≤－2，所以函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，则a>2或a≤－2.(充分性)当a>2或a≤－2时，对于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，所以函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点．综上，函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件是a>2或a≤－2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的论证对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac.(1)Δ>0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点．(2)Δ＝0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点．(3)Δ<0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．[跟进训练]2．求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．[证明]　当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0；当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点．综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点． 类型3　二次函数的零点分布探究【例3】　(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点； (2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围．[思路点拨]　(1)直接求出函数的零点，再加以判定．(2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究．[解]　(1) 由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3<－1－<－2，所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)存在零点．(2)因为函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数，所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等的正实数根．显然a≠2.由一元二次方程的根与系数的关系得 即所以a<－2.即实数a的取值范围(－∞，－2)．1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理(1)  ⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点．(2)  ⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点．(3) x1x2<0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点．2．二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便．[跟进训练]3．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)．(1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围；(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围．[解]　法一：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a.(1)因为该函数有两个正的零点，所以 解得0<a<或<a<1，所以a的取值范围是0<a<或<a<1.(2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，所以 或 解得a>1或a<0.所以a的取值范围是a>1或a<0.法二：(1)因为该函数有两个正的零点，该函数其相应方程为x2－x－a2＋a＝0，所以 解得0<a<或<a<1，所以a的取值范围是0<a<或<a<1.(2) 方程x2－x－a2＋a＝0中，Δ＝1－4(－a2＋a)＝(2a－1)2≥0，设其两实数根分别为x1，x2，则 因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，所以(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，所以(－a2＋a)－1＋1<0，解得a>1或a<0.所以a的取值范围是a>1或a<0. 1．函数y＝x2＋4x－5的零点为(　　)A．－5和1　　 　　　 B．(－5,0)和(1,0)C．－5 D．1A　[由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1.]2．(多选题)已知函数y＝2ax－a＋3在(－1,1)上有零点，则实数a的取值可能是(　　)A．－4 B．2C．3 D．－1ABC　[当a＝0时，y＝3无零点．当a≠0时，由2ax－a＋3＝0得x＝，所以－1<<1.当a>0时，－2a<a－3<2a，解得a>1，当a<0时，－2a>a－3>2a，解得a<－3.所以a的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]3．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为__________．2　[由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2.]4．二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1,3)内的零点为________．2　[方程x2＋2x－8＝0的两个根为x1＝2，x2＝－4.因此二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1,3)内的零点为2.]5．函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n的取值集合为_________．{－3,0}　[由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－，x2＝－1＋，因为－1－∈(－3，－2)，－1＋∈(0,1)，所以n的取值集合为{－3,0}．]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．求函数零点的方法是什么？你是如何求函数零点的？[提示]　(1)观察图象看图象与x轴交点的横坐标．(2)解相应地方程，方程的解即为函数的零点．(3)含参函数的零点求解需分类讨论．根据相应地方程来求解零点为常用方法．2．怎样判定二次函数零点的个数．[提示]　论证相应一元二次方程的根的判别式与0的大小关系．3．怎样研究二次函数零点的分布？[提示]　研究相应的一元二次方程，利用根与系数求解．