概率_随机事件的概率.板块二.随机事件的概率计算练习题无答案

这是一份概率_随机事件的概率.板块二.随机事件的概率计算练习题无答案，共23页。试卷主要包含了必然现象与随机现象，试验，基本事件，互斥事件与事件的并，互斥事件的概率加法公式，互为对立事件等内容，欢迎下载使用。



板块二.随机事件的概率计算










知识内容

版块一：事件及样本空间
1．必然现象与随机现象
必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；
随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．
2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．
一次试验是指事件的条件实现一次．
在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；
在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；
在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．
通常用大写英文字母来表示随机事件，简称为事件．
3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．
所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用表示．

版块二：随机事件的概率计算
1．如果事件同时发生，我们记作，简记为；
2．一般地，对于两个事件，如果有，就称事件与相互独立，简称与独立．当事件与独立时，事件与，与，与都是相互独立的．
3．概率的统计定义
一般地，在次重复进行的试验中，事件发生的频率，当很大时，总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件的概率，记为．
从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率满足：．
当是必然事件时，，当是不可能事件时，．
4．互斥事件与事件的并
互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．
由事件和事件至少有一个发生（即发生，或发生，或都发生）所构成的事件，称为事件与的并（或和），记作．
若，则若发生，则、中至少有一个发生，事件是由事件或所包含的基本事件组成的集合．
5．互斥事件的概率加法公式：
若、是互斥事件，有
若事件两两互斥（彼此互斥），有．
事件“”发生是指事件中至少有一个发生．
6．互为对立事件
不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件的对立事件记作．
有．
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1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．
2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．
随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．
3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．

主要方法：
解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：
求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．
第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．
第三步，运用公式求解
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．

解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）：
⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率；
⑵ 互斥事件有一个发生的概率；
⑶ 相互独立事件同时发生的概率；
⑷ 次独立重复试验中恰好发生次的概率；
⑸ 次独立重复试验中在第次才首次发生的概率；
⑹ 对立事件的概率．
另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第次才发生”等．


典例分析


题型一 概率与频率

【例1】 下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；
②做次随机试验，事件发生的频率就是事件的概率；
③百分率是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离具体的次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的是（ 　　）
A．①④⑤　　B．②④⑤　　　C．①③④　　　　D．①③⑤




【例2】 对某工厂所生产的产品质量进行调查，数据如下：
抽查件数





合格件数





根据上表所提供的数据，估计合格品的概率约为多少？若要从该厂生产的此种产品中抽到件合格品，大约需要抽查多少件产品？



【例3】 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数








进球次数








进球频率








（1）在表中直接填写进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？



【例4】 下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；
②做次随机试验，事件发生次，则事件发生的概率为；
③频率是不能脱离次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确命题的序号为 ．

【例5】 盒中装有只相同的白球与只相同的黄球．从中任取一只球．试指出下列事件分别属于什么事件？它们的概率是多少？
⑴“取出的球是白球”；
⑵“取出的球是蓝球”；
⑶“取出的球是黄球”；
⑷“取出的球是白球或黄球”．


题型二 独立与互斥
【例6】 （2010辽宁高考）
两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A． B． C． D．


【例7】 掷两枚均匀的骰子，记“点数不同”，“至少有一个是点”，判断与是否为独立事件．







【例8】 设M和N是两个随机事件，表示事件M和事件N都不发生的是（ ）
A． B． C． D．







【例9】 判断下列各对事件是否是相互独立事件
⑴ 甲组名男生、名女生；乙组名男生、名女生，今从甲、乙两组中各选名同学参加
演讲比赛，“从甲组中选出名男生”与“从乙组中选出1名女生”．
⑵ 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出个，取出的是白球”与“从剩下的个球中任意取出个，取出的还是白球”．






【例10】 ⑴某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件为“只订甲报”，事件为“至少订一种报”，事件为“至多订一种报”，事件为“不订甲报”，事件为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．
①与；②与；③与；④与；⑤与．






【例11】 抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的数是奇数”，事件为“落地时向上的数是偶数”，事件为“落地时向上的数是的倍数”，事件为“落地时向上的数是或”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（　　）
A．与　　　B．与　　　C．与　　　D．与




【例12】 每道选择题都有个选择支，其中只有个选择支是正确的．某次考试共有道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有题选择结果正确”．对该人的话进行判断，其结论是（ ）
A．正确的 B．错误的 C．模棱两可的 D．有歧义的












题型三 随机事件的概率计算
【例13】 （2010丰台二模）
一个正三角形的外接圆的半径为，向该圆内随机投一点，点恰好落在正三角形外的概率是_________．





【例14】 （2010崇文一模）
从张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是或或的概率为_______．






【例15】 （2010朝阳一模）
一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行． 若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（ ）
A． B． C． D．





【例16】 （2010东城二模）
在直角坐标系中，设集合，在区域内任取一点，则满足的概率等于 ．






【例17】 （2010朝阳一模）
在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为（ ）
A． B． C． D．



【例18】 （2010东城一模）
某人向一个半径为的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于的概率为（ ）
A． B． C． D．



【例19】 （2010西城一模）
在边长为的正方形内任取一点，则点到点的距离小于的概率为 ．





【例20】 （2010丰台二模）
已知
，．若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率是_________．




【例21】 （2010朝阳一模）
袋子中装有编号为的2个黑球和编号为的3个红球，从中任意摸出2个球．
⑴写出所有不同的结果；
⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；
⑶求至少摸出1个黑球的概率．
















【例22】 （2010崇文二模）
在平面直角坐标系中，平面区域中的点的坐标满足，从区域中随机取点．
⑴若，，求点位于第四象限的概率；
⑵已知直线与圆相交所截得的弦长为，求的概率．















【例23】 （2010西城一模）
一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是、、、．现从盒子中随机抽取卡片．
⑴若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于的概率；
⑵若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字的概率．























【例24】 （2010海淀一模）
某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满元可以转动如图所示的圆盘一次，其中为圆心，且标有元、元、元的三部分区域面积相等． 假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．（例如：某顾客消费了元，第一次转动获得了元，第二次获得了元，则其共获得了元优惠券．）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．

⑴若顾客甲消费了元，求他获得优惠券面额大于元的概率？
⑵若顾客乙消费了元，求他总共获得优惠券金额不低于元的概率？














【例25】 （2010石景山一模）
为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有家企业参与竞标．其中企业来自辽宁省，、两家企业来自福建省，、、三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．
⑴企业中标的概率是多少？
⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？















【例26】 （2010湖北高考）
投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰于向上 的点数是3”为事件，则事件，中至少有一件发生的概率是
A． B． C． D．




【例27】 盒子中有大小相同的只小球，只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 ．






【例28】 （2010江西高考）
一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在100箱中各任意检查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为，则（ ）
A． B． C． D．以上三种情况都有可能




【例29】 （2010陕西卷高考）
铁矿石和的含铁率，冶炼每万吨铁矿石的的排放量及每万吨铁矿石的价格如下表：


（万吨）
（百万元）


1
3



6
某冶炼厂至少要生产（万吨）铁，若要求的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为______（百万元）．





【例30】 甲、乙两人进行击剑比赛，甲获胜的概率是，两人战平的概率是，那甲不输的概率为________甲不获胜的概率为_______．


【例31】 已知是相互独立事件，且，，则______．


【例32】 某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（ ）
A． B． C． D．


【例33】 袋中有大小相同的个白球和个黑球，从中任意摸出个，求下列事件发生的概率．
⑴ 摸出个或个白球；
⑵ 至少摸出一个黑球．












【例34】 一批产品共件，其中件是废品，任抽件进行检查，求下列事件的概率．
⑴ 件产品中至多有一件废品；⑵ 件产品中至少有一件废品．



















【例35】 （2009湖南卷文）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，．现有名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：
⑴ 他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
⑵ 至少有人选择的项目属于民生工程的概率．








【例36】 甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，
求：⑴ 人都射中的概率？⑵ 人中有人射中的概率？









【例37】 （2009全国卷Ⅰ文）
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前局中，甲、乙各胜局．
⑴ 求再赛局结束这次比赛的概率；
⑵ 求甲获得这次比赛胜利的概率．


















【例38】 纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为，第二台为，第三台为，问一天内：
⑴ 台机器都要维护的概率是多少？
⑵ 其中恰有一台要维护的概率是多少？
⑶ 至少一台需要维护的概率是多少？















【例39】 从甲口袋摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，则是（ ）
A．个球不都是红球的概率 B．个球都是红球的概率
C．至少有一个红球的概率 D．个球中恰好有个红球的概率






【例40】 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有个人译出密码的概率；
⑷至多个人译出密码的概率；⑸至少个人译出密码的概率．














【例41】 现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部场足球比赛，每场比赛有种结果：胜、平、负，场比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 ．





【例42】 从位同学（其中女，男）中，随机选出位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为，
每位男同学能通过测验的概率均为，试求：
⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；
⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率．

















【例43】 （08天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．
⑴求乙投球的命中率；
⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；
⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．











【例44】 甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各个，从两个盒子中各取个球，求取出的两个球是不同颜色的概率．
















【例45】 某商场有奖销售中，购满元商品得张奖券，多购多得．第张奖券为一个开奖单位，设特等奖个，一等奖个，二等奖个．设张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，求：
⑴；
⑵张奖券的中奖概率；
⑶张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．










【例46】 把张卡片分别写上后，任意叠放在一起，从中任取一张，设“抽到大于的奇数”为事件，“抽到小于的奇数”为事件，求，和．









【例47】 甲、乙两人下棋，乙不输的概率是，下成和棋的概率为，分别求出甲、乙获胜的概率．














【例48】 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
血型




该血型的人所占比例（）




已知同种血型的人可以输血，型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是型血，若小明因病需要输血，问：
⑴任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
⑵任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？




























【例49】 在袋中装个小球，其中彩球有个红色、个蓝色、个黄色的，其余为白球．
求：⑴如果从袋中取出个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是，且，那么，袋中的红球共有几个？
⑵根据⑴的结论，计算从袋中任取个小球至少有一个是红球的概率．













【例50】 某射手射击一次射中环、环、环、环的概率分别为，计算这名射手射击一次：
⑴射中环或环的概率；⑵至少射中环的概率；⑶至多射中环的概率．














【例51】 射击运动员李强射击一次击中目标的概率是，他射击次，恰好次击中目标的概率是多少？











【例52】 在条线路汽车经过的车站上，有位乘客等候着路车的到来．假如汽车经过该站的次数平均来说路车是相等的，而路车是其他各路车次数的总和．试求首先到站的汽车是这位乘客所需要线路的汽车的概率．













【例53】 （2007年全国I卷文）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润元；若顾客采用分期付款，商场获得利润元．
⑴ 求位购买该商品的顾客中至少有位采用一次性付款的概率；
⑵ 求位位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元的概率．









【例54】 （2007年全国II卷文）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取件，假设事件：“取出的件产品中至多有件是二等品”的概率．
⑴ 求从该批产品中任取件是二等品的概率；
⑵ 若该批产品共件，从中任意抽取件，求事件：“取出的件产品中至少有一件二等品”的概率．









【例55】 （2009全国卷Ⅰ文）
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前局中，甲、乙各胜局．
⑴ 求再赛局结束这次比赛的概率；
⑵ 求甲获得这次比赛胜利的概率．











【例56】 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，
单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为）和所需费用如下表：
预防措施
甲
乙
丙
丁





费用（万元）
90
60
30
10
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．






【例57】 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：
⑴只有丙柜面需要售货员照顾的概率；
⑵三个柜面恰好有一个需要售货员照顾的概率；
⑶三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．










【例58】 （2006年北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
⑴ 分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
⑵ 试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）












【例59】 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是，且各发动机互不影响．如果至少的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？






















【例60】 （2009陕西卷文）
椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为的概率分别为，，
⑴ 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过次的概率；
⑵ 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．











【例61】 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
⑴ 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
⑵ 求该选手至多进入第三轮考核的概率．


















题型四 条件概率

【例62】 设某批产品有是废品，而合格品中的是一等品，任取一件产品是一等品的概率是．



【例63】 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率是，既刮风又下雨的概率是，设“刮风”，“下雨”，求．








【例64】 （09上海春）把一枚硬币抛掷两次，事件“第一次出现正面”，事件“第二次出现反面”，则．









【例65】 （2010宣武二模）
抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为．令事件，事件，则的值为（ ）
A． B． C． D．










【例66】 设某种动物活到岁以上的概率为，活到岁以上的概率为，求现龄为岁的这种动物能活到岁以上的概率．







【例67】 抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为 ．










【例68】 掷两枚均匀的骰子，记“点数不同”，“至少有一个是点”，求与．