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八年级下册数学 期末全真模拟试卷02（原卷+解析版）
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这是一份八年级下册数学 期末全真模拟试卷02（原卷+解析版），文件包含期末全真模拟试卷02解析版docx、期末全真模拟试卷02原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】
期末全真模拟试卷02
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解析】∵x+1≥0，
∴x≥﹣1．
故选：D．
2．如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分式的分母中含有字母．
【解析】甲、丙的分母中含有字母，属于分式；乙、丁的分母中不含有字母，属于整式．
故选：B．
3．若代数式x2﹣4x+a可化为（x﹣b）2﹣1，则a+b是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】将x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1化简求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【解析】∵x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1，
∴x2﹣4x+a＝x2﹣2bx+b2﹣1，
∴2b＝4，a＝b2﹣1，
∴b＝2，a＝22﹣1＝3，
∴a+b＝3+2＝5．
故选：A．
4．以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．5、12、13 C．2、、 D．、、
【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解析】A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
B、52+122＝132，能构成直角三角形，故选项符合题意；
C、（）2+22≠（）2，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
D、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故选项不符合题意．
故选：B．
5．一组数据：5，6，5，3，7的众数是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【分析】根据众数的概念，找到该组数据中出现次数最多的数即可选出正确答案．
【解析】众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据，观察该组数据，5出现2次，出现次数最多，故该组数据的众数为：5，
故选：B．
6．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC＝7，AD∥BC，由平行线的性质得出∠AEB＝∠CBE，由角平分线定义得出∠ABE＝∠CBE，证出∠AEB＝∠ABE，由等腰三角形的判定得出AE＝AB＝4，即可得出答案．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝7，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝4，
∴DE＝AD﹣AE＝7﹣4＝3；
故选：C．
7．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图2中，∠BAC的大小是（ ）
A．72° B．36° C．30° D．54°
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解析】∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°．
故选：B．
8．已知（a2+b2+2）（a2+b2）＝8，那么a2+b2的值是（ ）
A．2 B．﹣4 C．2或﹣4 D．不确定
【分析】设a2+b2＝y，则原方程可化为（y+2）y＝8，解方程即可得到结论．
【解析】设a2+b2＝y，
则原方程可化为：（y+2）y＝8，
解得：y1＝﹣4，y2＝2，
∵a2+b2＞0，
∴a2+b2＝2．
故选：A．
9．在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），M（1，0），点B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，P为BC的中点，则PM的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】过点A作y轴的平行线交x轴于点E，过点B作BH⊥EA的延长线于点H，则四边形OEHB是矩形，设OC＝x，则CE＝x+2，证明△BAH∽△ACE，对应边成比例，用含x的式子表示B、C两点的坐标，再根据点P是BC中点，即可表示点P坐标，根据勾股定理即可用二次函数解析式表示PM的平方，进而根据二次函数的最值求得PM的最小值．
【解析】如图，
过点A作y轴的平行线交x轴于点E，过点B作BH⊥EA的延长线于点H，
则四边形OEHB是矩形，
∴OE＝BH＝2，AE＝2，
设OC＝x，则CE＝x+2，
∵∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAH+∠EAC＝90°，∠ECA+∠EAC＝90°，
∴∠BAH＝∠ECA，
∴△BAH∽△ACE
∴＝
即＝，
∴AH＝（x+2），
∴OB＝AH+AE＝2+（x+2）＝（x+8），
∴B（0，（x+8）），C（x，0）
∵P为BC的中点，
∴P（x，（x+8）），
作PF⊥x轴于点F，
在Rt△PMF中，根据勾股定理，得
PM2＝MF2+PF2，
＝（x﹣1）2+[（x+8）]2
＝（x+）2+，
∵＞0，
∴x＝﹣时，PM2有最小值，最小值为，
∴PM最小值为．
故选：A．
10．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝2，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AD⊥CF；③CF＝BD＝；④四边形ABDO的面积与正方形ABCO的面积相等．其中正确的结论为（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①③④
【分析】过D作DN⊥AE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，如图，根据四边形ABCO、四边形DEFO是正方形，可得∠COD＝45°，判断①正确，证明△AOD≌△COF（SAS），可得∠ADO＝∠CFO，又∠DKS＝∠FKO，可得∠DSK＝∠FOK＝90°，判断②正确；在Rt△ADN中，AD＝＝，知CF＝，在Rt△BDM中，BD＝＝，可判断③正确；根据S△BCD＝BC•DM＝1，S△CDO＝OC•ON＝1，有S△BCD＝S△CDO，可得S四边形ABDO＝S正方形ABCO，判断④正确．
【解析】过D作DN⊥AE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，如图：
∵四边形ABCO、四边形DEFO是正方形，
∴∠AOC＝90°＝∠COE，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝45°，故①正确，
∵∠AOC＝90°＝∠FOD，
∴∠AOD＝135°＝∠COF，
又OA＝OC，OD＝OF，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴∠ADO＝∠CFO，AD＝CF，
∵∠DKS＝∠FKO，
∴∠DSK＝∠FOK＝90°，
∴AD⊥CF，故②正确；
∵四边形DEFO是正方形，
∴△DON是等腰直角三角形，
∵EF＝＝DO，
∴DN＝ON＝DO＝1，
在Rt△ADN中，AD＝＝＝，
∴CF＝，
∵∠MNO＝∠NOC＝∠OCM＝90°，
∴四边形NOCM是矩形，
∴MN＝OC＝AB＝2，CM＝ON＝1
∴DM＝MN﹣DM＝1，BM＝BC+CM＝3，
在Rt△BDM中，BD＝＝＝，
∴CF＝BD＝，故③正确；
∵S△BCD＝BC•DM＝×2×1＝1，S△CDO＝OC•ON＝×2×1＝1，
∴S△BCD＝S△CDO，
∴S△DTO＝S△BCT，
∴S四边形ABDO＝S正方形ABCO，故④正确，
∴正确的有①②③④，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．计算：＝ ．
【分析】根据•＝、二次根式的性质计算即可．
【解析】×
＝
＝
＝，
故答案为：．
12．已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为4，则方程的另一个根为b，则ab＝ ﹣ ．
【分析】根据一元二次方程的解定义，将x＝4代入关于x的方程x2﹣3x+a＝0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系解出方程的另一个根，即可求得ab的值．
【解析】根据题意，得16﹣12+a＝0，即4+a＝0，
解得，a＝﹣4；
由根与系数的关系，4+b＝3，
解得，b＝﹣1，
所以，ab＝﹣．
故答案是：﹣．
13．在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝8，BD＝8，则▱ABCD的面积等于 64或32 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB的长，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解析】过点D作DE⊥AB于E，如图1，当点B在E的右边时，
∵∠A＝30°，AD＝8，
∴DE＝AD＝4，
∴AE＝DE＝12，
∴BE＝，
∴AB＝AE+BE＝16，
∴S四边形ABCD＝16×4＝64，
如图2，点B在E的左边时，
同理AE＝12，BE＝4，DE＝4，
∴S四边形ABCD＝8×4＝32，
故答案为：64或32．
14．已知一个多边形的每一个内角都是其相邻外角的5倍，则该多边形为 十二 边形．
【分析】一个内角是一个外角的5倍，内角与相邻的外角互补，因而外角是30°，内角是150°．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数．
【解析】每一个外角的度数是180÷6＝30°，
360÷30＝12，
则多边形是十二边形．
故答案为：十二．
15．已知一组数据：﹣1，x，0，1，﹣2的平均数是0，那么这组数据的方差为 2 ．
【分析】先根据平均数求出x的值，再根据方差公式列出算式，进行计算即可求出这组数据的方差．
【解析】∵数据：﹣1，x，0，1，﹣2的平均数是0，
∴（﹣1+x+0+1﹣2）÷5＝0，
解得x＝2，
∴这组数据的方差是：
S2＝[（﹣1﹣0）2+（2﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（﹣2﹣0）2]＝2；
故答案为：2．
16．如图，A、B、C、D均在正方形网格的格点上，则∠ABC﹣∠DAC＝ 45 °．
【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到∠EAC＝∠ABC，再根据等腰直角三角形的性质和角的和差关系即可求解．
【解析】如图，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ABC，
∵△AED是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝45°，
∵∠EAC﹣∠DAC＝45°，
∴∠ABC﹣∠DAC＝45°．
故答案为：45．
17．一个容器盛满纯药液45升，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是20升，则每次倒出的液体是 15 升．
【分析】设每次倒出的液体是x升，则第一次倒出再加满水后药液的浓度为×100%，根据第二次又倒出同样多的药液后容器内剩下的纯药液是20升，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解析】设每次倒出的液体是x升，则第一次倒出再加满水后药液的浓度为×100%，
依题意得：（45﹣x）•×100%＝20，
解得：x1＝15，x2＝75（不合题意，舍去）．
∴每次倒出的液体是15升．
故答案为：15．
18．如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为3和2，点E在CD上，点F在AB的延长线上，且EC＝BF，连接FC．
（1）当DE＝2时，则FC的长是 ；
（2）点E在边CD上移动的过程中，AE+FC的最小值是 5 ．
【分析】（1）在Rt△BCF中，利用勾股定理求解即可．
（2）延长CB到M，使得BM＝BC，过点M作MT⊥MC，且MT＝AB，连接BT，TF，CT．证明△ACE≌△TBF（SAS），推出AE＝FT，可知AE+CF＝FT+CF≥CF，求出CF，可得结论．
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CBF＝90°，AB＝CD＝3，
∵DE＝2，
∴EC＝CD﹣DE＝1，
∵BF＝EC＝1，
∴CF＝＝＝，
故答案为：．
（2）延长CB到M，使得BM＝BC，过点M作MT⊥MC，且MT＝AB，连接BT，TF，CT．
在△ABC和△TMB中，
，
∴△ABC≌△TMB（SAS），
∴AC＝BT，∠ACB＝∠TBM，
∵∠ACB+∠DCB＝90°，∠TBM+∠TBF＝90°，
∴∠TBF＝∠ACE，
在△ACE和△TBF中，
，
∴△ACE≌△TBF（SAS），
∴AE＝FT，
∴AE+CF＝FT+CF，
∵CF+FT≥CF，CF＝＝＝5，
∴AE+CF≥5，
∴AE+CF的最小值为5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：6﹣5﹣+3．
（2）计算：﹣（x+）．
（3）解方程：x2+4x﹣2＝0．
【分析】（1）原式合并同类二次根式即可得到结果；
（2）原式各项化为最简二次根式，去括号合并即可得到结果；
（3）找出方程中的a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根 公式即可求出解．
【解析】（1）原式＝+2；
（2）原式＝2﹣（+）
＝2﹣2
＝0；
（3）x2+4x﹣2＝0，
这里a＝1，b＝4，c＝﹣2，
∵b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣2）＝24，
∴x＝＝＝﹣2±，
则x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
20．某学校开展了防溺水知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了统计图（部分信息未给出）．
根据图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图；
（2）这次测试成绩的中位数是什么等级？
（3）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
【分析】（1）根据基本合格人数和已知百分比求出总人数即可解决问题，计算合格的频数即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义判断即可．
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解析】（1）被抽查的学生人数是30÷15%＝200（人）．
合格人数为200﹣30﹣80﹣40＝50（人）．
补全频数分布直方图如图：
（2）200个数据从小到大排列处在中间位置的两个数是第100、101位的两个数的平均数，
所以这次测试成绩的中位数会落在良好等级；
（3）（人）．
答：该校获得优秀的学生有300人．
21．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，CD＝7，AD＝1．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求△ABD的面积．
【分析】（1）连接AC，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）过D点作DE⊥BC于E，根据勾股定理和三角形面积公式即可求得△ABD的面积．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝BC＝5，
∴AC2＝AB2+BC2＝52+52＝25+25＝50，
∵CD＝7，AD＝1，
∴CD2+AD2＝72+12＝49+1＝50，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
即∠ADC＝90°；
（2）解：过D点作DE⊥BC于E，
设BE＝x，则CE＝5﹣x，DE＝，
则AB•BC+AD•CD＝AB•BE+BC•DE，
即×5×5+×1×7＝×5x+×5，
解得x1＝，x2＝（不合题意舍去），
则△ABD的面积为×5×＝2．
22．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上．
（1）请在网格中画出平行四边形ABCD，使AD＝（点C，D都在正方形网格的格点上，画出一个符合题意的图形即可）；
（2）在（1）中所画出的平行四边形ABCD的对角线BD的长是 ．
【分析】（1）根据平行四边形的判定以及数形结合的思想解决问题即可．
（2）利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）如图，平行四边形ABCD即为所求．
（2）BD＝＝，
故答案为：．
23．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝16cm，BD＝12cm，DH⊥AB于点H．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）求DH的长．
【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，利用菱形的四条边相等求出菱形的周长；
（2）利用菱形的面积公式计算即可得DH的长．
【解析】（1）在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC＝16cm，BD＝12cm，
∴OA＝AC＝×16＝8cm，OB＝BD＝×12＝6cm，
在Rt△AOB中，AB＝＝10cm，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40cm，
（2）∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝AB×DH，
即×16×12＝10×DH，
解得DH＝9.6（cm）．
24．我们把一个式子或一个式子部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫做配方法，配方法常常用于恒等变形、化简求值、解一元二次方程、求最值等问题．
（1）已知三角形ABC的三边长a、b、c都是正整数，并且满足a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，求三角形ABC的周长，你能利用配方法解决这个问题吗？
（2）某商品现在每件盈利10元，每天可卖出30件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件，当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？
【分析】（1）由a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0得（a﹣3）2+2（b﹣1）2＝0，据此知a＝3、b＝1，继而根据三角形三边关系确定c的范围，结合c是正整数可得c＝3，从而得出答案；
（2）设每件商品涨价x元，每天的利润为（10+x）（30﹣x）＝﹣（x﹣10）2+400，由（x﹣10）2≥0知﹣（x﹣10）2+400≤400，从而得出答案．
【解析】（1）∵a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，
∴a2﹣6a+9+2b2﹣4b+2＝0，即（a﹣3）2+2（b﹣1）2＝0，
则a﹣3＝0且b﹣1＝0，
解得a＝3，b＝1，
∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4，
∵c是正整数，
∴c＝3，
则△ABC的周长为3+1+3＝7；
（2）设每件商品涨价x元，
每天的利润为（10+x）（30﹣x）
＝﹣x2+20x+300
＝﹣（x﹣10）2+400，
∵（x﹣10）2≥0，
∴﹣（x﹣10）2≤0，
则﹣（x﹣10）2+400≤400，
∴当x＝10时，﹣（x﹣10）2+400取得最大值400，
答：当每件商品涨价10元时，每天的利润最大．
25．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
（1）求∠EAG的度数；
（2）求证：AG∥CF；
（3）若AB＝6，则△GCF的面积等于 ．
【分析】（1）由正方形性质及折叠性质可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则BAG＝∠FAG＝∠BAF，所以∠EAG＝（∠BAF+∠DAF）＝×90°＝45°；
（2）设BG＝FG＝x，DE＝EF＝a，则BC＝CD＝3a，CE＝2a．在Rt△ECG中，由勾股定理有CG2+CE2＝EG2，即（3a﹣x）2+（2a）2＝（x+a）2，得x＝．利用三角形外角关系可得∠BGF＝∠GCF+∠GFC＝2∠GCF，利用折叠性质可得∠BGF＝2∠BGA，从而∠GCF＝∠BGA，可证明AG∥CF；
（3）由题意及第（2）问可知，AB＝6，FG＝BG＝GC＝3，EC＝4，由勾股定理可求GE＝5．则S△CEG＝＝＝6，由于△CEG与△GCF为等高不同底的两个三角形，则二者面积之比为底之比，即S△CEG：S△GCF＝GE：GF＝5：3，从而可得答案．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，
由折叠性质可知，∠DAE＝∠FAE＝∠DAF，AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG＝∠FAG＝∠BAF，
∴∠EAG＝（∠BAF+∠DAF）＝×90°＝45°．
（2）证明：设BG＝FG＝x，DE＝EF＝a，则BC＝CD＝3a，CE＝2a．
在Rt△ECG中，由勾股定理有CG2+CE2＝EG2，
即（3a﹣x）2+（2a）2＝（x+a）2，
解得：x＝．
∴FG＝BG＝GC，
∴∠GCF＝∠GFC，
∵∠BGF＝∠GCF+∠GFC＝2∠GCF，∠BGF＝2∠BGA，
∴∠GCF＝∠BGA，
∴AG∥CF．
（3）由题意及第（2）问可知，AB＝6，FG＝BG＝GC＝3，EC＝4，
则由勾股定理可得：GE＝＝＝5，
∴S△CEG＝＝＝6，
由于△CEG与△GCF为等高不同底的两个三角形，则二者面积之比为底之比，
即S△CEG：S△GCF＝GE：GF＝5：3，
∴S△GCF＝＝．
故答案为：．
2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】
期末全真模拟试卷02
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解析】∵x+1≥0，
∴x≥﹣1．
故选：D．
2．如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分式的分母中含有字母．
【解析】甲、丙的分母中含有字母，属于分式；乙、丁的分母中不含有字母，属于整式．
故选：B．
3．若代数式x2﹣4x+a可化为（x﹣b）2﹣1，则a+b是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】将x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1化简求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【解析】∵x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1，
∴x2﹣4x+a＝x2﹣2bx+b2﹣1，
∴2b＝4，a＝b2﹣1，
∴b＝2，a＝22﹣1＝3，
∴a+b＝3+2＝5．
故选：A．
4．以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．5、12、13 C．2、、 D．、、
【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解析】A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
B、52+122＝132，能构成直角三角形，故选项符合题意；
C、（）2+22≠（）2，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
D、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故选项不符合题意．
故选：B．
5．一组数据：5，6，5，3，7的众数是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【分析】根据众数的概念，找到该组数据中出现次数最多的数即可选出正确答案．
【解析】众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据，观察该组数据，5出现2次，出现次数最多，故该组数据的众数为：5，
故选：B．
6．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC＝7，AD∥BC，由平行线的性质得出∠AEB＝∠CBE，由角平分线定义得出∠ABE＝∠CBE，证出∠AEB＝∠ABE，由等腰三角形的判定得出AE＝AB＝4，即可得出答案．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝7，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝4，
∴DE＝AD﹣AE＝7﹣4＝3；
故选：C．
7．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图2中，∠BAC的大小是（ ）
A．72° B．36° C．30° D．54°
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解析】∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°．
故选：B．
8．已知（a2+b2+2）（a2+b2）＝8，那么a2+b2的值是（ ）
A．2 B．﹣4 C．2或﹣4 D．不确定
【分析】设a2+b2＝y，则原方程可化为（y+2）y＝8，解方程即可得到结论．
【解析】设a2+b2＝y，
则原方程可化为：（y+2）y＝8，
解得：y1＝﹣4，y2＝2，
∵a2+b2＞0，
∴a2+b2＝2．
故选：A．
9．在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），M（1，0），点B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，P为BC的中点，则PM的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】过点A作y轴的平行线交x轴于点E，过点B作BH⊥EA的延长线于点H，则四边形OEHB是矩形，设OC＝x，则CE＝x+2，证明△BAH∽△ACE，对应边成比例，用含x的式子表示B、C两点的坐标，再根据点P是BC中点，即可表示点P坐标，根据勾股定理即可用二次函数解析式表示PM的平方，进而根据二次函数的最值求得PM的最小值．
【解析】如图，
过点A作y轴的平行线交x轴于点E，过点B作BH⊥EA的延长线于点H，
则四边形OEHB是矩形，
∴OE＝BH＝2，AE＝2，
设OC＝x，则CE＝x+2，
∵∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAH+∠EAC＝90°，∠ECA+∠EAC＝90°，
∴∠BAH＝∠ECA，
∴△BAH∽△ACE
∴＝
即＝，
∴AH＝（x+2），
∴OB＝AH+AE＝2+（x+2）＝（x+8），
∴B（0，（x+8）），C（x，0）
∵P为BC的中点，
∴P（x，（x+8）），
作PF⊥x轴于点F，
在Rt△PMF中，根据勾股定理，得
PM2＝MF2+PF2，
＝（x﹣1）2+[（x+8）]2
＝（x+）2+，
∵＞0，
∴x＝﹣时，PM2有最小值，最小值为，
∴PM最小值为．
故选：A．
10．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝2，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AD⊥CF；③CF＝BD＝；④四边形ABDO的面积与正方形ABCO的面积相等．其中正确的结论为（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①③④
【分析】过D作DN⊥AE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，如图，根据四边形ABCO、四边形DEFO是正方形，可得∠COD＝45°，判断①正确，证明△AOD≌△COF（SAS），可得∠ADO＝∠CFO，又∠DKS＝∠FKO，可得∠DSK＝∠FOK＝90°，判断②正确；在Rt△ADN中，AD＝＝，知CF＝，在Rt△BDM中，BD＝＝，可判断③正确；根据S△BCD＝BC•DM＝1，S△CDO＝OC•ON＝1，有S△BCD＝S△CDO，可得S四边形ABDO＝S正方形ABCO，判断④正确．
【解析】过D作DN⊥AE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，如图：
∵四边形ABCO、四边形DEFO是正方形，
∴∠AOC＝90°＝∠COE，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝45°，故①正确，
∵∠AOC＝90°＝∠FOD，
∴∠AOD＝135°＝∠COF，
又OA＝OC，OD＝OF，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴∠ADO＝∠CFO，AD＝CF，
∵∠DKS＝∠FKO，
∴∠DSK＝∠FOK＝90°，
∴AD⊥CF，故②正确；
∵四边形DEFO是正方形，
∴△DON是等腰直角三角形，
∵EF＝＝DO，
∴DN＝ON＝DO＝1，
在Rt△ADN中，AD＝＝＝，
∴CF＝，
∵∠MNO＝∠NOC＝∠OCM＝90°，
∴四边形NOCM是矩形，
∴MN＝OC＝AB＝2，CM＝ON＝1
∴DM＝MN﹣DM＝1，BM＝BC+CM＝3，
在Rt△BDM中，BD＝＝＝，
∴CF＝BD＝，故③正确；
∵S△BCD＝BC•DM＝×2×1＝1，S△CDO＝OC•ON＝×2×1＝1，
∴S△BCD＝S△CDO，
∴S△DTO＝S△BCT，
∴S四边形ABDO＝S正方形ABCO，故④正确，
∴正确的有①②③④，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．计算：＝ ．
【分析】根据•＝、二次根式的性质计算即可．
【解析】×
＝
＝
＝，
故答案为：．
12．已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为4，则方程的另一个根为b，则ab＝ ﹣ ．
【分析】根据一元二次方程的解定义，将x＝4代入关于x的方程x2﹣3x+a＝0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系解出方程的另一个根，即可求得ab的值．
【解析】根据题意，得16﹣12+a＝0，即4+a＝0，
解得，a＝﹣4；
由根与系数的关系，4+b＝3，
解得，b＝﹣1，
所以，ab＝﹣．
故答案是：﹣．
13．在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝8，BD＝8，则▱ABCD的面积等于 64或32 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB的长，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解析】过点D作DE⊥AB于E，如图1，当点B在E的右边时，
∵∠A＝30°，AD＝8，
∴DE＝AD＝4，
∴AE＝DE＝12，
∴BE＝，
∴AB＝AE+BE＝16，
∴S四边形ABCD＝16×4＝64，
如图2，点B在E的左边时，
同理AE＝12，BE＝4，DE＝4，
∴S四边形ABCD＝8×4＝32，
故答案为：64或32．
14．已知一个多边形的每一个内角都是其相邻外角的5倍，则该多边形为 十二 边形．
【分析】一个内角是一个外角的5倍，内角与相邻的外角互补，因而外角是30°，内角是150°．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数．
【解析】每一个外角的度数是180÷6＝30°，
360÷30＝12，
则多边形是十二边形．
故答案为：十二．
15．已知一组数据：﹣1，x，0，1，﹣2的平均数是0，那么这组数据的方差为 2 ．
【分析】先根据平均数求出x的值，再根据方差公式列出算式，进行计算即可求出这组数据的方差．
【解析】∵数据：﹣1，x，0，1，﹣2的平均数是0，
∴（﹣1+x+0+1﹣2）÷5＝0，
解得x＝2，
∴这组数据的方差是：
S2＝[（﹣1﹣0）2+（2﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（﹣2﹣0）2]＝2；
故答案为：2．
16．如图，A、B、C、D均在正方形网格的格点上，则∠ABC﹣∠DAC＝ 45 °．
【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到∠EAC＝∠ABC，再根据等腰直角三角形的性质和角的和差关系即可求解．
【解析】如图，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ABC，
∵△AED是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝45°，
∵∠EAC﹣∠DAC＝45°，
∴∠ABC﹣∠DAC＝45°．
故答案为：45．
17．一个容器盛满纯药液45升，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是20升，则每次倒出的液体是 15 升．
【分析】设每次倒出的液体是x升，则第一次倒出再加满水后药液的浓度为×100%，根据第二次又倒出同样多的药液后容器内剩下的纯药液是20升，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解析】设每次倒出的液体是x升，则第一次倒出再加满水后药液的浓度为×100%，
依题意得：（45﹣x）•×100%＝20，
解得：x1＝15，x2＝75（不合题意，舍去）．
∴每次倒出的液体是15升．
故答案为：15．
18．如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为3和2，点E在CD上，点F在AB的延长线上，且EC＝BF，连接FC．
（1）当DE＝2时，则FC的长是 ；
（2）点E在边CD上移动的过程中，AE+FC的最小值是 5 ．
【分析】（1）在Rt△BCF中，利用勾股定理求解即可．
（2）延长CB到M，使得BM＝BC，过点M作MT⊥MC，且MT＝AB，连接BT，TF，CT．证明△ACE≌△TBF（SAS），推出AE＝FT，可知AE+CF＝FT+CF≥CF，求出CF，可得结论．
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CBF＝90°，AB＝CD＝3，
∵DE＝2，
∴EC＝CD﹣DE＝1，
∵BF＝EC＝1，
∴CF＝＝＝，
故答案为：．
（2）延长CB到M，使得BM＝BC，过点M作MT⊥MC，且MT＝AB，连接BT，TF，CT．
在△ABC和△TMB中，
，
∴△ABC≌△TMB（SAS），
∴AC＝BT，∠ACB＝∠TBM，
∵∠ACB+∠DCB＝90°，∠TBM+∠TBF＝90°，
∴∠TBF＝∠ACE，
在△ACE和△TBF中，
，
∴△ACE≌△TBF（SAS），
∴AE＝FT，
∴AE+CF＝FT+CF，
∵CF+FT≥CF，CF＝＝＝5，
∴AE+CF≥5，
∴AE+CF的最小值为5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：6﹣5﹣+3．
（2）计算：﹣（x+）．
（3）解方程：x2+4x﹣2＝0．
【分析】（1）原式合并同类二次根式即可得到结果；
（2）原式各项化为最简二次根式，去括号合并即可得到结果；
（3）找出方程中的a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根 公式即可求出解．
【解析】（1）原式＝+2；
（2）原式＝2﹣（+）
＝2﹣2
＝0；
（3）x2+4x﹣2＝0，
这里a＝1，b＝4，c＝﹣2，
∵b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣2）＝24，
∴x＝＝＝﹣2±，
则x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
20．某学校开展了防溺水知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了统计图（部分信息未给出）．
根据图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图；
（2）这次测试成绩的中位数是什么等级？
（3）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
【分析】（1）根据基本合格人数和已知百分比求出总人数即可解决问题，计算合格的频数即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义判断即可．
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解析】（1）被抽查的学生人数是30÷15%＝200（人）．
合格人数为200﹣30﹣80﹣40＝50（人）．
补全频数分布直方图如图：
（2）200个数据从小到大排列处在中间位置的两个数是第100、101位的两个数的平均数，
所以这次测试成绩的中位数会落在良好等级；
（3）（人）．
答：该校获得优秀的学生有300人．
21．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，CD＝7，AD＝1．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求△ABD的面积．
【分析】（1）连接AC，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）过D点作DE⊥BC于E，根据勾股定理和三角形面积公式即可求得△ABD的面积．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝BC＝5，
∴AC2＝AB2+BC2＝52+52＝25+25＝50，
∵CD＝7，AD＝1，
∴CD2+AD2＝72+12＝49+1＝50，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
即∠ADC＝90°；
（2）解：过D点作DE⊥BC于E，
设BE＝x，则CE＝5﹣x，DE＝，
则AB•BC+AD•CD＝AB•BE+BC•DE，
即×5×5+×1×7＝×5x+×5，
解得x1＝，x2＝（不合题意舍去），
则△ABD的面积为×5×＝2．
22．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上．
（1）请在网格中画出平行四边形ABCD，使AD＝（点C，D都在正方形网格的格点上，画出一个符合题意的图形即可）；
（2）在（1）中所画出的平行四边形ABCD的对角线BD的长是 ．
【分析】（1）根据平行四边形的判定以及数形结合的思想解决问题即可．
（2）利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）如图，平行四边形ABCD即为所求．
（2）BD＝＝，
故答案为：．
23．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝16cm，BD＝12cm，DH⊥AB于点H．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）求DH的长．
【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，利用菱形的四条边相等求出菱形的周长；
（2）利用菱形的面积公式计算即可得DH的长．
【解析】（1）在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC＝16cm，BD＝12cm，
∴OA＝AC＝×16＝8cm，OB＝BD＝×12＝6cm，
在Rt△AOB中，AB＝＝10cm，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40cm，
（2）∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝AB×DH，
即×16×12＝10×DH，
解得DH＝9.6（cm）．
24．我们把一个式子或一个式子部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫做配方法，配方法常常用于恒等变形、化简求值、解一元二次方程、求最值等问题．
（1）已知三角形ABC的三边长a、b、c都是正整数，并且满足a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，求三角形ABC的周长，你能利用配方法解决这个问题吗？
（2）某商品现在每件盈利10元，每天可卖出30件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件，当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？
【分析】（1）由a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0得（a﹣3）2+2（b﹣1）2＝0，据此知a＝3、b＝1，继而根据三角形三边关系确定c的范围，结合c是正整数可得c＝3，从而得出答案；
（2）设每件商品涨价x元，每天的利润为（10+x）（30﹣x）＝﹣（x﹣10）2+400，由（x﹣10）2≥0知﹣（x﹣10）2+400≤400，从而得出答案．
【解析】（1）∵a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，
∴a2﹣6a+9+2b2﹣4b+2＝0，即（a﹣3）2+2（b﹣1）2＝0，
则a﹣3＝0且b﹣1＝0，
解得a＝3，b＝1，
∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4，
∵c是正整数，
∴c＝3，
则△ABC的周长为3+1+3＝7；
（2）设每件商品涨价x元，
每天的利润为（10+x）（30﹣x）
＝﹣x2+20x+300
＝﹣（x﹣10）2+400，
∵（x﹣10）2≥0，
∴﹣（x﹣10）2≤0，
则﹣（x﹣10）2+400≤400，
∴当x＝10时，﹣（x﹣10）2+400取得最大值400，
答：当每件商品涨价10元时，每天的利润最大．
25．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
（1）求∠EAG的度数；
（2）求证：AG∥CF；
（3）若AB＝6，则△GCF的面积等于 ．
【分析】（1）由正方形性质及折叠性质可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则BAG＝∠FAG＝∠BAF，所以∠EAG＝（∠BAF+∠DAF）＝×90°＝45°；
（2）设BG＝FG＝x，DE＝EF＝a，则BC＝CD＝3a，CE＝2a．在Rt△ECG中，由勾股定理有CG2+CE2＝EG2，即（3a﹣x）2+（2a）2＝（x+a）2，得x＝．利用三角形外角关系可得∠BGF＝∠GCF+∠GFC＝2∠GCF，利用折叠性质可得∠BGF＝2∠BGA，从而∠GCF＝∠BGA，可证明AG∥CF；
（3）由题意及第（2）问可知，AB＝6，FG＝BG＝GC＝3，EC＝4，由勾股定理可求GE＝5．则S△CEG＝＝＝6，由于△CEG与△GCF为等高不同底的两个三角形，则二者面积之比为底之比，即S△CEG：S△GCF＝GE：GF＝5：3，从而可得答案．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，
由折叠性质可知，∠DAE＝∠FAE＝∠DAF，AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG＝∠FAG＝∠BAF，
∴∠EAG＝（∠BAF+∠DAF）＝×90°＝45°．
（2）证明：设BG＝FG＝x，DE＝EF＝a，则BC＝CD＝3a，CE＝2a．
在Rt△ECG中，由勾股定理有CG2+CE2＝EG2，
即（3a﹣x）2+（2a）2＝（x+a）2，
解得：x＝．
∴FG＝BG＝GC，
∴∠GCF＝∠GFC，
∵∠BGF＝∠GCF+∠GFC＝2∠GCF，∠BGF＝2∠BGA，
∴∠GCF＝∠BGA，
∴AG∥CF．
（3）由题意及第（2）问可知，AB＝6，FG＝BG＝GC＝3，EC＝4，
则由勾股定理可得：GE＝＝＝5，
∴S△CEG＝＝＝6，
由于△CEG与△GCF为等高不同底的两个三角形，则二者面积之比为底之比，
即S△CEG：S△GCF＝GE：GF＝5：3，
∴S△GCF＝＝．
故答案为：．
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