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专题15 二次函数 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练
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这是一份专题15 二次函数 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练，共45页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
专题15 二次函数 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练
一、单选题
1．（2022·烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣12，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
2．（2022·东昌府模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(-2，0)，且对称轴为直线x=-12，有下列结论：
①abc<0；②a+b>0；③4a-2b+3c<0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过(-c2a，0)；⑤4am2-4bm+b≤0．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·兖州模拟）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣13，﹣13），（﹣2，﹣2），…，都是和谐点．若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（32，32），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣34（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，m的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m≥2 C．2≤m≤4 D．2＜m＜4
4．（2022·牡丹模拟）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，与x轴的交点为(x1，0)、(x2，0)，其中00；②4a-2b+c>-1；③-3
A．①③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①④⑤
5．（2022·济南模拟）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜14 D．c＞-14
6．（2022·青岛模拟）若一元二次方程ax2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则二次函数y=ax2+bx+3的图象与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·威海）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是（ ）
A．b＞0
B．a+b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图象上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0
8．（2022·潍坊）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A．-14 B．14 C．-4 D．4
9．（2022·济南模拟）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A．c<-3 B．-3-14
10．（2022·庆云模拟）在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．已知点(-1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在该抛物线上．若mn<0，则y1，y2，y3的大小为（ ）．
A．y1
11．（2022·东营模拟）如图，抛物线y=14x2-4与x轴交于A、B两点，P是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是 ．
12．（2022·威海模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
则这条抛物线的解析式为 ．
13．（2022·东明模拟）抛物线y=ax2+bx+c经过点A(2，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 ．
14．（2022·高青模拟）已知点A（2，4），B（0，1），点M在抛物线y＝ 14x2上运动，则AM＋BM的最小值为 ．
15．（2022·济南模拟）一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是 cm．
16．（2022·临淄模拟）对于任意实数a，抛物线 y=x2+2ax+a+b 与x轴至少有一个公共点，则b的取值范围是 ．
17．（2022·泰安模拟）如图．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线x=-1，结合图象给出下列结论：①a+b+c=0；②a-2b+c<0；③若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5(a≠0)的一根是3，则另一根是-5；④若点(-4，y1)，(-2，y2)，(3，y3)均在二次函数图象上，则y1
18．（2022·梁山模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1且经过点(-1，0)，则下列结论：①b2-4ac>0；②abc>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0.正确结论的是 (填序号)．
19．（2022·聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．
20．（2022·济南模拟）一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是 cm．
三、综合题
21．（2022·牡丹模拟）“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至．某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；
（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
22．（2022·东昌府模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，且B(0，4)，∠BAO=45°，同时交反比例函数y=mx在第一象限的图象于点C(a，5)，反比例函数图象上的点P的纵坐标n(0
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△PDQ面积的最大值．
23．（2022·莱芜模拟）抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标：
（2）如图，连接CD、CB，在直线BC上方的抛物线上找点P，使得∠PCB=∠DCB，求出P点的坐标：
（3）点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2022·章丘模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求抛物线的函数表达式：
（2）设抛物线的顶点为D，与y轴相交与点C，连接AC、CD、BC、BD，请你判断∠ACO与∠DBC的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接AD，与BC相交于点E，点G是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点F，使得∠EFG=90°，且tan∠FEG=12如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．（2022·东昌府模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4)．连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的函数表达式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts，当t为何值时，△BPQ的面积最大？
（3）当抛物线的对称轴上有一点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形时，求出点M的坐标．
26．（2022·烟台）如图，已知直线y＝43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2022·高唐模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－33x2＋233x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC．当△PBC的面积最大时，在线段BC上找一点E(不与B、C重合)，使PE+12BE的值最小，求点P的坐标和PE+12BE的最小值；
（3）如图3，点G是线段CB的中点，将抛物线y＝－33x2＋233x＋3沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y′经过点D，y'的顶点为F．在抛物线y'的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2022·青岛模拟）2022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，玩具的进价为每件30元，物价部门规定其每件的售价不低于进价且利润不高于进价的90%，根据市场调查发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示，在销售过程中每天还要支付其他费用共850元.
（1）求日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式；
（2）求该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式；
（3）当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元?
29．（2022·德城模拟）已知：抛物线C1：y1=-x2+4x-3与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，将C1绕点A旋转180゜得到C2：y2=ax2+bx+c交x轴与点N
（1）求C2的解析式
（2）求证：无论x取何值恒y1≤y2
（3）当-x2+4x-3≤mx+n≤ax2+bx+c时，求m和n的值．
（4）直线l：y=kx−2经过点N，D是抛物线c2上第二象限内的一点，设D的横坐标为q，作直线AD交抛物线c1于点M，交直线l于点E，若DM＝2ED，求q值
30．（2022·市南区模拟）某电子公司前期投入240万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出这种市场热销的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为8元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该电子公司销售这种电子产品的年利润为S（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本）
（1）请求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的出函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润S（万元）与销售价格x（元/件）之间的出函数关系式，并求出第一年年利润的最大值（第一年年利润=总售价-总成本-研发费用）；
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润S（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x定在12元以上（x＞12），若年销售量与每件销售价格仍满足（1）的关系，当第二年的年利润不低于44万元时，求出第二年销售量的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，-b2a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：-b2a＝-12，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据对称轴、开口方向与y的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，再由对称轴可知 a=b，将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，可得4a﹣2b+c＝0，再由二次函数最小值小于0，从而判断ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，即可得出答案。
2．【答案】B
【解析】【解答】①图像开口朝下，故a＜0，根据对称轴x=-12可知b<0，
图像与y轴交点位于x轴上方，可知c>0
∴abc>0
故①不符合题意；
②x=-b2a=-12得a=b
∴a+b<0
故②不符合题意；
③∵y=ax2+bx+c经过(-2，0)
∴4a-2b+c=0
又由①得c>0
∴4a-2b+3c>0
故③不符合题意；
④根据抛物线的对称性，得到x=-2与x=1时的函数值相等
∴当x=1时y=0，即a+b+c=0
∵a=b
∴2a+c=0即-c2a=1
∴y=ax2+bx+c经过(-c2a，0)，即经过(1，0)
故④符合题意；
⑤当x=-12时，y=14a-12b+c， 当x=m时，y=am2+bm+c
∵a<0
∴ 函数有最大值14a-12b+c
∴am2+bm+c≤14a-12b+c
化简得4am2+4bm+b≤0，
故⑤符合题意．
综上所述：④⑤符合题意．
故答案为：B．
【分析】由图像开口朝下得a＜0，根据对称轴x=-12可知b<0，由图像与y轴交点位于x轴上方，可知c>0，可得abc>0，a+b＜0，据此判断①②；将点(-2，0)代入抛物线解析式中可得4a-2b+c=0，结合c>0可得4a-2b+3c>0，据此判断③；根据抛物线的对称性及对称轴x=-b2a=-12，可得x=-2与x=1时的函数值相等及a+b=0，从而得当x=1时y=a+b+c=0 ，求出2a+c=0即-c2a=1 ，由于抛物线过（1，0），即得 y=ax2+bx+c经过(-c2a，0)，据此判断④；由于x=-12时，函数有最大值y=14a-12b+c，从而得出当x=m时，y=am2+bm+c≤14a-12b+c，整理化简即可判断⑤.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：将点(32，32)代入y=ax2+4x+c得：94a+4×32+c=32，即9a+4c=-18，
∵二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(32，32)，
∴二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)与y=x有且只有一个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c=x只有一个实数根，
∴此方程根的判别式Δ=9-4ac=0，即4ac=9，
联立9a+4c=-184ac=9，解得a=-1c=-94，
则函数y=ax2+4x+c-34为y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，
当y=-3时，-x2+4x-3=-3，解得x=0或x=4，
画出二次函数y=-x2+4x-3的图象如下：
则当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增大而减小；当x=2时，y取得最大值，最大值为1，
∵当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，
∴2≤m≤4，
故答案为：C．
【分析】将点(32，32)代入y＝ax2+4x+c中，可得9a+4c=-18①，由于y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(32，32)，可得二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)与y=x有且只有一个交点，即得关于x的一元二次方程ax2+4x+c=x只有一个实数根，从而得出Δ=9-4ac=0②，联立①②可得a=-1，c=-94，可得函数y=ax2+4x+c-34为y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，画出函数图象，根据函数图象及最小值为﹣3，最大值为1，可确定m的范围.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线与y轴有2个交点，
∴b2−4ac＞0，①符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x＝−1，x＝0时，y＜−1，
∴x＝−2时，y＝4a−2b＋c＜−1，
∴②不符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x＝−1，0＜x2＜1，
∴−3＜x1＜−2，③符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x＝−1，抛物线开口向上，
∴x＝−1时，y＝a−b＋c为最小值，
∴a−b＋c≤am2＋bm＋c，
∴a−b≤am2＋bm，④符合题意．
∵-b2a＝-1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝a＋b＋c＝3a＋c＞0，
∴⑤不符合题意．
正确的结论有：①③④，
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系判断出a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：设二次函数y＝x2+2x+c有两个不相等的不动点为x1，x2，
∴x1，x2是方程x2+2x+c=x的两个根，
∴x2+x+c=0，
∴△=1-4c＞0，
∴c＜14，
∵两个不动点均小于1，
如图，画出二次函数的图象，
∴当x=1时，y= x2+2x+c=2+c＞0，
∴c＞-2，
∴-2＜c＜14.
故答案为：C.
【分析】根据不动点的定义得出x1，x2是方程x2+2x+c=x的两个根，根据根的判别式得出c＜14，再根据两个不动点均小于1，得出当x=1时，y＞0，得出c＞-2，即可得出c的取值范围.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+3=0有两个不相等的实数根，
∴二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴有两个交点，故C不符合题意；
A、由二次函数y=ax2+bx+3的图象得a>0，b<0，与一次函数y=2ax+b的a、b的取值相符，故符合题意；
B、由二次函数y=ax2+bx+3的图象得a>0，b>0，与一次函数y=2ax+b的a、b的取值不相符，故不符合题意；
D、由二次函数y=ax2+bx+3的图象得a<0，与一次函数y=2ax+b的a的取值不相符，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：根据图像知，当x=1时，y=a+b>0，
故B不符合题意，
∵a<0，
∴b>0，故A不符合题意；
由题可知二次函数对称轴为x=-b2a=1，
∴b=-2a，
∴a+b=a-2a=-a>0，故B不符合题意；
根据图像可知x=2是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，故C不符合题意，
若点(x1，y1)，(x2，y2)在二次函数的图象上，
当x1>x2>2时，y1
【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质逐项判断即可。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1-4c=0，
解得：c=14．
故答案为：B．
【分析】抛物线与x轴有一个交点，x2+x+c=0有两个相等的实数根，根据根的判别式即可得解。
9．【答案】C
【解析】【解答】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a=a2+2a+c，即a2+a+c=0，
∵二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，
∴关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，
设这两个实数根为a1、a2，则a1+a2=-1，a1•a2=c，
∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，
∴Δ=1-4c＞0①，
且（a1-1）+（a2-1）＜0②，
（a1-1）（a2-1）＞0③，
由①得c＜14，
∵a1+a2=-1，
∴②总成立，
由③得：a1•a2-（a1+a2）+1＞0，即c-（-1）+1＞0，
∴c＞-2，
综上所述，c的范围是-2＜c＜14，
故答案为：C．
【分析】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a2+a+c=0，根据二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有Δ=1-4c＞0，且（a1-1）+（a2-1）＜0，（a1-1）（a2-1）＞0，即可解得c的范围是-2＜c＜14。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵y=ax2+bx(a>0)，
∴抛物线开口向上且经过原点，
∵mn<0，
∴当b = 0时，抛物线顶点为原点，x>0时，y随x增大而增大， 0＜m＜n，不满足题意，
当b> 0时，抛物线对称轴在y轴左侧，x>0时，y随x增大而增大， n>m >0，不满足题意，
∴b<0，抛物线对称轴在y轴右侧，
当x=1时，m <0，当x= 3时，n >0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和3之间，
∴抛物线对称轴在直线x=32，与直线x=12之间，
即12<-b2a<32，
∴点(2，y2)与对称轴距离12<2-(-b2a)<32，
点(-1，y1)与对称轴距离32<-b2a-(-1)<52，
点(4，y3)与对称轴距离52<4-(-b2a)<72，
∴y2
【分析】根据a>0，可知开口向上，根据（0，0）、mn<0以及抛物线的对称性分类讨论对称轴的位置可知对称轴相比于x=3更靠近x=1，由此可得出结论
11．【答案】32
【解析】【解答】如图，连接PB，
∵抛物线y=14x2-4与x轴交于A、B两点，
∴14x2-4=0，
解得x=4或x=-4，
∴A(-4，0)，B(4，0)，
∴OA=OB，
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
∴OQ=12BP，当BP最小时，OQ最小，
设BC与圆较近的交点为D，
∵点C(0，3)，B(4，0)，
∴BC=32+42=5，
∵圆的半径为2，
∴BD=5-2=3，
∴OQ=12BD=32，
根据圆的性质，当P位于BC与圆的第一个交点位置时，取得最小值，
∴OQ=32，
故答案为：32．
【分析】连接PB，由y=14x2-4求出y=0时x值，即得A(-4，0)，B(4，0)，可得OA=OB，即得OQ是△ABP的中位线，可得OQ=12BP，当BP最小时，OQ最小，设BC与圆较近的交点为D，当P与D重合时，BP最小，利用勾股定理求出BC=5，可求BD=BC-CD=3，即得OQ的最小值=12BD=32.
12．【答案】y=-x2+2x+3
【解析】【解答】根据表格可得到点（-1，0）、（0，3）、（3，0）
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)
将（0，3）代入解析式得3=-3a
解得a=-1
∴解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3
故答案为：y=-x2+2x+3．
【分析】根据待定系数法求解析式即可.
13．【答案】x1=2，x2=4
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+bx+c经过点A(2，0)、B(4，0)两点，
∴ 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=4.
故答案为：x1=2，x2=4.
【分析】根据二次函数的图象与一元二次方程的关系可得x1=2，x2=4。
14．【答案】5
【解析】【解答】解：设点M（m， 14m2），
则点M到x轴距离为 14m2，BM＝ (m-0)2+(14m2-1)2 ＝ 14m2＋1，
∴点M到点B的距离与点M到直线y＝﹣1的距离相等，
∵点A横坐标为x＝2，
∴点M为直线x＝2与抛物线交点，
如图，设直线x＝2与直线y＝﹣1交点 B' （2，﹣1），
∴AB' 为AM＋BM最小值，AB'＝4﹣（﹣1）＝5，
故答案为：5．
【分析】设点M（m， 14m2），用含m代数式表示BM=14m2＋1，可得点M到点B的距离与点M到直线y=-1的距离相等，进而求解即可。
15．【答案】23
【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则点A的坐标为（-2，8），点B的坐标为（2，8），
设抛物线的解析式为y=ax2，
代入点A的坐标，得：8=4a，
解得：a=2，
∴抛物线的解析式为y=2x2，
令y=6，得：6=2x2，
解得：x=± 3，
∴CD=3-（-3）=23（cm）．
故答案为：2 3．
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后根据图中数据确定点A和点B的坐标，从而利用待定系数法确定二次函数的解析式，然后求得C、D两点的坐标，从而求得水面的宽度．
16．【答案】b≤- 14
【解析】【解答】解：∵对于任意实数a，抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有交点，
∴△≥0，则（2a）2-4（a+b）≥0，
整理得b≤a2-a，
∵a2-a=（a- 12 ）2- 14 ，
∴a2-a的最小值为- 14 ，
∴b≤- 14 ，
故答案为b≤- 14 ．
【分析】将二次函数的图象与x轴的交点个数转化为一元二次方程根的判别式列出不等式（2a）2-4（a+b）≥0，可得b≤a2-a，再根据a2-a=（a- 12 ）2- 14 求解即可。
17．【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵抛物线过点（1，0），
∴a+b+c=0．
∴①符合题意．
∵抛物线的对称轴是x=-1，开口向下，
∴a＞0，-b2a=-1．
∴b=2a＞0．
∵当x=-1时，y＜0．
∴a-b+c＜0，
∴a-b+c-b＜0．
∴a-2b+c＜0．
∴②符合题意．
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5(a≠0)的一根是3，且抛物线对称轴为x=-1，
∴另一根是-5．
∴③符合题意．
点（-4，y1）到对称轴的距离为：-1-（-4）=3．
（-2，y2）到对称轴的距离为：-1-（-2）=1，
（3，y3）到对称轴的距离为：3-（-1）=4．
∵抛物线开口向上．
∴y3＞y1＞y2．
∴④不符合题意．
故答案为：①②③．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质逐项判断即可。
18．【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，故结论①符合题意；
∵抛物线开口向上、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于负半轴，
∴a>0，b<0，c<0，
∴abc>0，故结论②符合题意；
∵对称轴为直线x=1，
∴-b2a=1，即b=-2a，
由图象可知：当x=-2时，y=4a-2b+c>0，
∴4a-2×(-2a)+c>0，
∴8a+c>0，故结论③符合题意；
∵对称轴为直线x=1，过点(-1，0)，
∴抛物线过点(3，0)，
∴当x=3时，过点，故结论④不符合题意；
故答案为①②③．
【分析】
①根据抛物线与x轴有两个交点，可知b2-4ac>0；
②根据抛物线开口向上、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于负半轴，可知 abc>0 ；
③根据图像可知当x=-2时，y>0结合对称轴为x=1即可判断结论；
④根据对称轴和抛物线经过点(-1，0)可判断抛物线过点 (3，0)，可得 9a+3b+c=0.可判断结论。
19．【答案】121
【解析】【解答】解：当10≤x≤20时，设y=kx+b，，把（10，20），（20，10）代入可得：
10k+b=2020k+b=10，
解得k=-1b=30，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y=-x+30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w=(x-8)y=(x-8)(-x+30)=-x2+38x-240=-(x-19)2+121，
∵-1<0，
∴当x=19时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【分析】先结合函数图象利用待定系数法求出一次函数解析式y=-x+30，再设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，根据题意列出函数解析式w=(x-8)y=-(x-19)2+121，再利用二次函数的性质求解即可。
20．【答案】23
【解析】【解答】如图建立直角坐标系．
则点A的坐标为（-2，8），点B的坐标为（2，8），
设抛物线的解析式为y=ax2，
代入点A的坐标得8=4a，
解得：a=2，
所以抛物线的解析式为y=2x2，
令y=6得：6=2x2，
解得：x=±3，
所以CD=3-（-3）=23（cm）．
故答案为：23．
【分析】如图建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，将点Ａ的坐标代入y=ax2，求出a的值，再将y=6代入y=2x2，求出x的值，再利用两点之间的距离公式可得CD=3-（-3）=23。
21．【答案】（1）解：根据题意得：y=300-10(x-44)=-10x+740，(44≤x≤52)；
（2）解：根据题意可得：(x-40)(-10x+740)=2400，
整理得：x2-114x+3200=0 ，
解得：x1=50，x2=64（不符合题意，舍去），
答：每个纪念品的销售单价为50元时，商家每天获得2400元．
（3）解：由题意，得w=(x-40)(-10x+740)，
=-10x2+1140x-29600，
=-10(x-57)2+2890，
∵a=-10＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=57，
当x≤57时，w随x的增大而增大．
∵44≤x≤52，
∴当x=52时，w有最大值，
此时，w=-10×(52-57)2+2890=2640，
答：销售单价定为52元时，该超市每天的利润最大，最大利润是2640元．
【解析】【分析】（1）根据题意列出一次函数的解析式y=300-10(x-44)=-10x+740即可；
（2）利用“总利润=每件的利润×数量”可得方程(x-40)(-10x+740)=2400，再求出x的值即可；
（3）根据题意列出函数解析式w=(x-40)(-10x+740)，再利用二次函数的性质求解即可。
22．【答案】（1）解：∵B(0，4)，∠BAO=45°，
∴A（－4，0），
把A（－4，0），B(0，4)代入一次函数y=kx+b，
得：0=-4k+b4=b
解得：k=1b=4，
∴一次函数的关系式为：y=x+4；
把C(a，5)代入y=x+4，
得：5=a+4，
解得：a=1，
∴C(1，5)，
把C(1，5)代入反比例函数y=mx，
得m=5，
∴反比例函数的表达式为：y=5x
（2）解：∵反比例函数图象上的点P的纵坐标n(0
∵PQ∥x轴交直线AB于点Q，
∴Q（n-4，n）
∴PQ=5n-n+4，
∴S△PDQ=12PQ×yP=12×(5n-n+4)×n=-12n2+2n+52=-12(n-2)2+92
∵0
∴△PDQ面积的最大值为92
【解析】【分析】（1）先求出A（-4，0），利用待定系数法求出一次函数的关系式为y=x+4，把C（a，5）代入解析式中求出a值即得点C坐标，再将点C坐标代入y=mx中求出m值即可；
（2）由点P在反比例函数图象上，可得P（5n，n） ，由于PQ∥x轴可得Q（n-4，n） 从而求出PQ=5n-n+4 ，继而得出S△PDQ=12PQ×yP=-12n2+2n+52 ，根据二次函数的性质即可求解.
23．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1，0)，B(3，0)，
∴a-b+3=09a+3b+3=0，
解得a=-1b=2，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
对称轴为直线x=-b2a=-22×(-1)=1，
∴对称轴与x 轴的交点D坐标为（1，0）
（2）解：过点B作BE⊥OB交CP于E，
当x=0时，y=3，
∴C（0，3）
又B（3，0），
∴BO=CO=3，
又∠BOC=90°，
∴∠CBO=45°，
∴∠CBE=45°，
∴∠CBO=∠CBE，
又∠DCB=∠ECB，CB=CB，
∴△BCD≌△BCE，
∴BD=BE，
又B（3，0），D（1，0），
∴BE=BD=2，
∴点E坐标为（3，2），
设直线CE解析式为y=mx+n，
则3m+n=2n=3，
解得m=-13n=3，
∴直线CE解析式为y=-13x+2，
联立方程组y=-x2+2x+3y=-13x+3，
解得x=73y=209，
∴点P坐标为（73，209）；
（3）解：①以CD为边时，则MC=CD
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=-x+3，
设M（x0，-x0+3）
∴(x0-0)2+(-x0+3-3)2=(0-1)2+(3-0)2，
解得x0=±5，
∴M（5，3-5）或（-5，5+3）；
②以CD为对角线时，则MN⊥CD，
∴kMN⋅kCD=-1，
∵C（0，3），D（1，0）
∴直线CD解析式为y=-3x+3，CD中点坐标为（12，32），
∴kMN=13，
又直线MN经过CD中点，
∴直线MN解析式为y=13x+43，
联立方程组y=-x+3y=13x+43，
解得x=54y=74，
∴M（54，74）．
综上所述，当M坐标为（5，3-5）或（-5，5+3）或（54，74）时，以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式，再求对称轴即得点D坐标；
（2） 过点B作BE⊥OB交CP于E， 先求出点E坐标，再求出 直线CE 解析式，然后联立抛物线解析式为方程组，解之即得点P坐标；
（3）分两种情况： ①以CD为边时，则MC=CD，②以CD为对角线时，则MN⊥CD，据此分别求解即可.
24．【答案】（1）解：将点A(-1，0)B(3，0)代入y=-x2+bx+c得：
-1-b+c=0-9+3b+c=0，
解得：b=2c=3，
所以抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴D(1，4)，
令x=0，则y=3，
∴C(0，3)，
∴AO=1，CO=3，
∴tan∠ACO=13，
∵A(-1，0)，B(3，0)，D(1，4)，
BC=32，CD=2，BD=25，
∴BD2=BC2+CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD=90°，
∴tan∠DBC=CDBC=232=13，
∴∠ACO=∠DBC；
（3）解：存在点F，使得∠EFG=90°，且tan∠FEG=12，理由如下：
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4
抛物线的对称轴为直线x=1，
设直线的解析式为y=kx+b，得，
3k+b=0b=3，
解得：k=-1b=3，
设直线AD的解析式为y=k1x+b1，可得，
-k1+b1=0k1+b1=4，
解得：k1=2b1=2，
∴y=2x+2，
联立方程组y=2x+2y=-x+3，
解得：x=13y=83，
∴E(13，83)，
设F(1，t)，
如图1，当G点在对称轴的右侧，F点在E点下方时，
过点F作MN⊥y轴，过E点作EM⊥x轴交MN于点M，过点G作GN⊥MN交于N点，
∵∠EFG=90°，
∴∠EFM+∠FEM=90°，∠EFM+∠GFN=90°，
∴∠FEM=∠GFN，
∴△EFM∼△FGN，
∴EFFG=EMGN=MFFN，
∵tan∠FEG=12，
∴FGEF=12
∴FN=12EM，GN=12MF
∵FM=83-t，MF=1-13=23
∴FN=43-12t，GN=13，
∴G(73-12t，t+13)，
∴t+13=-(73-12t)2+2(73-12t)+3，
∴t1=22+23（舍去），t2=-22+23，
∴F(1，-22+23)；
如图2，当G点对称轴的左侧，F点在E点下方时，
过E点作EK垂直对称轴交于点K，过点F作FH⊥y轴，过点G作GH⊥HF交于H，
∵∠EFG=90°，
∴∠HFG+∠HFE=90°，
∵∠HFE+∠EFK=90°，
∴∠HFG=∠EFK ，
∴△HGF∼△KEF，
∴GFEF=GHKF=HFFK，
∵tan∠FEG=12，
∴GFEF=12，
∴HG=12EK，HF=12KF，
∵KF＝83-t，EK＝1-13＝23，
∴HF＝43-12t，HG＝13，
∴G(12t-13，t-13)，
∴t-13=-(12t-13)2+2(12t-13)+3，
解得：t1=-463+23或t2=463+23（舍去），
∴F(1，-463+23)；
如图3，当F点在E点上方时，此时G点在对称轴的右侧，
过点F作PQ∥x轴，过点E作EP⊥PQ交于点P，过点G作GQ⊥PQ交于点Q，
∵∠EFG=90°，
∴∠PFE+∠QFG=90°，
∵∠PFE+∠PEF=90°，
∴∠QFG=∠PEF，
∴△PEF∼△QFG，
∴EFFG=PFQG=PEFQ，
∵tan∠FEG=12，
∴FGEF＝12，
∴PF=2QG，PE=2FQ，
∵PF=23，PE=t-83，
∴QG=13，FQ=12t-43，
∴G(12t-13，t-13)，
∴t-13=-(12t-13)2+2(12t-13)+3，
解得：t1=2+463t2=2-463，
∵83
综上可得：点的坐标为(1，-22+23)或(1，23+463)或(1，-463+23)．
【解析】【分析】（1）待定系数法求方程解析式
（2）判定△BCD为直角三角形，分别求出tan∠ACO、tan∠DBC，可得俩个角相等
（3）利用直线AD、BC解析式求出点E坐标，设F（1，t），分三种情况讨论：
G点在对称轴右侧，F点在E点下方时；G点在对称轴左侧，F点在E点下方时；当F点在E点上方时， 此时G点在对称轴的右侧
25．【答案】（1）解：∵直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，
∴A(5，0)，B(0，10)，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过O，A，C三点，且点C的坐标是(8，4)，
∴25a+5b+c=064a+8b+c=4c=0，
解得a=16b=-56c=0，
∴抛物线的解析式为y=16x2-56x．
∵AB2=52+102，AC2=(8-5)2+(4-0)2=52，BC2=(8-0)2+(10-4)2=102，
∴AB2=AC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+10，
∴8k+10=4，
解得k=-34，
∴直线BC的解析式为y=-34x+10，
设Q（m，-34m+10），过点Q作QR⊥y轴，垂足为R，过点C作CN⊥y轴，垂足为N，则QR∥CN，
∵NC=8，BC=10，BQ=t，
∴QR8=t10
∴QR=45t即m=45t，
∵PO=2t，OB=10，
∴BP=10-2t，
∴S△BPQ=12(10-2t)×45t=-45t2+4t，
∴当t=-b2a=-42×(-45)=52时，面积有最大值．
（3）解：∵抛物线的解析式为y=16x2-56x
∴对称轴为直线x=-b2a=--562×16=52，
当AB=BM时，过点M作MD⊥y轴，垂足为D，
则DM=52，BM=AB=52+102=55，
∴BD=(55)2-(52)2=5192，
当点M在点B的上方时，
∴OD=BD+OB=10+5192=20+5192，
∴M1(52，20+5192)；
当点M在点B的下方时，
∴OD=OB-BD=10-5192=20-5192，
∴M2(52，20-5192)；
当AB=AM时，设对称轴与x轴的交点为E，
则AE=52，BM=AB=52+102=55，
∴ME=(55)2-(52)2=5192，
当点M在x轴的上方时，
∴ME=5192，
∴M3(52，5192)；
当点M在x轴的下方时，
∴ME=5192，
∴M4(52，-5192)；
当MA=MB时，M恰好落在对称轴上，三角形不存在；
综上所述，存在这样的点M，使得△ABM是等腰三角形，且点M的坐标分别为M1(52，20+5192)或M2(52，20-5192)或M3(52，5192)或M4(52，-5192)．
【解析】【分析】（1） 利用直线y=-2x+10求出A、B坐标，再将A、B、O坐标代入抛物线解析式中，求出a、b、c的值即可求出抛物线解析式；根据两点间的距离公式分别求出AB2、AC2、BC2，利用勾股定理逆定理进行判断即可；
（2） 先求出直线BC的解析式为y=-34x+10 ， 设Q（m，-34m+10），过点Q作QR⊥y轴，垂足为R，过点C作CN⊥y轴，垂足为N，则QR∥CN， 根据平行线分线段成比例可求出QR=m=45t ，由于BP=OB-PO=10-t，利用三角形面积公式求出S△BPQ=12(10-2t)×45t=-45t2+4t，根据二次函数的性质即可求解；
（3） 分三种情况：①当AB=BM时②当AB=AM时③当MA=MB，据此分别求解即可.
26．【答案】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，43x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣43，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣43（x﹣1）•（x+3）＝﹣43x2﹣83x+4；
（2）解：如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣43m2﹣83m+4），E（m，﹣43m+4），
∴DE＝﹣43m2﹣83m+4﹣（43m+4）＝﹣43m2﹣4m，
∴S△ADC＝12DE⋅OA＝32•（﹣43m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝12AB⋅OC＝12×4×3＝6，
∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+32）2+334，
∴当m＝﹣32时，S最大＝334，
当m＝﹣32时，y＝﹣43×(-32-1)×(-32+3)＝5，
∴D（﹣32，5）；
（3）解：设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝138，
∴P（﹣1，138），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣138＝198，
∴Q（﹣2，198）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，得出点D、E的坐标，推出DE的值，根据三角形面积公式求出的值，根据S△ABC＝6，得出S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+32）2+334，当m＝﹣32时，S最大＝334，当m＝﹣32时，y＝5，由此得解；
（3）设P（﹣1，n），由以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，得出PA2＝PC2，得出n的值，从而得出P点坐标，根据xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC，得出xQ＝198，由此得解。
27．【答案】（1）解：当x=0时，y=﹣33x2+233x+3=3，
∴点C的坐标为（0，3）；
当y=0时，有﹣33x2+233x+3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将B（3，0）、C（0，3）代入y=kx+b，得：
3k+b=0b=3，解得：k=-33b=3，
∴直线BC的解析式为y=﹣33x+3；
（2）解：如图2中，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点F，过点E作EN⊥x轴于点N，
设P（a，﹣33a2+233a+3），则F（a，﹣33a+3），
∴PF=﹣33a2+3a，
∴S△PBC=12×PF×3=﹣32a2 +332a，
∴当a=32时，S△PBC最大，
∴P（32，534），
∵直线BC的解析式为y=﹣33x+3，
∴∠CBO=30°，EN⊥x轴，
∴EN=12BE，
∴PE+12BE=PE+EN，
∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，N三点共线且垂直于x轴时，PE+12BE值最小，
∴PE+12BE=PE+EN=PN=534；
（3）解：存在，Q（3，32），（3，−235）．
【解析】【解答】解：（3）∵D是对称轴直线x=1与x轴的交点，G是BC的中点，
∴D（1，0），G（32，32），
∴直线DG解析式y=3x﹣3，
∵抛物线y=﹣33x2+233x+3=﹣33(x-1)2+433沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点D(1，0)，
∴y'═﹣33(x-3)2+433，
∴对称轴为直线x=3，F(3， 433)
∵△FGQ为直角三角形，
∴∠FGQ＝90°或∠FQG＝90°，∠GFQ＝90°（不合题意，舍去）
当∠FQG＝90°，则QG//x轴
∴Q（3，32）
当∠FGQ＝90°，设点Q坐标（3，y）
∵FQ2＝FG2+GQ2．
∴(433-y)2=(3-32)2+(433-32)2+(3-32)2+(32-y)2
∴y＝−235
∴Q（3，−235）
综上所述：Q（3，32），（3，−235）．
【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点F，过点E作EN⊥x轴于点N，设P（a，﹣33a2+233a+3），则F（a，﹣33a+3），利用S△PBC=12×PF×3=﹣32a2 +332a，求出a的值，即可得到点P的坐标，最后利用两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，N三点共线且垂直于x轴时，PE+12BE值最小，再求出PE+12BE=PE+EN=PN=534即可；
（3）分情况讨论：当∠FQG＝90°，当∠FGQ＝90°，再分别求解即可。
28．【答案】（1）解：根据题意，得：30≤x≤30+30×90%，即30≤x≤57
设y=kx+b
∴40k+b=18060k+b=120
∴k=-3b=300
∴日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式为：y=-3x+300(30≤x≤57)；
（2）解：结合（1）的结论，得该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式为：W=y(x-30)-850=(-3x+300)(x-30)-850=-3x2+390x-9850(30≤x≤57)；
（3）解：结合（2）的结论，得：W=-3x2+390x-9850(30≤x≤57)
∴W=-3x2+390x-9850的对称轴为：x=-3902×(-3)=65
∵-3<0
∴当x<65时，W随x的增大而增大
∵30≤x≤57
∴当x=57时，W取最大值
∴最大利润W=-3×572+390×57-9850=2633元．
【解析】【分析】（1） 利用物价部门规定其每件的售价不低于进价且利润不高于进价的90%， 可求出x的范围再利用待定系数法求出日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式即可；
（2）根据日销售利润=单件利润×日销售量-每天支付其他费用，列出W关于x的关系式；
（3）根据二次函数的性质求解即可.
29．【答案】（1）解：由抛物线C1：y1=-x2+4x-3与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，
令y1=0，即-x2+4x-3=0
解得x1=1，x2=3
∴A(1，0)，B(3，0)
∵y1=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，设C1的顶点为P
则C1的顶点坐标为(2，1)
将C1绕点A(1，0)旋转180°得到C2：y2=ax2+bx+c交x轴与点N
则点N(-1，0)
设C2顶点坐标为P'(a，b)，
则a+22=1b+12=0
∴a=0b=-1
∴P'(0，-1)
设C2的解析式为y2=ax2-1，将N(-1，0)代入得，a=1
∴y2=x2-1
（2）证明：∵y1=-x2+4x-3，y2=x2-1
∴y2-y1=x2-1-(-x2+4x-3)
=2x2-4x+2
=2(x-1)2
≥0
∴无论x取何值恒y1≤y2
（3）解：设直线为y=mx+n
当-x2+4x-3≤mx+n≤ax2+bx+c时，
即y1≤y≤y2
∴y=mx+n过点A(1，0)
则m+n=0，∴n=−m
由y=x2−1y=mx−m得
x2−1−mx+m=0
Δ=m2−4(m−1)=m2−4m+4=0
解得m=2
∴n=−2
（4）解：∵直线l：y=kx−2经过点N，D，
将点N(−1，0)代入，得 0=−k−2，解得k=−2
∴l：y=−2x−2
∵ D是抛物线c2上第二象限内的一点，设D的横坐标为q，
∴D(q，q2−1)且q<0
设直线AD为y=k1x+b
则A(1，0)
k1+b=0qk1+b=q2−1
解得k1=q+1b=−q−1
∴直线AD为y=(q+1)x−(q+1)
联立y=(q+1)x−(q+1)y=−2x−2
解得 x=q−1q+3y=−4q−4q+3
∴E(q−1q+3，−4q−4q+3)
∵y1，y2关于A点中心对称，
∴AD=AM=12DM
∵ DM＝2ED，
∴AD=ED
即点D为AE的中点
∵A(1，0)，D(q，q2−1)，E(q−1q+3，−4q−4q+3)
∴q−1q+3+1=2q−4q−4q+3=2(q2−1)
解得q=−1±2或q=−1（舍）
∵q<0
∴q=−1−2
【解析】【分析】（1）求出AB两点坐标，根据旋转180°的对称性以及待定系数法求出C2
（2）用y1-y2做差法
（3）由题意可知C与C2有且只有一个交点，所以直线y过公共点A，且联立直线与任意一条抛物线方程组可知只有一个切点，所以方程只有一个根，Δ=0
（4）用待定系数法求出l，根据D的坐标求出含有q值的AD直线表达式，联立与l的方程求出公共点E，根据y1、y2中心对称的性质，联立方程组求q
30．【答案】（1）解：设每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系y=kx+b，过点（12，20）（32，0），代入坐标得：
12k+b=2032k+b=0，
解得：k=-1b=32，
∴每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系y=-x+32；
（2）解：S=(x-8)(-x+32)-240=-(x-20)2-96，
∵a=-1＜0，函数开口向上，函数有最大值，
当x=20时，S最大=-96（万元）；
（3）解：第二年利润S=(x-8)(-x+32)-96，
令S=44，
得S=(x-8)(-x+32)-96=44，
整理得(x-20)2=4，
解得x-20=±2，
∴x1=18，x2=22，
在平面直角坐标系中画出S与x的函数图象可得，
观察示意图可知，
当S≥44时，18≤x≤22，
S=(x-8)(-x+32)-96=-(x-20)2+48，
当x=20时，S最大=48，
∴44≤S≤48，
答：当18≤x≤22时，第二年的年利润S不等于44万元，最大值为48万元．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用“利润=售价-进价”可得函数解析式S=(x-8)(-x+32)-240=-(x-20)2-96，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）利用二次函数的性质和图象求解即可
专题15 二次函数 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练
一、单选题
1．（2022·烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣12，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
2．（2022·东昌府模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(-2，0)，且对称轴为直线x=-12，有下列结论：
①abc<0；②a+b>0；③4a-2b+3c<0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过(-c2a，0)；⑤4am2-4bm+b≤0．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·兖州模拟）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣13，﹣13），（﹣2，﹣2），…，都是和谐点．若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（32，32），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣34（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，m的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m≥2 C．2≤m≤4 D．2＜m＜4
4．（2022·牡丹模拟）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，与x轴的交点为(x1，0)、(x2，0)，其中0
A．①③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①④⑤
5．（2022·济南模拟）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜14 D．c＞-14
6．（2022·青岛模拟）若一元二次方程ax2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则二次函数y=ax2+bx+3的图象与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·威海）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是（ ）
A．b＞0
B．a+b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图象上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0
8．（2022·潍坊）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A．-14 B．14 C．-4 D．4
9．（2022·济南模拟）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A．c<-3 B．-3
10．（2022·庆云模拟）在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．已知点(-1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在该抛物线上．若mn<0，则y1，y2，y3的大小为（ ）．
A．y1
11．（2022·东营模拟）如图，抛物线y=14x2-4与x轴交于A、B两点，P是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是 ．
12．（2022·威海模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
则这条抛物线的解析式为 ．
13．（2022·东明模拟）抛物线y=ax2+bx+c经过点A(2，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 ．
14．（2022·高青模拟）已知点A（2，4），B（0，1），点M在抛物线y＝ 14x2上运动，则AM＋BM的最小值为 ．
15．（2022·济南模拟）一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是 cm．
16．（2022·临淄模拟）对于任意实数a，抛物线 y=x2+2ax+a+b 与x轴至少有一个公共点，则b的取值范围是 ．
17．（2022·泰安模拟）如图．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线x=-1，结合图象给出下列结论：①a+b+c=0；②a-2b+c<0；③若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5(a≠0)的一根是3，则另一根是-5；④若点(-4，y1)，(-2，y2)，(3，y3)均在二次函数图象上，则y1
18．（2022·梁山模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1且经过点(-1，0)，则下列结论：①b2-4ac>0；②abc>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0.正确结论的是 (填序号)．
19．（2022·聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．
20．（2022·济南模拟）一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是 cm．
三、综合题
21．（2022·牡丹模拟）“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至．某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；
（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
22．（2022·东昌府模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，且B(0，4)，∠BAO=45°，同时交反比例函数y=mx在第一象限的图象于点C(a，5)，反比例函数图象上的点P的纵坐标n(0
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△PDQ面积的最大值．
23．（2022·莱芜模拟）抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标：
（2）如图，连接CD、CB，在直线BC上方的抛物线上找点P，使得∠PCB=∠DCB，求出P点的坐标：
（3）点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2022·章丘模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求抛物线的函数表达式：
（2）设抛物线的顶点为D，与y轴相交与点C，连接AC、CD、BC、BD，请你判断∠ACO与∠DBC的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接AD，与BC相交于点E，点G是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点F，使得∠EFG=90°，且tan∠FEG=12如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．（2022·东昌府模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4)．连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的函数表达式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts，当t为何值时，△BPQ的面积最大？
（3）当抛物线的对称轴上有一点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形时，求出点M的坐标．
26．（2022·烟台）如图，已知直线y＝43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2022·高唐模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－33x2＋233x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC．当△PBC的面积最大时，在线段BC上找一点E(不与B、C重合)，使PE+12BE的值最小，求点P的坐标和PE+12BE的最小值；
（3）如图3，点G是线段CB的中点，将抛物线y＝－33x2＋233x＋3沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y′经过点D，y'的顶点为F．在抛物线y'的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2022·青岛模拟）2022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，玩具的进价为每件30元，物价部门规定其每件的售价不低于进价且利润不高于进价的90%，根据市场调查发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示，在销售过程中每天还要支付其他费用共850元.
（1）求日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式；
（2）求该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式；
（3）当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元?
29．（2022·德城模拟）已知：抛物线C1：y1=-x2+4x-3与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，将C1绕点A旋转180゜得到C2：y2=ax2+bx+c交x轴与点N
（1）求C2的解析式
（2）求证：无论x取何值恒y1≤y2
（3）当-x2+4x-3≤mx+n≤ax2+bx+c时，求m和n的值．
（4）直线l：y=kx−2经过点N，D是抛物线c2上第二象限内的一点，设D的横坐标为q，作直线AD交抛物线c1于点M，交直线l于点E，若DM＝2ED，求q值
30．（2022·市南区模拟）某电子公司前期投入240万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出这种市场热销的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为8元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该电子公司销售这种电子产品的年利润为S（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本）
（1）请求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的出函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润S（万元）与销售价格x（元/件）之间的出函数关系式，并求出第一年年利润的最大值（第一年年利润=总售价-总成本-研发费用）；
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润S（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x定在12元以上（x＞12），若年销售量与每件销售价格仍满足（1）的关系，当第二年的年利润不低于44万元时，求出第二年销售量的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，-b2a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：-b2a＝-12，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据对称轴、开口方向与y的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，再由对称轴可知 a=b，将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，可得4a﹣2b+c＝0，再由二次函数最小值小于0，从而判断ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，即可得出答案。
2．【答案】B
【解析】【解答】①图像开口朝下，故a＜0，根据对称轴x=-12可知b<0，
图像与y轴交点位于x轴上方，可知c>0
∴abc>0
故①不符合题意；
②x=-b2a=-12得a=b
∴a+b<0
故②不符合题意；
③∵y=ax2+bx+c经过(-2，0)
∴4a-2b+c=0
又由①得c>0
∴4a-2b+3c>0
故③不符合题意；
④根据抛物线的对称性，得到x=-2与x=1时的函数值相等
∴当x=1时y=0，即a+b+c=0
∵a=b
∴2a+c=0即-c2a=1
∴y=ax2+bx+c经过(-c2a，0)，即经过(1，0)
故④符合题意；
⑤当x=-12时，y=14a-12b+c， 当x=m时，y=am2+bm+c
∵a<0
∴ 函数有最大值14a-12b+c
∴am2+bm+c≤14a-12b+c
化简得4am2+4bm+b≤0，
故⑤符合题意．
综上所述：④⑤符合题意．
故答案为：B．
【分析】由图像开口朝下得a＜0，根据对称轴x=-12可知b<0，由图像与y轴交点位于x轴上方，可知c>0，可得abc>0，a+b＜0，据此判断①②；将点(-2，0)代入抛物线解析式中可得4a-2b+c=0，结合c>0可得4a-2b+3c>0，据此判断③；根据抛物线的对称性及对称轴x=-b2a=-12，可得x=-2与x=1时的函数值相等及a+b=0，从而得当x=1时y=a+b+c=0 ，求出2a+c=0即-c2a=1 ，由于抛物线过（1，0），即得 y=ax2+bx+c经过(-c2a，0)，据此判断④；由于x=-12时，函数有最大值y=14a-12b+c，从而得出当x=m时，y=am2+bm+c≤14a-12b+c，整理化简即可判断⑤.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：将点(32，32)代入y=ax2+4x+c得：94a+4×32+c=32，即9a+4c=-18，
∵二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(32，32)，
∴二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)与y=x有且只有一个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c=x只有一个实数根，
∴此方程根的判别式Δ=9-4ac=0，即4ac=9，
联立9a+4c=-184ac=9，解得a=-1c=-94，
则函数y=ax2+4x+c-34为y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，
当y=-3时，-x2+4x-3=-3，解得x=0或x=4，
画出二次函数y=-x2+4x-3的图象如下：
则当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增大而减小；当x=2时，y取得最大值，最大值为1，
∵当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，
∴2≤m≤4，
故答案为：C．
【分析】将点(32，32)代入y＝ax2+4x+c中，可得9a+4c=-18①，由于y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(32，32)，可得二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)与y=x有且只有一个交点，即得关于x的一元二次方程ax2+4x+c=x只有一个实数根，从而得出Δ=9-4ac=0②，联立①②可得a=-1，c=-94，可得函数y=ax2+4x+c-34为y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，画出函数图象，根据函数图象及最小值为﹣3，最大值为1，可确定m的范围.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线与y轴有2个交点，
∴b2−4ac＞0，①符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x＝−1，x＝0时，y＜−1，
∴x＝−2时，y＝4a−2b＋c＜−1，
∴②不符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x＝−1，0＜x2＜1，
∴−3＜x1＜−2，③符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x＝−1，抛物线开口向上，
∴x＝−1时，y＝a−b＋c为最小值，
∴a−b＋c≤am2＋bm＋c，
∴a−b≤am2＋bm，④符合题意．
∵-b2a＝-1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝a＋b＋c＝3a＋c＞0，
∴⑤不符合题意．
正确的结论有：①③④，
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系判断出a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：设二次函数y＝x2+2x+c有两个不相等的不动点为x1，x2，
∴x1，x2是方程x2+2x+c=x的两个根，
∴x2+x+c=0，
∴△=1-4c＞0，
∴c＜14，
∵两个不动点均小于1，
如图，画出二次函数的图象，
∴当x=1时，y= x2+2x+c=2+c＞0，
∴c＞-2，
∴-2＜c＜14.
故答案为：C.
【分析】根据不动点的定义得出x1，x2是方程x2+2x+c=x的两个根，根据根的判别式得出c＜14，再根据两个不动点均小于1，得出当x=1时，y＞0，得出c＞-2，即可得出c的取值范围.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+3=0有两个不相等的实数根，
∴二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴有两个交点，故C不符合题意；
A、由二次函数y=ax2+bx+3的图象得a>0，b<0，与一次函数y=2ax+b的a、b的取值相符，故符合题意；
B、由二次函数y=ax2+bx+3的图象得a>0，b>0，与一次函数y=2ax+b的a、b的取值不相符，故不符合题意；
D、由二次函数y=ax2+bx+3的图象得a<0，与一次函数y=2ax+b的a的取值不相符，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：根据图像知，当x=1时，y=a+b>0，
故B不符合题意，
∵a<0，
∴b>0，故A不符合题意；
由题可知二次函数对称轴为x=-b2a=1，
∴b=-2a，
∴a+b=a-2a=-a>0，故B不符合题意；
根据图像可知x=2是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，故C不符合题意，
若点(x1，y1)，(x2，y2)在二次函数的图象上，
当x1>x2>2时，y1
【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质逐项判断即可。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1-4c=0，
解得：c=14．
故答案为：B．
【分析】抛物线与x轴有一个交点，x2+x+c=0有两个相等的实数根，根据根的判别式即可得解。
9．【答案】C
【解析】【解答】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a=a2+2a+c，即a2+a+c=0，
∵二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，
∴关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，
设这两个实数根为a1、a2，则a1+a2=-1，a1•a2=c，
∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，
∴Δ=1-4c＞0①，
且（a1-1）+（a2-1）＜0②，
（a1-1）（a2-1）＞0③，
由①得c＜14，
∵a1+a2=-1，
∴②总成立，
由③得：a1•a2-（a1+a2）+1＞0，即c-（-1）+1＞0，
∴c＞-2，
综上所述，c的范围是-2＜c＜14，
故答案为：C．
【分析】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a2+a+c=0，根据二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有Δ=1-4c＞0，且（a1-1）+（a2-1）＜0，（a1-1）（a2-1）＞0，即可解得c的范围是-2＜c＜14。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵y=ax2+bx(a>0)，
∴抛物线开口向上且经过原点，
∵mn<0，
∴当b = 0时，抛物线顶点为原点，x>0时，y随x增大而增大， 0＜m＜n，不满足题意，
当b> 0时，抛物线对称轴在y轴左侧，x>0时，y随x增大而增大， n>m >0，不满足题意，
∴b<0，抛物线对称轴在y轴右侧，
当x=1时，m <0，当x= 3时，n >0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和3之间，
∴抛物线对称轴在直线x=32，与直线x=12之间，
即12<-b2a<32，
∴点(2，y2)与对称轴距离12<2-(-b2a)<32，
点(-1，y1)与对称轴距离32<-b2a-(-1)<52，
点(4，y3)与对称轴距离52<4-(-b2a)<72，
∴y2
【分析】根据a>0，可知开口向上，根据（0，0）、mn<0以及抛物线的对称性分类讨论对称轴的位置可知对称轴相比于x=3更靠近x=1，由此可得出结论
11．【答案】32
【解析】【解答】如图，连接PB，
∵抛物线y=14x2-4与x轴交于A、B两点，
∴14x2-4=0，
解得x=4或x=-4，
∴A(-4，0)，B(4，0)，
∴OA=OB，
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
∴OQ=12BP，当BP最小时，OQ最小，
设BC与圆较近的交点为D，
∵点C(0，3)，B(4，0)，
∴BC=32+42=5，
∵圆的半径为2，
∴BD=5-2=3，
∴OQ=12BD=32，
根据圆的性质，当P位于BC与圆的第一个交点位置时，取得最小值，
∴OQ=32，
故答案为：32．
【分析】连接PB，由y=14x2-4求出y=0时x值，即得A(-4，0)，B(4，0)，可得OA=OB，即得OQ是△ABP的中位线，可得OQ=12BP，当BP最小时，OQ最小，设BC与圆较近的交点为D，当P与D重合时，BP最小，利用勾股定理求出BC=5，可求BD=BC-CD=3，即得OQ的最小值=12BD=32.
12．【答案】y=-x2+2x+3
【解析】【解答】根据表格可得到点（-1，0）、（0，3）、（3，0）
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)
将（0，3）代入解析式得3=-3a
解得a=-1
∴解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3
故答案为：y=-x2+2x+3．
【分析】根据待定系数法求解析式即可.
13．【答案】x1=2，x2=4
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+bx+c经过点A(2，0)、B(4，0)两点，
∴ 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=4.
故答案为：x1=2，x2=4.
【分析】根据二次函数的图象与一元二次方程的关系可得x1=2，x2=4。
14．【答案】5
【解析】【解答】解：设点M（m， 14m2），
则点M到x轴距离为 14m2，BM＝ (m-0)2+(14m2-1)2 ＝ 14m2＋1，
∴点M到点B的距离与点M到直线y＝﹣1的距离相等，
∵点A横坐标为x＝2，
∴点M为直线x＝2与抛物线交点，
如图，设直线x＝2与直线y＝﹣1交点 B' （2，﹣1），
∴AB' 为AM＋BM最小值，AB'＝4﹣（﹣1）＝5，
故答案为：5．
【分析】设点M（m， 14m2），用含m代数式表示BM=14m2＋1，可得点M到点B的距离与点M到直线y=-1的距离相等，进而求解即可。
15．【答案】23
【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则点A的坐标为（-2，8），点B的坐标为（2，8），
设抛物线的解析式为y=ax2，
代入点A的坐标，得：8=4a，
解得：a=2，
∴抛物线的解析式为y=2x2，
令y=6，得：6=2x2，
解得：x=± 3，
∴CD=3-（-3）=23（cm）．
故答案为：2 3．
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后根据图中数据确定点A和点B的坐标，从而利用待定系数法确定二次函数的解析式，然后求得C、D两点的坐标，从而求得水面的宽度．
16．【答案】b≤- 14
【解析】【解答】解：∵对于任意实数a，抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有交点，
∴△≥0，则（2a）2-4（a+b）≥0，
整理得b≤a2-a，
∵a2-a=（a- 12 ）2- 14 ，
∴a2-a的最小值为- 14 ，
∴b≤- 14 ，
故答案为b≤- 14 ．
【分析】将二次函数的图象与x轴的交点个数转化为一元二次方程根的判别式列出不等式（2a）2-4（a+b）≥0，可得b≤a2-a，再根据a2-a=（a- 12 ）2- 14 求解即可。
17．【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵抛物线过点（1，0），
∴a+b+c=0．
∴①符合题意．
∵抛物线的对称轴是x=-1，开口向下，
∴a＞0，-b2a=-1．
∴b=2a＞0．
∵当x=-1时，y＜0．
∴a-b+c＜0，
∴a-b+c-b＜0．
∴a-2b+c＜0．
∴②符合题意．
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5(a≠0)的一根是3，且抛物线对称轴为x=-1，
∴另一根是-5．
∴③符合题意．
点（-4，y1）到对称轴的距离为：-1-（-4）=3．
（-2，y2）到对称轴的距离为：-1-（-2）=1，
（3，y3）到对称轴的距离为：3-（-1）=4．
∵抛物线开口向上．
∴y3＞y1＞y2．
∴④不符合题意．
故答案为：①②③．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质逐项判断即可。
18．【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，故结论①符合题意；
∵抛物线开口向上、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于负半轴，
∴a>0，b<0，c<0，
∴abc>0，故结论②符合题意；
∵对称轴为直线x=1，
∴-b2a=1，即b=-2a，
由图象可知：当x=-2时，y=4a-2b+c>0，
∴4a-2×(-2a)+c>0，
∴8a+c>0，故结论③符合题意；
∵对称轴为直线x=1，过点(-1，0)，
∴抛物线过点(3，0)，
∴当x=3时，过点，故结论④不符合题意；
故答案为①②③．
【分析】
①根据抛物线与x轴有两个交点，可知b2-4ac>0；
②根据抛物线开口向上、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于负半轴，可知 abc>0 ；
③根据图像可知当x=-2时，y>0结合对称轴为x=1即可判断结论；
④根据对称轴和抛物线经过点(-1，0)可判断抛物线过点 (3，0)，可得 9a+3b+c=0.可判断结论。
19．【答案】121
【解析】【解答】解：当10≤x≤20时，设y=kx+b，，把（10，20），（20，10）代入可得：
10k+b=2020k+b=10，
解得k=-1b=30，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y=-x+30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w=(x-8)y=(x-8)(-x+30)=-x2+38x-240=-(x-19)2+121，
∵-1<0，
∴当x=19时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【分析】先结合函数图象利用待定系数法求出一次函数解析式y=-x+30，再设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，根据题意列出函数解析式w=(x-8)y=-(x-19)2+121，再利用二次函数的性质求解即可。
20．【答案】23
【解析】【解答】如图建立直角坐标系．
则点A的坐标为（-2，8），点B的坐标为（2，8），
设抛物线的解析式为y=ax2，
代入点A的坐标得8=4a，
解得：a=2，
所以抛物线的解析式为y=2x2，
令y=6得：6=2x2，
解得：x=±3，
所以CD=3-（-3）=23（cm）．
故答案为：23．
【分析】如图建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，将点Ａ的坐标代入y=ax2，求出a的值，再将y=6代入y=2x2，求出x的值，再利用两点之间的距离公式可得CD=3-（-3）=23。
21．【答案】（1）解：根据题意得：y=300-10(x-44)=-10x+740，(44≤x≤52)；
（2）解：根据题意可得：(x-40)(-10x+740)=2400，
整理得：x2-114x+3200=0 ，
解得：x1=50，x2=64（不符合题意，舍去），
答：每个纪念品的销售单价为50元时，商家每天获得2400元．
（3）解：由题意，得w=(x-40)(-10x+740)，
=-10x2+1140x-29600，
=-10(x-57)2+2890，
∵a=-10＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=57，
当x≤57时，w随x的增大而增大．
∵44≤x≤52，
∴当x=52时，w有最大值，
此时，w=-10×(52-57)2+2890=2640，
答：销售单价定为52元时，该超市每天的利润最大，最大利润是2640元．
【解析】【分析】（1）根据题意列出一次函数的解析式y=300-10(x-44)=-10x+740即可；
（2）利用“总利润=每件的利润×数量”可得方程(x-40)(-10x+740)=2400，再求出x的值即可；
（3）根据题意列出函数解析式w=(x-40)(-10x+740)，再利用二次函数的性质求解即可。
22．【答案】（1）解：∵B(0，4)，∠BAO=45°，
∴A（－4，0），
把A（－4，0），B(0，4)代入一次函数y=kx+b，
得：0=-4k+b4=b
解得：k=1b=4，
∴一次函数的关系式为：y=x+4；
把C(a，5)代入y=x+4，
得：5=a+4，
解得：a=1，
∴C(1，5)，
把C(1，5)代入反比例函数y=mx，
得m=5，
∴反比例函数的表达式为：y=5x
（2）解：∵反比例函数图象上的点P的纵坐标n(0
∵PQ∥x轴交直线AB于点Q，
∴Q（n-4，n）
∴PQ=5n-n+4，
∴S△PDQ=12PQ×yP=12×(5n-n+4)×n=-12n2+2n+52=-12(n-2)2+92
∵0
∴△PDQ面积的最大值为92
【解析】【分析】（1）先求出A（-4，0），利用待定系数法求出一次函数的关系式为y=x+4，把C（a，5）代入解析式中求出a值即得点C坐标，再将点C坐标代入y=mx中求出m值即可；
（2）由点P在反比例函数图象上，可得P（5n，n） ，由于PQ∥x轴可得Q（n-4，n） 从而求出PQ=5n-n+4 ，继而得出S△PDQ=12PQ×yP=-12n2+2n+52 ，根据二次函数的性质即可求解.
23．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1，0)，B(3，0)，
∴a-b+3=09a+3b+3=0，
解得a=-1b=2，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
对称轴为直线x=-b2a=-22×(-1)=1，
∴对称轴与x 轴的交点D坐标为（1，0）
（2）解：过点B作BE⊥OB交CP于E，
当x=0时，y=3，
∴C（0，3）
又B（3，0），
∴BO=CO=3，
又∠BOC=90°，
∴∠CBO=45°，
∴∠CBE=45°，
∴∠CBO=∠CBE，
又∠DCB=∠ECB，CB=CB，
∴△BCD≌△BCE，
∴BD=BE，
又B（3，0），D（1，0），
∴BE=BD=2，
∴点E坐标为（3，2），
设直线CE解析式为y=mx+n，
则3m+n=2n=3，
解得m=-13n=3，
∴直线CE解析式为y=-13x+2，
联立方程组y=-x2+2x+3y=-13x+3，
解得x=73y=209，
∴点P坐标为（73，209）；
（3）解：①以CD为边时，则MC=CD
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=-x+3，
设M（x0，-x0+3）
∴(x0-0)2+(-x0+3-3)2=(0-1)2+(3-0)2，
解得x0=±5，
∴M（5，3-5）或（-5，5+3）；
②以CD为对角线时，则MN⊥CD，
∴kMN⋅kCD=-1，
∵C（0，3），D（1，0）
∴直线CD解析式为y=-3x+3，CD中点坐标为（12，32），
∴kMN=13，
又直线MN经过CD中点，
∴直线MN解析式为y=13x+43，
联立方程组y=-x+3y=13x+43，
解得x=54y=74，
∴M（54，74）．
综上所述，当M坐标为（5，3-5）或（-5，5+3）或（54，74）时，以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式，再求对称轴即得点D坐标；
（2） 过点B作BE⊥OB交CP于E， 先求出点E坐标，再求出 直线CE 解析式，然后联立抛物线解析式为方程组，解之即得点P坐标；
（3）分两种情况： ①以CD为边时，则MC=CD，②以CD为对角线时，则MN⊥CD，据此分别求解即可.
24．【答案】（1）解：将点A(-1，0)B(3，0)代入y=-x2+bx+c得：
-1-b+c=0-9+3b+c=0，
解得：b=2c=3，
所以抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴D(1，4)，
令x=0，则y=3，
∴C(0，3)，
∴AO=1，CO=3，
∴tan∠ACO=13，
∵A(-1，0)，B(3，0)，D(1，4)，
BC=32，CD=2，BD=25，
∴BD2=BC2+CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD=90°，
∴tan∠DBC=CDBC=232=13，
∴∠ACO=∠DBC；
（3）解：存在点F，使得∠EFG=90°，且tan∠FEG=12，理由如下：
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4
抛物线的对称轴为直线x=1，
设直线的解析式为y=kx+b，得，
3k+b=0b=3，
解得：k=-1b=3，
设直线AD的解析式为y=k1x+b1，可得，
-k1+b1=0k1+b1=4，
解得：k1=2b1=2，
∴y=2x+2，
联立方程组y=2x+2y=-x+3，
解得：x=13y=83，
∴E(13，83)，
设F(1，t)，
如图1，当G点在对称轴的右侧，F点在E点下方时，
过点F作MN⊥y轴，过E点作EM⊥x轴交MN于点M，过点G作GN⊥MN交于N点，
∵∠EFG=90°，
∴∠EFM+∠FEM=90°，∠EFM+∠GFN=90°，
∴∠FEM=∠GFN，
∴△EFM∼△FGN，
∴EFFG=EMGN=MFFN，
∵tan∠FEG=12，
∴FGEF=12
∴FN=12EM，GN=12MF
∵FM=83-t，MF=1-13=23
∴FN=43-12t，GN=13，
∴G(73-12t，t+13)，
∴t+13=-(73-12t)2+2(73-12t)+3，
∴t1=22+23（舍去），t2=-22+23，
∴F(1，-22+23)；
如图2，当G点对称轴的左侧，F点在E点下方时，
过E点作EK垂直对称轴交于点K，过点F作FH⊥y轴，过点G作GH⊥HF交于H，
∵∠EFG=90°，
∴∠HFG+∠HFE=90°，
∵∠HFE+∠EFK=90°，
∴∠HFG=∠EFK ，
∴△HGF∼△KEF，
∴GFEF=GHKF=HFFK，
∵tan∠FEG=12，
∴GFEF=12，
∴HG=12EK，HF=12KF，
∵KF＝83-t，EK＝1-13＝23，
∴HF＝43-12t，HG＝13，
∴G(12t-13，t-13)，
∴t-13=-(12t-13)2+2(12t-13)+3，
解得：t1=-463+23或t2=463+23（舍去），
∴F(1，-463+23)；
如图3，当F点在E点上方时，此时G点在对称轴的右侧，
过点F作PQ∥x轴，过点E作EP⊥PQ交于点P，过点G作GQ⊥PQ交于点Q，
∵∠EFG=90°，
∴∠PFE+∠QFG=90°，
∵∠PFE+∠PEF=90°，
∴∠QFG=∠PEF，
∴△PEF∼△QFG，
∴EFFG=PFQG=PEFQ，
∵tan∠FEG=12，
∴FGEF＝12，
∴PF=2QG，PE=2FQ，
∵PF=23，PE=t-83，
∴QG=13，FQ=12t-43，
∴G(12t-13，t-13)，
∴t-13=-(12t-13)2+2(12t-13)+3，
解得：t1=2+463t2=2-463，
∵83
综上可得：点的坐标为(1，-22+23)或(1，23+463)或(1，-463+23)．
【解析】【分析】（1）待定系数法求方程解析式
（2）判定△BCD为直角三角形，分别求出tan∠ACO、tan∠DBC，可得俩个角相等
（3）利用直线AD、BC解析式求出点E坐标，设F（1，t），分三种情况讨论：
G点在对称轴右侧，F点在E点下方时；G点在对称轴左侧，F点在E点下方时；当F点在E点上方时， 此时G点在对称轴的右侧
25．【答案】（1）解：∵直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，
∴A(5，0)，B(0，10)，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过O，A，C三点，且点C的坐标是(8，4)，
∴25a+5b+c=064a+8b+c=4c=0，
解得a=16b=-56c=0，
∴抛物线的解析式为y=16x2-56x．
∵AB2=52+102，AC2=(8-5)2+(4-0)2=52，BC2=(8-0)2+(10-4)2=102，
∴AB2=AC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+10，
∴8k+10=4，
解得k=-34，
∴直线BC的解析式为y=-34x+10，
设Q（m，-34m+10），过点Q作QR⊥y轴，垂足为R，过点C作CN⊥y轴，垂足为N，则QR∥CN，
∵NC=8，BC=10，BQ=t，
∴QR8=t10
∴QR=45t即m=45t，
∵PO=2t，OB=10，
∴BP=10-2t，
∴S△BPQ=12(10-2t)×45t=-45t2+4t，
∴当t=-b2a=-42×(-45)=52时，面积有最大值．
（3）解：∵抛物线的解析式为y=16x2-56x
∴对称轴为直线x=-b2a=--562×16=52，
当AB=BM时，过点M作MD⊥y轴，垂足为D，
则DM=52，BM=AB=52+102=55，
∴BD=(55)2-(52)2=5192，
当点M在点B的上方时，
∴OD=BD+OB=10+5192=20+5192，
∴M1(52，20+5192)；
当点M在点B的下方时，
∴OD=OB-BD=10-5192=20-5192，
∴M2(52，20-5192)；
当AB=AM时，设对称轴与x轴的交点为E，
则AE=52，BM=AB=52+102=55，
∴ME=(55)2-(52)2=5192，
当点M在x轴的上方时，
∴ME=5192，
∴M3(52，5192)；
当点M在x轴的下方时，
∴ME=5192，
∴M4(52，-5192)；
当MA=MB时，M恰好落在对称轴上，三角形不存在；
综上所述，存在这样的点M，使得△ABM是等腰三角形，且点M的坐标分别为M1(52，20+5192)或M2(52，20-5192)或M3(52，5192)或M4(52，-5192)．
【解析】【分析】（1） 利用直线y=-2x+10求出A、B坐标，再将A、B、O坐标代入抛物线解析式中，求出a、b、c的值即可求出抛物线解析式；根据两点间的距离公式分别求出AB2、AC2、BC2，利用勾股定理逆定理进行判断即可；
（2） 先求出直线BC的解析式为y=-34x+10 ， 设Q（m，-34m+10），过点Q作QR⊥y轴，垂足为R，过点C作CN⊥y轴，垂足为N，则QR∥CN， 根据平行线分线段成比例可求出QR=m=45t ，由于BP=OB-PO=10-t，利用三角形面积公式求出S△BPQ=12(10-2t)×45t=-45t2+4t，根据二次函数的性质即可求解；
（3） 分三种情况：①当AB=BM时②当AB=AM时③当MA=MB，据此分别求解即可.
26．【答案】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，43x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣43，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣43（x﹣1）•（x+3）＝﹣43x2﹣83x+4；
（2）解：如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣43m2﹣83m+4），E（m，﹣43m+4），
∴DE＝﹣43m2﹣83m+4﹣（43m+4）＝﹣43m2﹣4m，
∴S△ADC＝12DE⋅OA＝32•（﹣43m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝12AB⋅OC＝12×4×3＝6，
∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+32）2+334，
∴当m＝﹣32时，S最大＝334，
当m＝﹣32时，y＝﹣43×(-32-1)×(-32+3)＝5，
∴D（﹣32，5）；
（3）解：设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝138，
∴P（﹣1，138），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣138＝198，
∴Q（﹣2，198）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，得出点D、E的坐标，推出DE的值，根据三角形面积公式求出的值，根据S△ABC＝6，得出S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+32）2+334，当m＝﹣32时，S最大＝334，当m＝﹣32时，y＝5，由此得解；
（3）设P（﹣1，n），由以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，得出PA2＝PC2，得出n的值，从而得出P点坐标，根据xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC，得出xQ＝198，由此得解。
27．【答案】（1）解：当x=0时，y=﹣33x2+233x+3=3，
∴点C的坐标为（0，3）；
当y=0时，有﹣33x2+233x+3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将B（3，0）、C（0，3）代入y=kx+b，得：
3k+b=0b=3，解得：k=-33b=3，
∴直线BC的解析式为y=﹣33x+3；
（2）解：如图2中，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点F，过点E作EN⊥x轴于点N，
设P（a，﹣33a2+233a+3），则F（a，﹣33a+3），
∴PF=﹣33a2+3a，
∴S△PBC=12×PF×3=﹣32a2 +332a，
∴当a=32时，S△PBC最大，
∴P（32，534），
∵直线BC的解析式为y=﹣33x+3，
∴∠CBO=30°，EN⊥x轴，
∴EN=12BE，
∴PE+12BE=PE+EN，
∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，N三点共线且垂直于x轴时，PE+12BE值最小，
∴PE+12BE=PE+EN=PN=534；
（3）解：存在，Q（3，32），（3，−235）．
【解析】【解答】解：（3）∵D是对称轴直线x=1与x轴的交点，G是BC的中点，
∴D（1，0），G（32，32），
∴直线DG解析式y=3x﹣3，
∵抛物线y=﹣33x2+233x+3=﹣33(x-1)2+433沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点D(1，0)，
∴y'═﹣33(x-3)2+433，
∴对称轴为直线x=3，F(3， 433)
∵△FGQ为直角三角形，
∴∠FGQ＝90°或∠FQG＝90°，∠GFQ＝90°（不合题意，舍去）
当∠FQG＝90°，则QG//x轴
∴Q（3，32）
当∠FGQ＝90°，设点Q坐标（3，y）
∵FQ2＝FG2+GQ2．
∴(433-y)2=(3-32)2+(433-32)2+(3-32)2+(32-y)2
∴y＝−235
∴Q（3，−235）
综上所述：Q（3，32），（3，−235）．
【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点F，过点E作EN⊥x轴于点N，设P（a，﹣33a2+233a+3），则F（a，﹣33a+3），利用S△PBC=12×PF×3=﹣32a2 +332a，求出a的值，即可得到点P的坐标，最后利用两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，N三点共线且垂直于x轴时，PE+12BE值最小，再求出PE+12BE=PE+EN=PN=534即可；
（3）分情况讨论：当∠FQG＝90°，当∠FGQ＝90°，再分别求解即可。
28．【答案】（1）解：根据题意，得：30≤x≤30+30×90%，即30≤x≤57
设y=kx+b
∴40k+b=18060k+b=120
∴k=-3b=300
∴日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式为：y=-3x+300(30≤x≤57)；
（2）解：结合（1）的结论，得该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式为：W=y(x-30)-850=(-3x+300)(x-30)-850=-3x2+390x-9850(30≤x≤57)；
（3）解：结合（2）的结论，得：W=-3x2+390x-9850(30≤x≤57)
∴W=-3x2+390x-9850的对称轴为：x=-3902×(-3)=65
∵-3<0
∴当x<65时，W随x的增大而增大
∵30≤x≤57
∴当x=57时，W取最大值
∴最大利润W=-3×572+390×57-9850=2633元．
【解析】【分析】（1） 利用物价部门规定其每件的售价不低于进价且利润不高于进价的90%， 可求出x的范围再利用待定系数法求出日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式即可；
（2）根据日销售利润=单件利润×日销售量-每天支付其他费用，列出W关于x的关系式；
（3）根据二次函数的性质求解即可.
29．【答案】（1）解：由抛物线C1：y1=-x2+4x-3与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，
令y1=0，即-x2+4x-3=0
解得x1=1，x2=3
∴A(1，0)，B(3，0)
∵y1=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，设C1的顶点为P
则C1的顶点坐标为(2，1)
将C1绕点A(1，0)旋转180°得到C2：y2=ax2+bx+c交x轴与点N
则点N(-1，0)
设C2顶点坐标为P'(a，b)，
则a+22=1b+12=0
∴a=0b=-1
∴P'(0，-1)
设C2的解析式为y2=ax2-1，将N(-1，0)代入得，a=1
∴y2=x2-1
（2）证明：∵y1=-x2+4x-3，y2=x2-1
∴y2-y1=x2-1-(-x2+4x-3)
=2x2-4x+2
=2(x-1)2
≥0
∴无论x取何值恒y1≤y2
（3）解：设直线为y=mx+n
当-x2+4x-3≤mx+n≤ax2+bx+c时，
即y1≤y≤y2
∴y=mx+n过点A(1，0)
则m+n=0，∴n=−m
由y=x2−1y=mx−m得
x2−1−mx+m=0
Δ=m2−4(m−1)=m2−4m+4=0
解得m=2
∴n=−2
（4）解：∵直线l：y=kx−2经过点N，D，
将点N(−1，0)代入，得 0=−k−2，解得k=−2
∴l：y=−2x−2
∵ D是抛物线c2上第二象限内的一点，设D的横坐标为q，
∴D(q，q2−1)且q<0
设直线AD为y=k1x+b
则A(1，0)
k1+b=0qk1+b=q2−1
解得k1=q+1b=−q−1
∴直线AD为y=(q+1)x−(q+1)
联立y=(q+1)x−(q+1)y=−2x−2
解得 x=q−1q+3y=−4q−4q+3
∴E(q−1q+3，−4q−4q+3)
∵y1，y2关于A点中心对称，
∴AD=AM=12DM
∵ DM＝2ED，
∴AD=ED
即点D为AE的中点
∵A(1，0)，D(q，q2−1)，E(q−1q+3，−4q−4q+3)
∴q−1q+3+1=2q−4q−4q+3=2(q2−1)
解得q=−1±2或q=−1（舍）
∵q<0
∴q=−1−2
【解析】【分析】（1）求出AB两点坐标，根据旋转180°的对称性以及待定系数法求出C2
（2）用y1-y2做差法
（3）由题意可知C与C2有且只有一个交点，所以直线y过公共点A，且联立直线与任意一条抛物线方程组可知只有一个切点，所以方程只有一个根，Δ=0
（4）用待定系数法求出l，根据D的坐标求出含有q值的AD直线表达式，联立与l的方程求出公共点E，根据y1、y2中心对称的性质，联立方程组求q
30．【答案】（1）解：设每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系y=kx+b，过点（12，20）（32，0），代入坐标得：
12k+b=2032k+b=0，
解得：k=-1b=32，
∴每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系y=-x+32；
（2）解：S=(x-8)(-x+32)-240=-(x-20)2-96，
∵a=-1＜0，函数开口向上，函数有最大值，
当x=20时，S最大=-96（万元）；
（3）解：第二年利润S=(x-8)(-x+32)-96，
令S=44，
得S=(x-8)(-x+32)-96=44，
整理得(x-20)2=4，
解得x-20=±2，
∴x1=18，x2=22，
在平面直角坐标系中画出S与x的函数图象可得，
观察示意图可知，
当S≥44时，18≤x≤22，
S=(x-8)(-x+32)-96=-(x-20)2+48，
当x=20时，S最大=48，
∴44≤S≤48，
答：当18≤x≤22时，第二年的年利润S不等于44万元，最大值为48万元．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用“利润=售价-进价”可得函数解析式S=(x-8)(-x+32)-240=-(x-20)2-96，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）利用二次函数的性质和图象求解即可
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