2023广安二中校高二上学期11月期中考试数学（理）试题含答案

广安二中2022年秋高2021级期中考试数学（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.抛物线的焦点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

2.已知命题，，则  p为（  ）

A．，        B．，

C．，      D．，

3.设，则“”是“直线：与直线：平行”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件   C.充要条件  D.既不充分又不必要条件

4.曲线与曲线的（    ）

A.长轴长相等     B.短轴长相等        C.离心率相等       D.焦距相等

5.美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习索描的重要一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是一个底角为60°的直角梯形，设圆柱半径，则该椭圆的焦距为（    ）

A.          B.        C.           D.

6. 圆与直线相切于点，且圆心的横坐标为1，则圆被轴截得的弦长为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

7.已知一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（　　　）

A.2x + 3y - 13 = 0  B.3x + 4y - 17 = 0  C.4x + 3y - 17 = 0   D.3x + 2y - 12 = 0

8.已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9．直线l：mx + ny = 1与曲线C：mx2 + ny2 = 1（m，n为非零实数）在同一平面直角坐标系中的示意图可以是(    )

A．             B．                C．                   D．

10．设x，y∈R，2x2 + 3y2 = 6，则x2 + y2 + 2x的最大值与最小值之和等于(      ) 

A．4             B．6             C．           D．

11．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则（    ）

A．2 B．4 C． D．

12.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为,.这两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形.若,记椭圆与双曲线的离心率分别为、,则的取值范围是（  ）

A.        B.            C.             D.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13.圆与圆的公切线条数为 _________ .

14．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为________

15已知点为双曲线的左支上一点，为坐标原点，，为双曲线的左，右焦点．且，则双曲线的离心率为______．

16．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则的最小值为___________.

三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）

17.（本题满分10分）(1)求长轴长为12，离心率为，焦点在轴上的椭圆标准方程.

(2)已知双曲线的渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程．

18．（本题满分12分）命题p：“方程x2 + y2－4x + 2my + 2m2－2m + 1 = 0表示圆”，

命题q：“方程表示双曲线”．

（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若  p为真命题，pq为真命题，求实数m的取值范围．

19．（本题满分12分）设圆．

（1）若，点的坐标为，为圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；

（2）若圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1，求的值．

20.已知抛物线与直线相交于两点，为坐标原点．

（1）求证：；

（2）当的面积等于时，求的值．

21. （本小题满分12分）已知双曲线C:（a > 0，b > 0）的离心率为，右焦点F与点M（0，2）的连线与其一条渐近线平行.

（1）求双曲线C的方程；

（2）经过点F的直线与双曲线C的右支交于点A、B，试问在轴上是否存在一定点P，使∠OPA = ∠OPB恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（本题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l：与椭圆C交于异于点B的两点P，Q，直线BP，BQ与x轴相交于，，若，求证：直线过一定点，并求出定点坐标．

参考答案

1. D 

2. B

3. A

4. D 

5. A 

6. D

7. C　

8. D 

9． A

10． B 

11．   D 

12. C

13. ___3______ .

14． ___1_____

15 ______．

16． ___________.

17.

解：（1）设椭圆方程为：,

∵,,

∴,

∴,

故椭圆方程为：；

（2）的焦点为：，

根据题意得到：,

则,

解得：,

故,

故椭圆方程为：.

18.

解：（1）由题意知，方程（x－2）2 +（y + m）2 =－m2 + 2m + 3表示圆，

则 －m2 + 2m + 3＞0，得 －1＜m＜3．

因此，实数m的取值范围是

 －1＜m＜3．                      ………………………… 6分

（2）若q为真命题，则（m + 2）（m + 1）＞0，得 m＜－2 或 m＞－1．

由题知：p为假命题，q为真命题，则   得 m＜－2 或 m≥3．

因此，实数m的取值范围是

m＜－2 或 m≥3．                 ………………………… 12分

说明：结论写成集合或区间亦可．

19．

解：（1）根据题意，设M的坐标为（x，y），

又由P（3，-2），则Q的坐标（2x-3，2y+2），

若a=0，圆C：（x-1）2+y2=4，Q为圆C上的动点，则有（2x-4）2+（2y+2）2=4，

变形可得：（x-2）2+（y+1）2=1；

（2）根据题意，圆C：（x-1）2+（y-a）2=4，圆心为（1，a），半径r=2，

若圆C上有且仅有一个点到直线x-y=0的距离等于1，则圆心到直线x-y=0的距离d=3，

则有=3，解可得a=1+3或1-3．

故a=a=1+3或1-3．

20.

（1）证明：由消去x，得ky2＋y-k＝0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1·y2＝-1，．

∵点A，B在抛物线y2＝-x上，

∴，，

∴．

又∵，

∴OA⊥OB．

（2）解：设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0．

令y＝0，得x＝-1，即N（-1，0）．

∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN

，

∴．

又∵，

∴，

​​​​​​​解得．

21.解：（1）设F（c，0），由条件知FM的斜率等于，

即，

∴b=2，a=1，

∴双曲线C的方程为：．

（2）存在点P满足∠OPA=∠OPB恒成立，且点P在x轴上．

理由如下：设点P（t，0），

∵直线l过点，

∴设直线，

由，消去x得，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由韦达定理得，①

，②

∵∠OPA=∠OPB，∴PA、PB的斜率之和为0，

即，

因为，

所以代入整理得：，③

将①②代入③可得，

即，④

∵④式对任意实数m都成立，∴，

∴，即存在点P满足∠OPA=∠OPB恒成立，且点P在x轴上．

22.