2023北京师范大学附属实验中学高一上学期期中数学试题含解析

北京师大附中2022—2023学年（上）高一期中考试

数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 若集合，，则

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，

由交集的定义可得，为图中阴影部分，即，故选A.

考点：集合的交集运算.

2. 已知集合，，若，则实数的值可以为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得，根据，即可得出，从而求出结果．

【详解】，且，，

∴的值可以为．

故选：D．

【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．

3. 函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（    ）

A. 0，–2 B. –2，–6 C. –2，–3 D. –3，–6

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数的单调性求最值.

【详解】的对称轴为，开口向下，所以在上单调递增，在上单调递减，则，又，，所以.

故选：B.

4. 下列函数值中，在区间上不是单调函数的是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断．

【详解】由一次函数的性质可知，在区间上单调递增；

由二次函数的性质可知，在区间上单调递增；

由幂函数的性质可知，在区间上单调递增；

结合一次函数的性质可知，在上单调递减，在 上单调递增．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．

5. 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B．

考点：函数奇偶性的判定．

6. “”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分不必要条件概念判断即可.

【详解】当时，；当时，，不一定，所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

7. 函数的零点所在的一个区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用零点的存在性定理即可求解.

【详解】因为在上单调递增，

，

根据零点的唯一性定理知函数在上无零点，故A错误;

，

根据零点的唯一性定理知函数在上无零点，故B错误;

，

根据零点的唯一性定理知函数在上有唯一零点，故C正确;

，

根据零点的唯一性定理知函数在上无零点，故D错误;

故选:C.

8. 下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（　　）

A. f（x）＝（x+2）2 B. f（x）＝x+1

C.  D. f（x）＝x﹣|x|

【答案】D

【解析】

【分析】对每一个选项的函数逐一验证即得解.

【详解】A. f（x）＝（x+2）2,所以，所以不满足满足f（2x）＝2f（x）；

B. f（x）＝x+1，所以；

C. ，所以；

D. f（x）＝x﹣|x|，所以，满足f（2x）＝2f（x）.

故选D

【点睛】本题主要考查求函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9. 已知，若，则（    ）

A. -14 B. 14 C. -6 D. 10

【答案】A

【解析】

【分析】先计算，再代入数值得结果.

【详解】，

又，所以

故选：A

10. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是

A. 75,25 B. 75,16 C. 60,25 D. 60,16

【答案】D

【解析】

【详解】由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，

可得出=30故=4，可得A=16

从而c=15=60

故答案为D

二、填空题共10小题，每小题4分，共40分．

11. 函数的定义域为_________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据函数表达式可得，解不等式即可.

【详解】由，则，

解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

12 已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝_____．

【答案】{0，2}

【解析】

【分析】先求出集合N，再求M∩N.

【详解】∵M＝{0，1，2，3}，N＝{0，2，4，6}，

∴M∩N＝{0，2}．

故答案为{0，2}

【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

13. 设函数，其中Q是有理数集，则的值为_____________．

【答案】1

【解析】

【分析】利用分段函数的定义即可求解.

【详解】因为,所以，又因为,所以，

所以

故答案为:1.

14. 设a为常数，函数，若为偶函数，则___________．

【答案】1

【解析】

【分析】先得到，利用函数为偶函数，得到，列出方程，得到，求出.

【详解】，，

因为为偶函数，

所以，

故，

故，解得：.

故答案为：1

15. 设函数f(x)＝则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________．

【答案】    ①. －    ②. [－3，＋∞)

【解析】

【分析】由内层依次代入函数，即可得出结果.分段求出各段的值域，再求并集即为答案.

【详解】∵f(2)＝，∴f(f(2))＝＝－－2＝－.

当x＞1时，f(x)∈(01)，

当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，

∴f(x)∈[－3，＋∞)．

【点睛】本题考查分段函数的函数值与值域.属于基础题.复合函数的函数值求法：由内层依次代入计算.分段函数的值域问题：分段求出各段的值域，再求并集.

16. 若，则的最小值为___________；取到最小值时，___________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】利用基本不等式计算可得.

【详解】解：因为，所以，

当且仅当，即时取等号，

故答案为：；

17. 已知，且，则的最小值是___________；取到最小值时，__________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】依题意可得，且，再利用基本不等式求出的最小值，即可得解.

【详解】解：∵，且，∴，且，

所以，当且仅当，即时取等号.

故答案为：；

18. 若函数为偶函数，则实数________，函数的单调递增区间是___________.

【答案】    ①.     ②. 、

【解析】

【分析】

由偶函数的定义得出，等式两边平方可求得实数的值，求出函数在上的增区间和减区间，利用偶函数的基本性质可得出函数的单调递增区间.

【详解】函数的定义域为，且该函数为偶函数，则，

即，所以，，

等式两边平方可得，

可知对任意的恒成立，所以，，则.

当时，，则函数在上的减区间为，增区间为.

由于函数为偶函数，因此，函数的单调递增区间为、.

故答案为：；、.

【点睛】求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质.

19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．

① _______；

②若的值域是，则的取值范围是_______．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】①利用奇函数的定义，计算即可得到所求的值；

②由的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与轴的交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到答案.

【详解】①由题意，函数是定义在R上的奇函数，当时，，

则；

②若函数的值域为R，

由函数的图象关于原点对称，可得当时，函数的图象与轴有交点，则，解得或，

即实数的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，及函数的值域的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和合理利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.

20. 已知集合，.设集合A同时满足下列三个条件：

①；②若，则；③若，则.

（1）当时，一个满足条件的集合A是__________；（写出一个即可）

（2）当时，满足条件集合A的个数为_________.

【答案】    ①. ；（，，，任写一个即可）    ②. 32

【解析】

【分析】（1）时，集合，则由题意可得1，4同属于集合，此时2属于的补集，或2属于集合，1，4同属于集合的补集，元素与集合的关系不确定，从而可求出集合，

（2）当时，集合， ，必须同属于，此时属于的补集；或，必须同属于的补集，此时属于；当时，则；则，则； 当时，则；当，则；而元素，没有限制， 从而可得满足条件的集合

【详解】（）时，集合，

由①；②若，则；③若，则，可知：

当时，则，即，则，即，但元素与集合的关系不确定，故或；

当时，则，，元素与集合的关系不确定，

故，或．

综上，，或，或，或．

（）当时，集合，

由①；②若，则；③，则，可知：

当时，则，即，则，即，，

，必须同属于，此时属于的补集；或，必须同属于的补集，此时属于；

此时的放置有2种；

当时，则；则，则；此时的放置有2种；

当时，则；当，则；此时的放置有2种；

而元素，没有限制，此时的放置，各有2种；

所以集合可能为

，

，

，

，

，

，

，

所以满足条件的集合共有32个．

故答案为：，（，，，任写一个即可）；32

三、解答题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

21. 已知全集，集合，

（1）求集合

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）分析可得，是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得，进而可得可得答案．

（2）根据，利用区间端点值建立不等关系，最后解不等式组即可求实数的取值范围．

【详解】解：（1）因为全集，集合，所以或

所以，即集合

（2）因为，所以

解得

所以

【点睛】本题考查集合间交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可，属于基础题．

22. 已知函数．

（1）求f[f（1）]的值；

（2）若f（x）＞1，求x的取值范围；

（3）判断函数在（-2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

【答案】（1）    （2）（-∞，-2）    （3）增函数，证明见解析

【解析】

【分析】（1）可以求出，然后代入x=即可求出f[f（1）]的值；

（2）根据f（x）＞1即可得出，化简然后解分式不等式即可；

（3）分离常数得出，从而可看出f（x）在（-2，+∞）上是增函数，根据增函数的定义证明：设任意的x1＞x2＞-2，然后作差，通分，得出，然后说明f（x1）＞f（x2）即可得出f（x）在（-2，+∞）上是增函数．

【详解】（1）f[f（1）]=；

（2）由f（x）＞1得，，化简得，，

∴x＜-2，

∴x的取值范围为（-∞，-2）；

（3），f（x）在（-2，+∞）上是增函数，证明如下：

设x1＞x2＞-2，则：=，

∵x1＞x2＞-2，

∴x1-x2＞0，x1+2＞0，x2+2＞0，

∴，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（-2，+∞）上是增函数．

【点睛】本题考查了已知函数求值的方法，分式不等式的解法，分离常数法的运用，增函数的定义，考查了计算能力和推理能力，属于基础题．

23. 已知函数，（）.

（1）当时，解关于x的不等式；

（2）判断函数的奇偶性，并证明；

（3）若在上恒成立，求a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）奇函数，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】(1)解分式不等式即可；(2)利用奇函数的定义证明;(3)利用基本不等式求出最小值即可求解.

【小问1详解】

当时, ,

即,解得.

【小问2详解】

依题意，，判断函数为奇函数，证明如下：

令，定义域为，

因为，

所以函数为奇函数.

【小问3详解】

由题可知在上恒成立，

即在上恒成立，

因为，当且仅当，时取得等号，

所以要使在上恒成立，

则，即，解得.

24. 定义域为R的函数满足：对任意的有，且当时，有，.

（1）求出的值，并证明：在R上恒成立；

（2）证明：在R上是减函数；

（3）若存在正数x使不等式成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）,证明见解析   

（2）证明见解析.    （3）

【解析】

【分析】(1)令即可求解;(2)根据题设令即可证明;(3)利用题设条件和单调性求解.

【小问1详解】

令,则有,因为,所以.

因为时，有，

令，则有，

即，所以，

即时，.

综上，在R上恒成立.

【小问2详解】

则有，

所以，

因为，

所以，所以，

所以在R上是减函数.

【小问3详解】

由（1）可知，

所以，

所以存在正数x使不等式成立，

因为在R上是减函数，所以存在正数x使不等式成立，

即存在正数x使不等式成立，

所以，

因为，所以，

当且仅当，时等号成立,

所以.

25. 已知函数（a、），满足，且时，恒成立．

（1）求a、c的值；

（2）若函数在区间上有最小值–5，请求出实数m的值．

【答案】（1）.   

（2）或

【解析】

【分析】（1）讨论时不满足题意，时根据题意得，又可列出解得，又，即可求解.

（2）由（1）知，得，然后求出对称轴，并分三种情况讨论二次函数在指定区间上的单调性即可.

【小问1详解】

当 时， .

由 得：，即，

显然时，这与条件相矛盾，不符合题意.

，函数是二次函数.

由于对一切，都有，于是由二次函数的性质可得：

，即

由得，即，

代入得.

整理得，即，

而，

.

.

【小问2详解】

,

，

，

该函数图像开口向上，且对称轴为，

假设存在实数使函数

，

在区间上有最小值.

①当时，，

函数 在区间上是递增的，

即

解得或

舍去.

②当时，

函数 在区间上是递减的，

而在区间上是递增的，

即.

解得或，均应舍去.

③当时，，

函数 在区间上是递减的，

即

解得（舍去）或，

综上可得，当或时，

函数函数（在区间上有最小值–5.

26. 已知集合，集合为集合的m元子集，且中元素均为孤立元素．孤立元素的定义为：当，且时，则称x为集合A中的孤立元素．

（1）列出所有符合题意的集合；

（2）设为集合的所有可能的集合个数，求的最大值，并说明理由；

（3）在集合的所有可能集合中，存在元素在所有可能的集合中出现的次数最少，求出这样的元素并指出其出现次数，并说明理由．

【答案】（1）   

（2）当时，的最大值为21，理由见解析.   

（3）2和在所有可能的集合中只能出现一次，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）列出的二元子集，观察符合要求的子集.

（2）转化为元素不相邻问题，采用插空法求解，可推导公式为；

（3）取，，，说明除2和外的其它元素在所有集合中至少出现两次，再证明2只能出现一次.

【小问1详解】

，所以的二元子集共有6个：，其中符合要求的有3个：

【小问2详解】

将中元素从小到大排列一队，共有8个位置，

由孤立元素的定义知中任何两个元素都不能为相邻的整数，因此可转化为两个元素不相邻问题，可用插空法解决：

第一步：将这个元素对应的位置取出来，剩下个位置；

第二步：将这个位置插入，保证它们互不相邻，只要从个空隙中选出个空放入，共有种方法.

因此，

，，，，

当时，任取出的个数都会有相邻的整数，不是孤立元素，故不存在.

综上：当时，的最大值为21.

【小问3详解】

取中两个集合：，

在这两个集合中除外的奇数出现2次；

再取中两个集合：，，

这两个集合中除2以外的偶数都出现了两次；

若中有2存在，则这样集合只有一个，因为大于2的第一个数必须为4，否则元素个数就不会凑够个，以此类推，后面元素分别为，

故含有2的集合只有一个.所以2在所有可能的集合中只能出现一次.

由位置对称性知：在所有可能的集合中只能出现一次.

综上：只有2和在所有可能的集合中只能出现一次.

【点睛】插空法，是用来解决某些元素不相邻的排列组合题，即不邻问题.在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略.用这种方法解题思路清晰、简便易懂.除了插空法，还有其他解排列问题的方法，如：插板法 ，用于处理分组问题；捆绑法，用于处理相邻问题.