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2020-2022年江苏中考数学3年真题汇编 专题06 一元二次方程（学生卷+教师卷）
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这是一份2020-2022年江苏中考数学3年真题汇编 专题06 一元二次方程（学生卷+教师卷），文件包含专题06一元二次方程-三年2020-2022中考数学真题分项汇编江苏专用解析版docx、专题06一元二次方程-三年2020-2022中考数学真题分项汇编江苏专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
1．（2021·江苏无锡·中考真题）在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．点P是三边垂直平分线的交点B．点P是三条内角平分线的交点
C．点P是三条高的交点D．点P是三条中线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则=，可得P(2，)时，最小，进而即可得到答案．
【详解】
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，
则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，
设P(x，y)，则=
==，
∴当x=2，y=时，即：P(2，)时，最小，
∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：，
AC边上中线所在直线表达式为：，
又∵P(2，)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式，
∴点P是三条中线的交点，
故选D．
【点睛】
本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关键．
2．（2021·江苏盐城·中考真题）若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．2B．-2C．3D．-3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】
解：∵是一元二次方程的两个根，
∴=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键．
3．（2020·江苏南京·中考真题）关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可．
【详解】
解：，
整理得：，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为、，
∵，
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：，
二、填空题
4．（2022·江苏泰州·中考真题）方程有两个相等的实数根，则m的值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=4-4m=0，解之即可得出结论．
【详解】
解：∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=（-2）2-4m=4-4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
5．（2022·江苏宿迁·中考真题）若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由关于的一元二次方程有实数根，可得再解不等式可得答案．
【详解】
解： 关于的一元二次方程有实数根，
∴， 即
解得： ．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．（2022·江苏扬州·中考真题）在中，，分别为的对边，若，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】
解：如图所示：
在中，由勾股定理可知：，
，
，
， ，，
，即：，
求出或（舍去），
在中：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中， ，，．
7．（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】
设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．
【详解】
解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴，
∴，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8．（2022·江苏连云港·中考真题）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
9．（2021·江苏南通·中考真题）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】
解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
10．（2021·江苏泰州·中考真题）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为 ___．
【答案】2．
【解析】
【分析】
先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】
解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，
∴，
∴x1+x2﹣x1•x2=1-（-1）=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若为一元二次方程的两个根，则有，熟记知识点是解题的关键．
11．（2021·江苏徐州·中考真题）若是方程的两个根，则_________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】
解：∵是方程的两个根，
∴，
故答案是：-3．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握是一元二次方程的两个根，则，是解题的关键．
12．（2021·江苏宿迁·中考真题）若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a=
【答案】-1
【解析】
【分析】
把x=3代入一元二次方程即可求出a．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，
∴9+3a-6=0，
解得a=-1．
故答案为：-1
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程方程的解又叫一元二次方程的根，熟知一元二次方程根的意义是解题的关键．
13．（2021·江苏盐城·中考真题）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程．
【详解】
解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：300（1+x）；
第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；
依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；
故答案为：300（1+x）2＝363．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
14．（2021·江苏宿迁·中考真题）方程的解是_____________．
【答案】，
【解析】
【分析】
先把两边同时乘以，去分母后整理为，进而即可求得方程的解．
【详解】
解：，
两边同时乘以，得
，
整理得：
解得：，，
经检验，，是原方程的解，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解决本题的关键．
15．（2021·江苏南京·中考真题）设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．
【详解】
解：由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴;
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为 ，两根之积为．
16．（2021·江苏镇江·中考真题）一元二次方程的解是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据x（x-1）=0得到两个一元一次方程x=0，x-1=0，求出方程的解即可．
【详解】
x(x−1)=0，
x=0或x+1=0，
故答案为x=0或x=-1.
【点睛】
此题考查解一元二次方程、解一元一次方程，解题关键在于运用因式分解法.
17．（2021·江苏连云港·中考真题）若方程有两个相等的实数根，则_________________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】
解：∵方程x2−3x＋m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（−3）2−4m＝0，
解得：m＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记当方程有两个相等的实数根时△＝0是解题的关键．
18．（2020·江苏南通·中考真题）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
【答案】x（x﹣12）＝864．
【解析】
【分析】
由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（2020·江苏南通·中考真题）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．
【答案】2028
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得．
【详解】
解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028．
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
20．（2020·江苏常州·中考真题）若关于x的方程有一个根是1，则_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】
解：把x=1代入方程得1+a-2=0，
解得a=1．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
21．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用直接开平方法解方程.
【详解】
解：
，
∴，
故答案为：.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解法：直接开平方法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.
22．（2020·江苏泰州·中考真题）方程的两根为、则的值为______．
【答案】-3
【解析】
【分析】
直接根据韦达定理x1·x2=可得．
【详解】
解：∵方程的两根为x1、x2，
∴x1·x2==-3，
故答案为：-3．
【点睛】
本题主要考查韦达定理，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则x1+x2=−，x1·x2=．
23．（2020·江苏镇江·中考真题）一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】
方程整理得：x(x﹣2)=0
可得x=0或x﹣2=0
解得：x1=0，x2=2
故答案为：x1=0，x2=2．
三、解答题
24．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
【答案】(1)2022
(2)9
【解析】
【分析】
（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
(1)
，
故答案为：2022；
(2)
根据题意有：，
整理得：，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
【点睛】
本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．
25．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？
【答案】4
【解析】
【分析】
根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．
【详解】
解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)
答：道路的宽应为4米．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．
26．（2022·江苏无锡·中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)x的值为2m；
(2)当x=4时，S有最大值，最大值为48．
【解析】
【分析】
（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
(1)
解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
(2)
解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵-3<0，
∴当x=4m时，S有最大值，最大值为48，
【点睛】
本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（2022·江苏无锡·中考真题）（1）解方程；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）x1=1+，x2=1-；（2）不等式组的解集为1＜x≤．
【解析】
【分析】
（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】
解：（1）方程移项得：x2-2x=5，
配方得：x2-2x+1=6，即（x-1）2=6，
开方得：x-1=±，
解得：x1=1+，x2=1-；
（2）．
由①得：x＞1，
由②得：x≤，
则不等式组的解集为1＜x≤．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-配方法，以及解一元一次不等式组，熟练掌握方程及不等式组的解法是解本题的关键．
28．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．
（1）k＝ ；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： ．
【答案】（1）2；（2）见解析；（3），．
【解析】
【分析】
（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值；
（2）根据AAS可证，根据全等三角形面积相等即可得证结论；
（3）设A点坐标为（a，），则可得C（0，），D（0，﹣），根据勾股定理求出a值，即可求得A点的坐标．
【详解】
解：（1）点是反比例函数图象上的点，
，
解得，
故答案为：2；
（2）在和中，
，
，
，
点坐标为，则可得，
，，
即，
整理得；
（3）设点坐标为，
则，，
，，
，
即，
解得（舍去）或，
点的坐标为，．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键．
29．（2021·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据分解因式法求解一元二次方程，即可得到答案；
（2）根据一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵
∴
∴，；
（2）∵
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、一元一次不等式组的解法，从而完成求解．
30．（2021·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）x1=1，x2=-3；（2）1≤x＜3
【解析】
【分析】
（1）先移项，再直接开平方，即可求解；
（2）分别求出两个不等式的解，再取公共部分，即可求解．
【详解】
解：（1），
，
x+1=2或x+1=-2，
∴x1=1，x2=-3；
（2），
又①得：x≥1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解为：1≤x＜3．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程以及一元一次不等式组，掌握直接开平方法以及解不等式组的基本步骤，是解题的关键．
31．（2021·江苏宿迁·中考真题）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD= BD．
（1）判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）已知AB=40，求的半径．
【答案】（1）直线CD与圆O相切，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接 证明可得 从而可得答案；
（2）由 设 则 再求解 再表示 再利用 列方程解方程，可得答案．
【详解】
解：（1）直线CD与圆O相切，理由如下：
如图，连接
为的半径，
是的切线．
（2）
设 则
（负根舍去）
的半径为：
【点睛】
本题考查的是切线的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，熟练应用基础知识，把知识串联起来是解题的关键．
32．（2020·江苏宿迁·中考真题）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】
解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）由题意得：，
整理得，
解得，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；
（3）设当天的销售利润为w元，则：
，
∵﹣2＜0，
∴当时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
33．（2020·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）x1=,x2=1（2）-4＜x＜3
【解析】
【分析】
（1）根据因式分解法即可求解；
（2）分别求出各不等式的解集，即可求出其公共解集．
【详解】
（1）解方程：
∴2x-3=0或x-1=0
解得x1=,x2=1;
（2）解
解不等式①得x＜3
解不等式②得x＞-4
∴不等式组的解集为-4＜x＜3．
【点睛】
此题主要考查方程与不等式的求解，解题的关键是熟知其解法．
34．（2020·江苏徐州·中考真题）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若，则的长为_____；
（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由黄金比值直接计算即可；
（2）如图，连接GE，设BG=x，则AG=20-x，易证得四边形EFCD是矩形，可求得CE，由折叠知GH=BG=x，CH=BC=20，进而EH=CE-CH，在Rt△GAE和Rt△GHE中由勾股定理得关于x的方程，解之即可证得结论；
（3）当PB=BC时，证得Rt△PBF≌Rt△CBF≌Rt△BAE,则有BF=AE，设BF=x，则AF=a-x，由AE∥PB得AE:PB=AF:BF，解得x，即可证得结论．
【详解】
（1）AB=×20=（）(cm)，
故答案为：；
（2）如图，连接GE，设BG=x，则GA=20-x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠D=90º，
由折叠性质得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90º，AE=ED=10，
在Rt△CDE中，CE=，
∴EH=，
在Rt△GHE中，
在Rt△GAE中，,
∴，
解得：x=，
即，
∴是的黄金分割点；
（3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点．
理由：∵，
∴∠BCF+∠CBE=90º，又∠CBE+∠ABE=90º，
∴∠ABE=∠BCF，
∵∠A=∠ABC=90º，AB=BC，
∴△BAE≌△CBF（ASA），
∴AE=BF，
设AE=BF=x，则AF=a-x，
∵AD∥BC即AE∥PB，
∴即，
∴，
解得：或(舍去)，
即BF=AE=，
∴，
∴、分别是、的黄金分割点．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、折叠性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息的关联点，确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
35．（2020·江苏无锡·中考真题）解方程：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据公式法求解即可；
（2）先分别求每一个不等式，然后即可得出不等式组的解集．
【详解】
（1）由方程可得a=1，b=1，c=-1，
x===；
（2）解不等式-2x≤0，得x≥0，
解不等式4x+1<5，得x<1，
∴不等式的解集为．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程和解不等式组，掌握运算法则是解题关键．
36．（2020·江苏南京·中考真题）解方程：.
【答案】
【解析】
【分析】
将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
【详解】
解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
1．（2021·江苏无锡·中考真题）在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．点P是三边垂直平分线的交点B．点P是三条内角平分线的交点
C．点P是三条高的交点D．点P是三条中线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则=，可得P(2，)时，最小，进而即可得到答案．
【详解】
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，
则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，
设P(x，y)，则=
==，
∴当x=2，y=时，即：P(2，)时，最小，
∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：，
AC边上中线所在直线表达式为：，
又∵P(2，)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式，
∴点P是三条中线的交点，
故选D．
【点睛】
本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关键．
2．（2021·江苏盐城·中考真题）若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．2B．-2C．3D．-3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】
解：∵是一元二次方程的两个根，
∴=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键．
3．（2020·江苏南京·中考真题）关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可．
【详解】
解：，
整理得：，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为、，
∵，
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：，
二、填空题
4．（2022·江苏泰州·中考真题）方程有两个相等的实数根，则m的值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=4-4m=0，解之即可得出结论．
【详解】
解：∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=（-2）2-4m=4-4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
5．（2022·江苏宿迁·中考真题）若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由关于的一元二次方程有实数根，可得再解不等式可得答案．
【详解】
解： 关于的一元二次方程有实数根，
∴， 即
解得： ．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．（2022·江苏扬州·中考真题）在中，，分别为的对边，若，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】
解：如图所示：
在中，由勾股定理可知：，
，
，
， ，，
，即：，
求出或（舍去），
在中：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中， ，，．
7．（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】
设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．
【详解】
解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴，
∴，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8．（2022·江苏连云港·中考真题）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
9．（2021·江苏南通·中考真题）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】
解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
10．（2021·江苏泰州·中考真题）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为 ___．
【答案】2．
【解析】
【分析】
先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】
解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，
∴，
∴x1+x2﹣x1•x2=1-（-1）=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若为一元二次方程的两个根，则有，熟记知识点是解题的关键．
11．（2021·江苏徐州·中考真题）若是方程的两个根，则_________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】
解：∵是方程的两个根，
∴，
故答案是：-3．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握是一元二次方程的两个根，则，是解题的关键．
12．（2021·江苏宿迁·中考真题）若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a=
【答案】-1
【解析】
【分析】
把x=3代入一元二次方程即可求出a．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，
∴9+3a-6=0，
解得a=-1．
故答案为：-1
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程方程的解又叫一元二次方程的根，熟知一元二次方程根的意义是解题的关键．
13．（2021·江苏盐城·中考真题）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程．
【详解】
解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：300（1+x）；
第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；
依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；
故答案为：300（1+x）2＝363．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
14．（2021·江苏宿迁·中考真题）方程的解是_____________．
【答案】，
【解析】
【分析】
先把两边同时乘以，去分母后整理为，进而即可求得方程的解．
【详解】
解：，
两边同时乘以，得
，
整理得：
解得：，，
经检验，，是原方程的解，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解决本题的关键．
15．（2021·江苏南京·中考真题）设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．
【详解】
解：由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴;
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为 ，两根之积为．
16．（2021·江苏镇江·中考真题）一元二次方程的解是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据x（x-1）=0得到两个一元一次方程x=0，x-1=0，求出方程的解即可．
【详解】
x(x−1)=0，
x=0或x+1=0，
故答案为x=0或x=-1.
【点睛】
此题考查解一元二次方程、解一元一次方程，解题关键在于运用因式分解法.
17．（2021·江苏连云港·中考真题）若方程有两个相等的实数根，则_________________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】
解：∵方程x2−3x＋m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（−3）2−4m＝0，
解得：m＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记当方程有两个相等的实数根时△＝0是解题的关键．
18．（2020·江苏南通·中考真题）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
【答案】x（x﹣12）＝864．
【解析】
【分析】
由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（2020·江苏南通·中考真题）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．
【答案】2028
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得．
【详解】
解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028．
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
20．（2020·江苏常州·中考真题）若关于x的方程有一个根是1，则_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】
解：把x=1代入方程得1+a-2=0，
解得a=1．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
21．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用直接开平方法解方程.
【详解】
解：
，
∴，
故答案为：.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解法：直接开平方法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.
22．（2020·江苏泰州·中考真题）方程的两根为、则的值为______．
【答案】-3
【解析】
【分析】
直接根据韦达定理x1·x2=可得．
【详解】
解：∵方程的两根为x1、x2，
∴x1·x2==-3，
故答案为：-3．
【点睛】
本题主要考查韦达定理，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则x1+x2=−，x1·x2=．
23．（2020·江苏镇江·中考真题）一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】
方程整理得：x(x﹣2)=0
可得x=0或x﹣2=0
解得：x1=0，x2=2
故答案为：x1=0，x2=2．
三、解答题
24．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
【答案】(1)2022
(2)9
【解析】
【分析】
（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
(1)
，
故答案为：2022；
(2)
根据题意有：，
整理得：，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
【点睛】
本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．
25．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？
【答案】4
【解析】
【分析】
根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．
【详解】
解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)
答：道路的宽应为4米．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．
26．（2022·江苏无锡·中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)x的值为2m；
(2)当x=4时，S有最大值，最大值为48．
【解析】
【分析】
（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
(1)
解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
(2)
解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵-3<0，
∴当x=4m时，S有最大值，最大值为48，
【点睛】
本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（2022·江苏无锡·中考真题）（1）解方程；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）x1=1+，x2=1-；（2）不等式组的解集为1＜x≤．
【解析】
【分析】
（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】
解：（1）方程移项得：x2-2x=5，
配方得：x2-2x+1=6，即（x-1）2=6，
开方得：x-1=±，
解得：x1=1+，x2=1-；
（2）．
由①得：x＞1，
由②得：x≤，
则不等式组的解集为1＜x≤．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-配方法，以及解一元一次不等式组，熟练掌握方程及不等式组的解法是解本题的关键．
28．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．
（1）k＝ ；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： ．
【答案】（1）2；（2）见解析；（3），．
【解析】
【分析】
（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值；
（2）根据AAS可证，根据全等三角形面积相等即可得证结论；
（3）设A点坐标为（a，），则可得C（0，），D（0，﹣），根据勾股定理求出a值，即可求得A点的坐标．
【详解】
解：（1）点是反比例函数图象上的点，
，
解得，
故答案为：2；
（2）在和中，
，
，
，
点坐标为，则可得，
，，
即，
整理得；
（3）设点坐标为，
则，，
，，
，
即，
解得（舍去）或，
点的坐标为，．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键．
29．（2021·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据分解因式法求解一元二次方程，即可得到答案；
（2）根据一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵
∴
∴，；
（2）∵
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、一元一次不等式组的解法，从而完成求解．
30．（2021·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）x1=1，x2=-3；（2）1≤x＜3
【解析】
【分析】
（1）先移项，再直接开平方，即可求解；
（2）分别求出两个不等式的解，再取公共部分，即可求解．
【详解】
解：（1），
，
x+1=2或x+1=-2，
∴x1=1，x2=-3；
（2），
又①得：x≥1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解为：1≤x＜3．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程以及一元一次不等式组，掌握直接开平方法以及解不等式组的基本步骤，是解题的关键．
31．（2021·江苏宿迁·中考真题）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD= BD．
（1）判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）已知AB=40，求的半径．
【答案】（1）直线CD与圆O相切，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接 证明可得 从而可得答案；
（2）由 设 则 再求解 再表示 再利用 列方程解方程，可得答案．
【详解】
解：（1）直线CD与圆O相切，理由如下：
如图，连接
为的半径，
是的切线．
（2）
设 则
（负根舍去）
的半径为：
【点睛】
本题考查的是切线的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，熟练应用基础知识，把知识串联起来是解题的关键．
32．（2020·江苏宿迁·中考真题）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】
解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）由题意得：，
整理得，
解得，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；
（3）设当天的销售利润为w元，则：
，
∵﹣2＜0，
∴当时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
33．（2020·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）x1=,x2=1（2）-4＜x＜3
【解析】
【分析】
（1）根据因式分解法即可求解；
（2）分别求出各不等式的解集，即可求出其公共解集．
【详解】
（1）解方程：
∴2x-3=0或x-1=0
解得x1=,x2=1;
（2）解
解不等式①得x＜3
解不等式②得x＞-4
∴不等式组的解集为-4＜x＜3．
【点睛】
此题主要考查方程与不等式的求解，解题的关键是熟知其解法．
34．（2020·江苏徐州·中考真题）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若，则的长为_____；
（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由黄金比值直接计算即可；
（2）如图，连接GE，设BG=x，则AG=20-x，易证得四边形EFCD是矩形，可求得CE，由折叠知GH=BG=x，CH=BC=20，进而EH=CE-CH，在Rt△GAE和Rt△GHE中由勾股定理得关于x的方程，解之即可证得结论；
（3）当PB=BC时，证得Rt△PBF≌Rt△CBF≌Rt△BAE,则有BF=AE，设BF=x，则AF=a-x，由AE∥PB得AE:PB=AF:BF，解得x，即可证得结论．
【详解】
（1）AB=×20=（）(cm)，
故答案为：；
（2）如图，连接GE，设BG=x，则GA=20-x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠D=90º，
由折叠性质得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90º，AE=ED=10，
在Rt△CDE中，CE=，
∴EH=，
在Rt△GHE中，
在Rt△GAE中，,
∴，
解得：x=，
即，
∴是的黄金分割点；
（3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点．
理由：∵，
∴∠BCF+∠CBE=90º，又∠CBE+∠ABE=90º，
∴∠ABE=∠BCF，
∵∠A=∠ABC=90º，AB=BC，
∴△BAE≌△CBF（ASA），
∴AE=BF，
设AE=BF=x，则AF=a-x，
∵AD∥BC即AE∥PB，
∴即，
∴，
解得：或(舍去)，
即BF=AE=，
∴，
∴、分别是、的黄金分割点．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、折叠性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息的关联点，确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
35．（2020·江苏无锡·中考真题）解方程：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据公式法求解即可；
（2）先分别求每一个不等式，然后即可得出不等式组的解集．
【详解】
（1）由方程可得a=1，b=1，c=-1，
x===；
（2）解不等式-2x≤0，得x≥0，
解不等式4x+1<5，得x<1，
∴不等式的解集为．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程和解不等式组，掌握运算法则是解题关键．
36．（2020·江苏南京·中考真题）解方程：.
【答案】
【解析】
【分析】
将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
【详解】
解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
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