专题10 直线与圆（亮点讲）

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专题10 直线与圆
知识回顾
知识点一：直线的倾斜角和斜率
1．直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2．直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系

当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
3．过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4．三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
知识点二：直线的方程
1．直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式

不含垂直于轴的直线
斜截式

不含垂直于轴的直线
两点式

不含直线和直线
截距式

不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式

平面直角坐标系内的直线都适用
3．求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4．线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，
则，此公式为线段的中点坐标公式．
5．两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
知识点三：基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
1．圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）．
【温馨提示】对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2．点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
3. 直线和圆的位置关系：
设圆：； 直线：；
圆心到直线的距离.
①时，与相切；
②时，与相交；
③时，与相离.
由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：与相切；与相交；与相离.
4. 圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆，上一点的切线方程为：.
①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.
②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.


5. （1）求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知的方程…① 又以ABCD为圆为方程为…②
…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.
（2）直线截圆所得弦长的计算方法：①利用弦长计算公式：设直线与圆相交于，两点，则弦；
②利用垂径定理和勾股定理：（其中为圆的半径，直线到圆心的距离）.
6. 圆与圆的位置关系：
（1）几何法：设两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的位置关系满足以下关系：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
几何特征





代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解


（2）代数法：代数法：
（3）两个相交圆公共弦所在直线方程：两相交圆的公共弦所在直线方程是：。











常考题型
1. 直线的方程：
1）直线的倾斜角与斜率
【例题1-1】直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　)
A．30° B．60° C．150° D．120°
【答案】　B
【解析】　设直线的倾斜角为α，斜率为k，化直线方程为y＝x＋a，
∴k＝tan α＝.∵0°≤α<180°，∴α＝60°.
【例题1-2】设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为直线的斜率为，且，
，因为，
.
故选：A.
2）直线方程：
【例题1-3】已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.
故选：C.
【例题1-4】已知的顶点为，，，
（Ⅰ）求AB边上的中线CM所在直线的方程;
（Ⅱ）AB边上的高线CH所在直线的方程
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求出中点坐标，再求得直线斜率，由点斜式写出直线方程，并整理成一般式即可．
（Ⅱ）由垂直求出直线的斜率，写出点斜式方程，整理成一般式．
【详解】
（Ⅰ）AB中点M的坐标是，
∴，
∴中线CM所在直线的方程是，
即中线CM所在直线的方程是，
（Ⅱ）∵，
，
∴高线CH所在直线方程为，
即．
【例题1-5】过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有(　　)
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数多条
【答案】　B
【解析】　当截距都为零时满足题意要求，直线为y＝－x，当截距不为零时，设直线方程为＋＝1，
∴∴或
即直线方程为＋＝1或＋＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B.
【例题1-6】设直线的方程为，根据下列条件分别确定的值：
（1）在轴上的截距是；
（2）的斜率是．
【解析】（1）由题意可得，
由①得且．由②得或．∴．
（2）由题意得，
由③得且，由④得或．
∴．
【例题1-7】已知直线平行于直线，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
【解析】∵直线平行于直线，
∴可设直线的方程为．
当；当时，．
由题意得，即 ．
经检验，成立，
∴直线的方程为或．
【自我提升1】过点的直线的倾斜角为（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】过A、B的斜率为，则该直线的倾斜角为，
故选：A．
【自我提升2】已知、、三点共线，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用可得出关于的等式，由此可求得实数的值.
【详解】
由于、、三点共线，则，即，解得.
故选：C.
【自我提升3】.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 (　　)

A．k1 【答案】　D
【解析】　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0 【自我提升4】直线和直线在同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由四个选项中的可知，分别由四个选项中的的符号推导的斜率和纵截距的符号可得解.
【详解】
根据题意可知，，
对于、、，由可知，，所以：的斜率为正数，故、、不正确；
对于，由可知，，此时：符合，故正确.
故选：D.
【自我提升5】直线：与：互相平行，则的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．0
【答案】B
【分析】根据直线一般式方程两直线平行的条件来求解.
【详解】因为直线：与：互相平行，
所以 ，解得.故选：B.
【自我提升6】已知直线经过点.则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点在直线上得，根据结合基本不等式1的代换，知即可求其最小值.
【详解】由题意知：，即，
∴，而，
∴，则当且仅当时等号成立，
∴的最小值为8.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：由点在直线上得到，应用“1”的代换求目标代数式的最值.
【自我提升7】直线，相交于点，其中.
（1）求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
（2）求的面积；
（3）问为何值时，最大？
【解析】（1）在直线的方程中令可得，则直线过定点，
在直线的方程中令可得，则直线过定点；
（2）联立直线、的方程，解得，即点.
，
，
，所以，；
（3）且，因此，当时，取得最大值，即.
2.直线过定点问题：
【例题2-1】已知，若不论为何值时，直线总经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为直线总经过一个定点，所以与值无关，参变量分离，解方程组即得.
【详解】直线的方程可化为：.
直线总经过一个定点，,解得.
所以不论为何值，直线总经过一个定点.
故选：.
【点睛】本题考查直线过定点问题，解题的关键是参变量分离.
3）两直线的位置关系：
【例题2-2】判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
（1），；
（2），；
（3），．
【答案】（1）相交，；（2）重合；（3）平行
【分析】
（1）联立，解得即可；
（2）l1：2x﹣6y+4＝0化为与直线l2方程相同；
（3）l1与l2的方程都化为斜截式，即可判断出．
【详解】
（1）联立，解得x，y，其交点为．
（2）l1：2x﹣6y+4＝0化为与直线l2重合；
（3）l1：（1）x+y＝3，化为y＝（1）x+3；
l2：x+（1）y＝2化为y＝（1）x，
∴两条直线的斜率相等而在y轴上的截距不等．
∴l1//l2．
【例题2-3】已知两条直线和，试分别确定的值，使：
（1）与相交于一点；
（2）且过点；
（3）且在y轴上的截距为．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【分析】
（1）由与相交于一点，将把点代入直线方程，列出方程组，即可求解；
（2）当时，得到与不平行，当时，列出方程组，即可求解；
（3）由且在y轴上的截距为，列出方程组，即可求解.
【详解】
（1）由题意，直线和，
因为与相交于一点，故把点代入的方程，
可得，解得.
（2）当时，，不满足，
当时，由且过点，
所以，解得或
（3）由且在y轴上的截距为，可得，解得.
【例题2-4】已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先由两直线垂直利用直线的一般式解出的值，再代入交点坐标联立方程组求出未知数即可.
【详解】
由两直线垂直得，
解得，
所以原直线一可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
4）对称问题：
【例题2-5】已知，，点是线段的中点，则______．
【答案】
【解析】由中点坐标公式知：，，解得：，，．
故答案为：．
【例题2-6】在平面直角坐标系xOy中，点（0，4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（　　）
A．（－1，2） B．（2，－1） C．（1，3） D．（3，1）
【答案】D
【解析】设点（0，4）关于直线x－y+1＝0的对称点是（a，b），
则，解得：，
故选：D．
【例题2-7】直线关于点对称的直线方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为，因为点在直线上，
所以即．故选：D．
5）距离问题
【例题2-8】已知两点到直线的距离相等，则（       ）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】D
【解析】因为两点到直线的距离相等，
所以有，或，
故选：D
【例题2-9】已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（       ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是．故选：D．
【例题2-10】已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________．
【答案】3
【解析】如图，可得两点在直线的同侧，设点关于直线的对称点，
则，所以的最小值为，
因为，直线为，所以，所以，
所以的最小值是3，故答案为：3


【例题2-11】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标；
直线整理为，故恒过定点，即为B坐标；
又两条直线垂直，故可得，
即，整理得
解得，当且仅当时取得最大值．故选：A．
6）直线系问题：
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系．一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为（其中为参数且≠C），然后依据题设中另一个条件来确定的值．
2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为（其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值．
【例题2-12】过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设直线方程为，，将点代入即可求解.
【详解】设直线方程为，，
直线过点，代入直线方程的，得，
则所求直线方程为，故选：B．
【例题2-13】过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意设所求直线方程为，然后将点代入方程中求出的值
【详解】由题意设所求直线方程为，
因为直线过点，所以，解得，所以所求直线为，故选：D
【例题2-14】已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________．
【答案】
【解析】依题意两直线和的交点为，
所以在直线上，
所以过两点所在直线方程为．故答案为：
【例题2-15】直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程．
【解析】设直线方程为，
化简得，
直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，直线的斜率为，
或，解得或．
代入并化简得直线的方程为或．
所以所求的直线方程为或．
【自我提升1】已知向量，，且.若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，故，整理得到：，
故定点为：.
故选：A.
【自我提升2】已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】B
【分析】先将直线方程变形得到定点的坐标，根据点在直线上确定出所满足的关系，最后根据“”的妙用求解出的最小值.
【详解】已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，故选：B.
【点睛】方法点睛：已知，求的最小值的方法：
将变形为，将其展开可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等号时.
【自我提升3】若(－1，－2)为直线2x＋3y＋a＝0与直线bx－y－1＝0的交点，则ab的值为（ ）
A．8 B．－8
C．9 D．－9
【答案】A
【分析】
由x=－1，y=－2是方程2x＋3y＋a＝0与方程bx－y－1＝0的公共解求解.
【详解】
由题意得，
解得，
所以ab＝8.
故选：A
【自我提升4】若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．(－1，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
【答案】B
【分析】
联立直线方程求出焦点坐标，根据交点在第一象限列出不等式可求出.
【详解】
联立直线方程，解得，
∵直线的交点在第一象限，，∴解不等式组可得.
故选：B．
【自我提升5】设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出线段的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由可求得的范围．
【详解】
，∴方程为，即，
由，解得，（显然），
由解得或．
故选：D．
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：
（1）求出直线方程，由直线方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；
（2）求出直线过定点，再求出定点与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．

【自我提升6】直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______．
【答案】
【解析】设直线与和，分别交于点和，因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得，所以和，则，可得直线的方程为，即．故答案为：．
【自我提升7】）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________．
【答案】
【解析】由得：，当时，，；
设直线关于点对称的直线方程为，
，解得：或（舍），
直线关于点对称的直线方程为．
故答案为：．
【自我提升8】直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即，
则或或，
∴l方程为：，．
故选：C．
【自我提升9】若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（       ）
A．或11 B．或10
C．或12 D．或11
【答案】A
【解析】因为两条平行线与之间的距离是2，
所以，或，故选：A
【自我提升10】原点到直线的距离的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为可化为，
所以直线过直线与直线交点，
联立可得，所以直线过定点，
当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，
此时最大值为，故选：C．
【自我提升11】求经过直线与的交点，且过点的直线方程．
【解析】易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为，
将点的坐标代入，得，解得，
故所求直线方程为，整理得．
3.圆的方程：
1）求圆的方程
【例题3-1】过点且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解法1：设所求圆的标准方程为，
由已知条件，知，解此方程组，得，
故所求圆的标准方程为．
解法2：设点为圆心，
因为点在直线上，所以可设点的坐标为．
又因为该圆经过两点，所以
所以，
解得．所以．所以圆心坐标为，半径．
故所求圆的标准方程为．
解法3：由已知可得线段的中点坐标为，，所以弦的垂直平分线的斜率为，所以的垂直平分线的方程为，即．
则圆心是直线与的交点，由得，即圆心，圆的半径，
故所求圆的标准方程为．
【点睛】确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如解法1，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如解法2、3．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
【自我提升】已知的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为，则的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，设圆的标准方程为，
则圆心到直线的距离为，
又由圆被直线截得的弦长为，
可得，化简得，解得，
即圆的方程为．
故选：D．
【例题3-2】已知直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，为等腰直角三角形，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以圆C的方程为，
故选：C．
【例题3-3】直线与轴，轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由直线截距式方程知：，，
所以中点坐标为，且，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
化为一般方程为．
故选：A．
【自我提升】已知三个点，，，则的外接圆的圆心坐标是___________．
【答案】（1，3）
【解析】设圆的方程为，
则，解得，
所以圆方程为，即，
所以圆心坐标为．
故答案为：．
2）点与圆的位置关系
【例题3-4】已知点A（1，2）和圆C：（x–a）2+（y+a）2=2a2，试求满足下列条件的实数a的取值范围．
（1）点A在圆C的内部；
（2）点A在圆C上；
（3）点A在圆C的外部．
【解析】（1）∵点A在圆C的内部，∴（1–a）2+（2+a）2<2a2，即2a+5<0，解得a<．
故a的取值范围是{a|a<}．
（2）将点A（1，2）的坐标代入圆C的方程，得（1–a）2+（2+a）2=2a2，解得a=，故a的值为．
（3）∵点A在圆C的外部，∴（1–a）2+（2+a）2>2a2，即2a+5>0，解得a>．
故a的取值范围是{a|a>}．
【自我提升1】两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
【答案】D
【分析】
本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.
【详解】
将代入方程左边得，
则点在圆内，
将代入方程左边得，
则点在圆外，故选：D.
【自我提升2】已知定点在圆的外部，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】解不等式即得解.
【详解】因为点在圆的外部，
所以．所以．所以的取值范围为．故答案为：
【点睛】本题主要考查圆的方程，考查点和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
【自我提升3】试判断，，，四点是否在同一个圆上．
【解析】解法一：线段的斜率分别是，得，则三点不共线，设过三点的圆的方程为．
因为三点在圆上，所以，解得．
所以过三点的圆的方程为，
将点的坐标代入方程，得，即点在圆上，
故四点在同一个圆上．
解法二： 因为，所以，
所以是过三点的圆的直径，线段的中点即圆心．
因为，所以点在圆上，所以四点在同一个圆上．
【名师点睛】判断四点是否在同一个圆上，一般可先求过其中三点的圆的方程，然后把第四个点的坐标代入，若满足方程，则四点在同一个圆上，若不满足方程，则四点不在同一个圆上．
3）与圆有关的轨迹问题
【例题3-5】已知直角的斜边为，且，求：
（1）直角顶点的轨迹方程；
（2）直角边中点的轨迹方程．
【解析】（1）解法一：设顶点，因为，且三点不共线，所以且．
又，，且，
所以，化简得．
因此，直角顶点的轨迹方程为．
解法二：同解法一得且．
由勾股定理得，即，
化简得．
因此，直角顶点的轨迹方程为．
解法三：设中点为，由中点坐标公式得，由直角三角形的性质知， ，
由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆（由于三点不共线，所以应除去与轴的交点）．
设，则直角顶点的轨迹方程为．
（2）设点，
因为是线段的中点，由中点坐标公式得 （且）， ，
于是有．
由（1）知，点在圆上运动，将代入该方程得，即．
所以动点的轨迹方程为．
【自我提升】已知点P（x，y），A（1，0），B（–1，1），且|PA|=2|PB|．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意得·，两边同时平方，化简得x2+y2+6x–4y+3=0，
即点P的轨迹方程为x2+y2+6x–4y+3=0．
（2）解法一：由（1）得（x+3）2+（y–2）2=10，故点P的轨迹是圆，其圆心坐标为
（–3，2），半径为．
解法二：由（1）得D=6，E=–4，F=3，所以D2+E2–4F=36+16–12=40>0，故点P的轨迹是圆．
又，，所以圆心坐标为（–3，2），半径r=．
4.直线与圆的位置关系：
【例题4-1】已知直线方程，圆的方程．当为何值时，圆与直线：
（1）有两个公共点；
（2）只有一个公共点；
（3）没有公共点？
【解析】方法一：将直线方程代入圆的方程化简、整理得，
．
∵，∴当，即或时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当，即或时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当，即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
方法二：已知圆的方程可化为，
即圆心为，半径．
圆心到直线的距离．
（1）当，即或时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
（2）当，即或时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
（3）当，即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
【自我提升】直线与圆的公共点个数为 （ ）
A．个 B．个 C．个 D．个或个
【答案】D
【分析】求出直线所过定点的坐标，再判断定点与圆的位置关系，即可得出结论.
【详解】将直线的方程变形为，由，可得，
所以，直线过定点，，即点在圆上，因此，直线与圆相交或相切.故选：D.
【例题4-2】在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，已知直线与圆交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题首先可确定圆心坐标、半径，然后求出直线方程为，再然后求出圆心到直线的距离，最后根据即可得出结果.
【详解】，即，圆心坐标，半径，
因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为，即，
则圆心到直线的距离，故，故选：A.
【点睛】本题考查圆的弦长的求法，可借助半径与圆心到直线的距离求出圆的弦长，考查根据圆的方程确定圆心与半径，考查直线方程的求法，是中档题.
【自我提升1】已知直线y=x与圆O∶x2+y2=9交于A， B两点，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】A
【分析】判断直线过圆心，可得弦长等于直径.
【详解】圆O∶x2+y2=9圆心为原点，半径为3，圆心在直线y=x上，
所以A， B两点的距离等于直径的长，即，故选：A.
【自我提升2】设a，b为正数，若圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．10
【答案】A
【分析】求出圆的圆心坐标，得到的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．
【详解】圆，即，所以圆心为，
所以，即，因为、，
则，
当且仅当时，取等号．故选：．
【例题4-3】直线与圆相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆心到直线的距离等于半径可得．
【详解】由题意圆标准方程为，圆心坐标为，半径为1，所以，解得．
故选：D．
【自我提升1】若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是____________．
【答案】；
【分析】可化简曲线的方程为，作出其图形，数形结合求临界值即可求解.
【详解】由可得，
所以曲线为以为圆心，的下半圆，
作出图形如图：

当直线过点时，，可得，
当直线与半圆相切时，则圆心到直线的距离，
可得：或（舍），
若直线与曲线没有公共点，由图知：或，
所以实数的取值范围是：，故答案为：
【自我提升2】已知圆的方程为
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）若直线与圆相交于、，求弦长的值．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】
（1）切线的斜率存在时，设斜率为，直线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径求的值，可得切线方程，再检验斜率不存在时是否符合题意即可求解；
（2）先求圆心到直线的距离，再由即可求解.
【详解】
（1）由可得，所以圆心为，半径，
①当直线斜率不存在时，由过点得直线方程为，与的距离为，此时与圆相切，符合题意；
②当直线斜率存在时，可设斜率为，
直线方程为，即，
圆心到直线的距离，
即，解得．
所以直线方程为．
综上所述：所求直线方程为或．
（2）圆心到直线与的距离，
又因为半径，
所以


5.圆与圆的位置关系：
1）两圆位置关系的判定
【例题5-1】已知两圆：，，判断圆与圆的位置关系．
【解析】方法一：把圆的方程化为标准方程，得．所以圆的圆心坐标为，半径长．
把圆的方程化为标准方程，得．圆的圆心坐标为，半径长．
圆和圆的圆心距，又圆与圆的两半径长之和是，两半径长之差是．
而，即，所以，两圆的位置关系是相交．
方法二：将两圆的方程联立得到方程组，由得（3），
由（3）得，把此式代入（1），并整理得（4），
方程（4）的判别式，
所以，方程（4）有两个不相等的实数根，把分别代入方程（3），得到．
所以，圆与圆有两个不同的公共点，即两圆的位置关系是相交．
【例题5-2】试分别确定圆C1：与C2：外切、内切、相交、内含、外离时，k的取值范围．
【解析】将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：，C2：．
圆C1的圆心坐标为C1（–2，3），半径长r1=1；
圆C2的圆心坐标为C2（1，7），半径长r2=（k<50）．
从而圆心距d==5．
当两圆外切时，，即1+=5，解得k=34；
当两圆内切时，，即|1–|=5，解得k=14；
当两圆相交时，，即|1–|<5<1+， 解得14 当两圆内含时，，即|1–|>5，解得k<14；
当两圆外离时，，即1+<5，解得34 【自我提升】圆：与圆：（，）的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离
C．相切 D．无法确定
【答案】A
【分析】
求出两圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，与两圆的半径和差比较可得结论
【详解】
解：圆：的圆心，半径为，
由，得，
所以圆的圆心为，半径，
所以，
因为（），所以，所以
所以两圆相交．
故选：A
2）两圆公共弦问题
【例题5-3】已知两圆和．
（1）试判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在直线的方程；
（3）求公共弦的长度．
【解析】（1）将两圆方程配方化为标准方程，
则圆的圆心为，半径；圆C2的圆心为，半径．
又，，．
∴，∴两圆相交．
（2）将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为．
（3）方法一：两方程联立，得方程组，
两式相减得③，把③代入②得，∴．
∴，或．∴交点坐标为和．
∴两圆的公共弦长为．
方法二：两方程联立，得方程组
两式相减得，即为两圆相交弦所在直线的方程；
由，得，
其圆心为，半径．
圆心到直线的距离，
∴两圆的公共弦长为．
【自我提升1】垂直平分两圆，的公共弦的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别求解两个圆的圆心，圆心连线即为所求.
【详解】
根据题意，圆，其圆心为，则，
圆，其圆心为，则，
垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线的方程为，变形可得；
故选:B.
【自我提升2】圆：与圆：交于、两点，则（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】
先求出两个圆的半径和圆心距，然后在中，利用余弦定理求出的值，从而可求出，再利用圆的半径，圆心距和半径的关系可求得结果
【详解】
圆的半径，圆的半径，，
故在中，，
故．
故选：D

3）与两圆相切的有关问题
【例题5-4】若两圆和有条公切线，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】
由两圆方程可确定两圆圆心和半径，由公切线条数可确定两圆外切，则两圆圆心距等于半径之和，由此构造方程求得结果.
【详解】
将两圆方程分别整理为：和，
则两圆圆心分别为和，半径分别和；
两圆有条公切线，两圆外切，两圆圆心距，
解得：或.故选：D.
【例题5-5】已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．求的方程．
【解析】由已知得圆的圆心为，半径长，
圆的圆心为，半径长．设动圆的圆心为，半径长为．
∵圆与圆外切并且与圆内切，∴．
由两点间距离公式得，
即，两边平方化简得的方程为．
【自我提升1】若圆与圆外切，则（ ）
A．36 B．38 C．48 D．50
【答案】C
【分析】
先把C1、C2 化为标准方程，再利用圆与圆相外切，圆心距等于半径的和即可。
【详解】
依题意，圆，圆，故，解得，故选C．
【点睛】
圆C1和圆C2 的半径分别为R和r，圆心距为d，圆与圆的位置关系由5种：
（1） 相离；（2）相外切；（3）相交；（4）相内切；（5）相内含；
【自我提升2】已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求得两圆的圆心坐标和半径，结合图象，得到两圆相离，有四条公切线，设切线，根据圆心到直线的距离为，求得或，设另外两切线的方程为，根据直线与圆相切，求得，结合选项，即可求解.
【详解】
由题意，圆的圆心坐标为，半径为
圆的圆心坐标为，半径为
如图所示，两圆相离，有四条公切线.
两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，
设切线，则圆心到直线的距离，解得或，
另两条切线与直线平行且相距为1，又由，
设切线，则，解得，
结合选项，可得D不正确.
故选：D.


4）与两圆相交的相关问题
【例题5-6】已知圆x2+y2–4x+2y=0，x2+y2–2y–4=0，
（1）求过两圆交点的直线方程；
（2）求过两圆交点，且圆心在直线2x+4y–1=0上的圆的方程．
【解析】（1）已知，
①–②得–4x+4y+4=0，即x–y–1=0，此即所求直线方程．
（2）解（1）中方程组，得两圆的交点坐标为（+1，），（–+1，–）．
设所求圆的方程为（x–a）2+（y–b）2=r2（r>0），
则，解得．
故所求圆的方程为（x–）2+（y+）2=．
【自我提升1】（多选题）已知圆C1：x2＋y2－4＝0和C2：x2＋y2－4x＋4y－12＝0交与两点，下列说法正确的有（ ）
A．公共弦所在直线方程是
B．公共弦长是
C．以为直径的圆方程是
D．线段与线段互相垂直平分
【答案】ABC
【分析】
根据两圆的相交关系，结合圆的方程求相交弦方程，由相交弦与圆的半径及弦心距的几何关系求弦长，并写出以相交弦为直径的圆的方程，两圆圆心所在的线段垂直平分相交弦，但相交弦不垂直平分两圆圆心所在的线段，即可知正确选项.
【详解】
A：由两圆方程相减可得，即为公共弦所在直线方程，正确；
B：由知：到的距离为，而圆的半径，
所以，正确；
C：由直线为，与的交点为为直径的圆的圆心，
结合B知：圆的方程为，正确；
D：由两圆相交弦与两圆圆心所在直线的位置关系知：线段垂直平分线段，
但线段不垂直平分两圆圆心所成的线段，错误；
故选：ABC.
【自我提升2】已知圆满足：圆心在直线上，且过圆与圆的交点，.
（1）求弦所在直线的方程；
（2）求圆的方程.
【答案】（1）；（2）圆.
【分析】
（1）利用两圆的方程相减后可得弦所在直线的方程.
（2）利用圆系方程可求圆的方程.
【详解】
（1）因为圆，圆，
且它们的交点为，
故的直线方程为：，
整理得到的直线方程为：.
（2）设圆的方程的方程为：，
整理得到圆，
故，因为在直线上，故，
故，故圆.

























1. 若，且为第二象限角，则角的终边落在直线（       ）上.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由为第二象限角可得，则，
则角的终边落在直线即上.
故选：B.
2. 已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】把坐标代入两条直线和,得
,,
,
过点,的直线的方程是：,
,则,
,,
所求直线方程为：．
故选 ：A.
3. 直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用两直线垂直的公式求出，两直线联立求交点坐标即可.
【详解】
由直线与直线互相垂直，
可得，
即，
所以直线的方程为：；
由，
得它们的交点坐标为.
故选：B.
4. 已知A（4，－3）关于直线l的对称点为B（－2，5），则直线l的方程是（       ）
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
【答案】B
【解析】由题意得AB的中点C为（1，1），又A，B两点连线的斜率为，
所以直线l的斜率为，因此直线l的方程为，即3x－4y＋1＝0．
故选：B．
5. 点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，关于对称的点必在上，若该点为，
∴，解得，即一定在直线上．
故选：C
6. 已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点．则实数k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为直线上存在一点P，使得，
所以原点O到直线l的距离的最大值为1，即，解得：，即k的取值范围是．故选：C
7. 设a、b、c分别为中、、所对边的边长，则与的位置关系是（       ）
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
【答案】B
【解析】由题可知：直线与的斜率分别为，又在中，所以，所以两条直线垂直，故选：B．
8. 在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．7
【答案】C
【分析】
根据四边形PMCN为正方形可得，转化为圆心到直线的距离为可求得结果.
【详解】由可知圆心，半径为，
因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆的半径，所以，
所以直线：上有且只有一个点，使得，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得或（舍）.
故选：C
【点睛】关键点点睛：将题意转化为圆心到直线的距离为是解题关键.
9. 若，则方程能表示的不同圆的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】化简圆为，得到，解得，结合，即可求解.
【详解】由圆的方程，
可化简得，可得，
即，解得，
又因为，所以或，
所以方程能表示的不同圆的个数为2个.
故选：B.
10. 已知斜率为的直线被圆：截得的弦长为，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】设出直线方程为，利用垂径定理求出m，即可求出直线.
【详解】圆的标准方程为，设直线的方程为，可知圆心到直线的距离为，有，有或，直线的方程为或．
故选：B
11. 已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点，利用点在直线上可得，再代入消元，转化成一元二次函数的取值范围；
【详解】
解：由圆，圆，
得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点，
又在直线上，，即.
∴，∴的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.
12. 已知半径为的圆与圆外切于点，则圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，由两圆向外切可知三点共线且，由此构造方程求得，舍去两圆内切的情况即可得到结果.
【详解】
由题意知：圆圆心为，半径，
设所求圆的圆心，
若圆与圆外切于点，则必有三点共线且，
即，解得：或；
当，时，圆与圆相内切，不合题意；
当，时，圆与圆相外切，符合题意；
.故选：C.
【点睛】本题考查根据圆与圆的位置关系求解参数的问题，易错点是在求解出参数值后，忽略两圆内切也有满足三点共线且圆心距为的情况，造成增根.
13.已知直线不通过第一象限，则实数的取值范围__________．
【答案】
【解析】
由题意得直线恒过定点，且斜率为，
∵直线不通过第一象限，
∴，解得，
故实数的取值范围是．
答案：
14.动直线，恒过的定点是________
【答案】
【解析】∵，
∴
∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直线恒过定点（2，2）．
故答案为：．
15.已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．
【答案】．
【解析】由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
将代入的方程得，所以直线的方程为．
故答案为：
16.方程表示的曲线是_________．
【答案】两个半圆
【分析】
方程两边平方得：，再分和两种情况即可得答案.
【详解】
根据题意，将两边平方得：，且
故当时，方程为：，表示以为圆心，为半径的半圆；
当时，方程为：，表示以为圆心，为半径的半圆；
故方程表示的曲线是两个半圆.
故答案为：两个半圆
【点睛】
本题考查圆的标准方程，考查分类讨论思想与方程思想，是中档题.本题解题的关键在于由已知得，，再分类讨论求解.
17.已知点在圆外，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】
由方程表示圆可得，再由点在圆外，可得，从而可求出实数的取值范围
【详解】
解：因为在圆外，
所以且，得，
解得或，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
18.已知圆P的方程为，设该圆过点的最长弦与最短弦分别为与，则四边形的面积为_________.
【答案】
【分析】由题可得过点的最长弦一定是圆P的直径，当时，最短，分别求出即可得出四边形面积.
【详解】圆P的方程可化为，点在圆内，
过点的最长弦一定是圆P的直径，所以，
当时，最短，此时，则，
所以四边形的面积.故答案为：.
19.求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
【解析】由题意，当时，倾斜角，
当时，，即倾斜角为锐角；
综上得：．
20.已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点.
（1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程；
（2）求△OAB面积的最小值.
【解析】】（1）由题意可设直线的方程为，即，
则，解得．
故直线的方程为，即；
（2）直线的方程为，
，，依题意，解得，
则的面积为．
则（当且仅当时，等号成立）．
故面积的最小值为．
21.已知直线，，．
（1）求直线关于直线的对称直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程．
【解析】（1）因为，所以．
设直线的方程为（，且）．
在直线上取点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，
即点的坐标为．
把点的坐标代入直线的方程，得，解得，
所以直线的方程为．
（2）由，得，所以与的交点坐标为．
另取上不同于A的一点，
设关于的对称点为，则，得，
即点的坐标为．所以过与的直线的方程为，
即．
21.已知直线l：3x－y－1＝0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）．
（1）试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
（2）试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大．
【解析】（1）如图①，设点C关于l的对称点为C′（a，b），

则，解得，所以C′（－1，1）．
所以直线AC′的方程为y＝1．
由，得直线AC′与直线l的交点为，此时|AP|＋|CP|取最小值．
（2）如图②，设点B关于l的对称点为B′（m，n），

则，解得，所以B′（3，3）．
所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0．
由，得直线AB′与直线l的交点为Q（2，5），此时|AQ|－|BQ|取最大值．
22.求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）斜率为；
（2）过点；
（3）平行于直线．
【解析】（1）法一：直线与的交点为，
当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为．
直线方程为．
法二：由题意，直线不符合题意，
所以由直线系方程可设所求直线为
，
当直线的斜率为时，，解得，故所求直线方程为；
（2）法一：过点时，由两点式得：即为．
直线方程为．
法二：由题意，直线不符合题意，
过点时，代入（1）中直线系方程得，
故所求直线方程为．
（3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为，
直线方程为．
法二：由题意，直线不符合题意，
平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得，
故所求直线方程为．
23.已知圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点且与圆心的距离为，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）设圆心坐标为，设圆的方程为，根据已知条件得出关于、的方程，求出这两个量的值，由此可得出圆的方程；
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率存在时，可设直线的方程为，利用点到直线的距离可求得的值，可得出直线的方程；在直线的斜率不存在时，检验即可.综合可得出直线的方程.
【详解】
（1）由题意设圆心为，则圆的方程为，
因为圆经过点和，，解得，
即圆的方程为；
（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为.
又圆的圆心为，由，解得.
此时，直线的方程为，即；
当的斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离也为.
综上，满足题意的直线的方程为或.
【点睛】
方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．
如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
24.已知点在圆上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆过点，且与圆相切于点，求圆的标准方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)将点代入圆的方程即可求出的值，再将一般方程化为标准方程即可；
(2)设圆的标准方程为，圆心为，根据三点共线，可先求出直线的方程，将代入可得，再结合，即，即可求出的值，再求半径，从而可得圆的标准方程．
【详解】
（1）将点代入圆，可得，
所以圆，
化为标准方程可得．
（2）设圆的标准方程为，圆心为，
直线的方程为，即，
把代入得，
又，解得，，
所以，
故圆的标准方程为．
25.已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；
（2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
【答案】（1）x－y＋4＝0；（2）x2＋y2－x＋7y－32＝0.
【分析】
（1）将两圆方程相减即可得两圆公共弦所在直线的方程；
（2）先联立两圆方程求出两圆交点坐标，然后根据圆上任意点到圆心的距离相等建立方程即可求解.
【详解】
（1）设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组的解，两式相减得x－y＋4＝0，
A，B两点坐标都满足此方程，
x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程；
(2)解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)，
设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，所以b＝a－4，
则＝，解得a＝，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.