北师大数学初二上册-期末复习专题5-二元一次方程组

这是一份北师大数学初二上册-期末复习专题5-二元一次方程组
专题5--二元一次方程组一、二元一次方程组基本概念及其解法1．二元一次方程(1)二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程．二元一次方程的概念，是说明一个方程是否为二元一次方程的理论依据，是研究二元一次方程组相关知识的基础．(2)二元一次方程必须满足以下四个条件：①是一个方程；②含有两个未知数；③所含未知数的项的次数都是1；④含有未知数的式子都是整式．2．二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数．辨误区 二元一次方程组的特点(1)二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋1＝0，,x＋2y＝2))也是二元一次方程组；(2)方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一数量．3．二元一次方程的解适合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．一般地二元一次方程的解有无数个，例如x＋y＝2中，由于x，y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解．通常求二元一次方程的解的方法是：先用含有其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，如求二元一次方程2x－y＝2的解，可先将其变形为y＝2x－2，然后给出x的一个值，就能对应地求出一个y的值，这样得到的每一对x与y的对应值都是这个二元一次方程的解．析规律 二元一次方程的解由于二元一次方程中含有两个未知数，所以二元一次方程的一个解包含两个值，若把这两个未知数的值代入二元一次方程，则适合该方程．在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的一个值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此，二元一次方程有无数个解． 4．二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．我们常见的二元一次方程组有两种：(1)两个二元一次方程组成的二元一次方程组；(2)一个一元一次方程和一个二元一次方程组成的方程组．无论哪一种情形，方程组的解都指组成方程组的两个方程的公共解，一般常见的二元一次方程组有唯一解．但有个别方程组有无数多个解，如：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,4x＋4y＝20.))有的方程组无解，如：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,x＋y＝2.))析规律 二元一次方程组的解(1)检验某一对数值是否是某个二元一次方程组的解的方法是：将这对数值分别代入方程组中的每一个方程中，只有当这对数值满足所有的方程时，才能说它是方程组的解，若这对数值不满足其中一个方程，则它不是方程组的解．(2)二元一次方程组的解一定是方程组中的任何一个方程的解，而二元一次方程的解不一定是方程组的解．5．用代入消元法解二元一次方程组(1)代入法的定义：在二元一次方程组中，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．(2)代入法解二元一次方程组的基本思想是：通过代入达到消元的目的，从而将解二元一次方程组转化为解一元一次方程．其步骤为：①变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程化为用含一个字母的代数式表示另一个字母．例如y，用含x的代数式表示出来，得y＝ax＋b.②代入：将y＝ax＋b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程．③解元：解所得的一元一次方程，求出x的值．④求值：把求得的x的值代入y＝ax＋b中，求出y的值，从而得到方程组的解．⑤把求得的x，y的值联立起来就是方程组的解．6．用加减消元法解二元一次方程组(1)加减法的定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．(2)加减法的基本思想是：解二元一次方程组时，使方程组中同一个未知数的系数相等或是互为相反数，再将所得两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，从而转化为一元一次方程．其步骤为：①变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就要用适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数．②加减：当同一个未知数的系数互为相反数时，用加法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程；当同一个未知数的系数相等时，用减法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程．③解元：解所得的一元一次方程，求出未知数的值．④求值：把求出的未知数的值代入原方程组中的任一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．⑤求得的两个未知数的值联立起来就是方程组的解．二、二元一次方程组的运用1．列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的重要方法．它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等．列二元一次方程组解应用题必须找出两个等量关系，列出两个方程．2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤(1)审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．(2)设：设未知数(一般求什么，就设什么为x，y)．(3)找：找出能够表示应用题全部意义的两个等量关系．(4)列：根据这两个等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组．(5)解：解所列方程组，得未知数的值．(6)验：检验所求未知数的值是否符合题意，是否符合实际．(7)答：写出答案(包括单位名称)．北师版中的“答”一般用“所以”代替．3．实际问题中的基本数量关系及关键词常用的数量关系有：(1)路程＝速度×时间；(2)工作量＝工作效率×工作时间；(3)商品的销售额＝商品销售价×商品销售量；(4)商品的总销售利润＝(销售价－成本价)×销售量；(5)商品售价＝标价×折数；(6)商品的利润率＝eq \f(商品利润,商品成本价)×100%等等．还要正确理解一些关键词表达的同类量之间的特殊的等量关系，如“提前”“超过”“早到”“迟到”“几倍”“增加了”“相向而行”“同向而行”等．【增收节支】1．列方程组解答生活中的增收节支问题在生活中，我们时刻都在与经济打交道，经常面临利润问题、利息问题等．解决这类问题，应熟记一些基本公式：(1)增长率问题：增长率＝eq \f(增长量,计划量)×100%.计划量×(1＋增长率)＝增长后的量；计划量×(1－减少率)＝减少后的量．(2)经济类问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝eq \f(商品的利润,商品的进价)×100%.2．列方程组解答行程问题、水路问题、工程问题在我们的生活中，经常面临行程问题、水路问题、工程问题．解决这类问题，应熟记一些基本公式：(1)行程问题的基本数量关系：路程＝速度×时间．(2)水路问题的基本数量关系：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度．(3)工程问题的基本数量关系：工作量＝工作效率×工作时间．3．配套问题中的相等关系在实际问题中，大家常见到一些配套组合问题，如螺钉与螺母的配套，盒身与盒底的配套等．解决这类问题的方法是抓住配套关系，设出未知数，根据配套关系列出方程组，通过解方程组解决问题．产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系．常见的题型有：(1)配套与人员分配问题．(2)配套与物质分配问题．【里程碑上的数】1．数字问题(1)多位数字表示问题两位数＝十位数字×10＋个位数字．三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字．如：一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，所以这个两位数是b个10和a个1的和，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为10a＋b.(2)数位变换后多位数的表示两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1.因此用x，y表示这个四位数为100x＋y.同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y＋x.一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，十位上的n便成了百位上的数．因此这个三位数是由n个100,0个10，m个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n＋m.2．行程问题(1)行程问题：路程＝速度×时间①追击问题：一般特征：同地、同向、不同时，抓路程之间的关系建立等量关系．②相遇问题：一般特征：同时、相向、不同地，常用的关系：路程和＝全程．③航行问题：顺水航行的速度＝船在静水中的速度＋水速；逆水航行的速度＝船在静水中的速度－水速．(2)行程问题的应用：借助图示解答【例】 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数．分析：用下表表示(这个两位数的十位数字为x，个位数字为y)相等关系：(1)个位数字＋十位数字＝7；(2)原来的两位数＋45＝对调后组成的两位数．解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝7，,10x＋y＋45＝10y＋x.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝6.))所以原两位数是16.三、二元一次方程与一次函数1．二元一次方程与一次函数的关系若k，b表示常数且k≠0，则y－kx＝b为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得y＝kx＋b，将x，y看作自变量、因变量，则y＝kx＋b是一次函数．事实上，以方程y－kx＝b的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝kx＋b的图象相同．2．用图象法求二元一次方程组的近似解用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：(1)先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2；(2)建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；(3)写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x，纵坐标是y.3．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此一次函数与二元一次方程组有密切联系．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下：(1)写出函数表达式：一次函数y＝kx＋b；(2)把已知条件代入，得到关于k，b的方程组；(3)解方程组，求出k，b的值，写出其表达式．【例】 已知一次函数y＝ax＋2与y＝kx＋b的图象如图所示，且方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax－y＝－2，,kx－y＝－b))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))点B坐标为(0，－1)．你能确定两个一次函数的表达式吗？分析：根据方程组与一次函数图象的关系，先确定两图象的交点A的坐标，再代入表达式，求出字母a，k，b的值．解：∵方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax－y＝－2，,kx－y＝－b))的解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))∴交点A的坐标为(2,1)．∴点A在函数y＝ax＋2的图象上，2a＋2＝1.∴a＝－eq \f(1,2).∵点A(2,1)，点B(0，－1)在函数y＝kx＋b图象上，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2k＋b＝1，,b＝－1.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝－1.))∴两个一次函数的表达式为y＝－eq \f(1,2)x＋2，y＝x－1.析规律 方程组的解与交点坐标方程组的解就是两个一次函数图象的交点的坐标．十位数字个位数字两位数原两位数xy10x＋y新两位数yx10y＋x