高考第一轮复习第37讲直线与圆锥曲线

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第三十七讲 直线与圆锥曲线
A组
一、选择题
1. 抛物线的焦点为，倾斜角等于的直线过交该抛物线于两点，则=（ ）
A．2 B.4 C.8 D. 10
【解析】由题可知焦点 ，直线的方程,设点 ， 
联立方程组 可得 ，  , .
2. 斜率为1的直线与椭圆相交于、两点，则的最大值为 (　　)
A．2 B. C. D.
解析：设椭圆交直线于两点，由消去，得，则有
，
当时， 答案：C
3. 直线与抛物线有且只有一个公共点，则的值为 (　　)
A．1 B．1或3 C．0 D．1或0
解析：由得，若，则，若，则，即解得，因此直线与抛物线有且只有一个公共点，则或答案：D
4.（2017全国1卷理）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】设直线方程为
取方程
得
∴
同理直线与抛物线的交点满足
由抛物线定义可知

当且仅当（或）时，取得等号.
5.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交于、两点．若的中点坐标为，则的方程为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D　本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力。用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y，由根与系数的关系得到之间的关系，并由之间的关系确定椭圆方程。因直线过点和点，所以直线的方程为，代入椭圆方程消去，得，所以的中点的横坐标为，即 又，所以，选择D.
二、填空题
6. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，那么双曲线的离心率为________；渐近线方程为____________．
解析：双曲线的渐近线方程是
∵双曲线的一条渐近线与直线垂直，，∴双曲线的离心率为 ，渐近线方程为
7. 已知抛物线与直线相交于、两点，抛物线的焦点为，那么________.
解析： 由，消去，得(*)，方程(*)的两根为、两点的横坐标，故，因为抛物线的焦点为，所以
答案：7
三、解答题
8.设椭圆: 过点，离心率为．
（1）求的方程；
（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的中点坐标和所截线段的长度。
【解】（1）将点（0，4）代入的方程得,  ∴b=4,
又 得，即，  ∴
 ∴的方程为
（2）过点且斜率为的直线方程为，
设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，得，即，解得，，
AB的中点坐标，，
即所截线段的中点坐标为．
所以线段AB的长度是
，即所截线段的长度是．









9. （2017年高考北京卷理）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【解析】（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.
由，得.
则，.
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为




，
所以.
故A为线段BM的中点.


10．如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为。连结，并延长交椭圆于点。设直线的斜率为。
（1）若直线平分线段,求的值；
(2) 当时，求点到直线的距离；
（3）对任意的，求证：。


解：由题意知，，故,所以线段MN的中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以。
（2）直线PA的方程为，代入椭圆方程得，解得，因此,于是,直线AC的斜率为，所以直线AB的方程为，因此。
（3）解法一：将直线PA的方程为代入，解得，记，则，于是故直线AB的斜率为，直线AB的方程为，代入椭圆方程得，解得，或，因此
，于是直线PB的斜率为， 因此，所以。
解法二：设，则，.设直线PB，AB的斜率分别为。因为C在直线AB上，所以 ，从而
，因此，所以。
10. 已知椭圆的两焦点为，且过点
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点,以线段为直径的圆恰好过原点，,求出直线的方程;
解： (Ⅰ)由题意可得

.
椭圆的标准方程是
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.
设M,N两点的坐标分别为
联立方程:
消去整理得,
有
若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,
所以,,
即
所以,
即
得
所以直线的方程为,或.
所以过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.
11．过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，
并与轴交于点，直线与直线交于点．
（I）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；
（Ⅱ）当点异于点时，求证：为定值．
解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为．
椭圆的右焦点为，此时直线的方程为 ，代入椭圆方程得
，解得，代入直线的方程得 ，所以，
故．
（Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符．
设直线的方程为．代入椭圆方程得．
解得，代入直线的方程得，
所以D点的坐标为．
又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得
因此，又．
所以．
故为定值．





B组
一、选择题
1.已知椭圆的方程为，如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则的值为 (　　)
A．2 B． C．8 D．
解析：根据已知条件，则点在椭圆上，可得.答案：B
2.已知双曲线的右顶点为，若该双曲线右支上存在两点、使得△为等腰直角三角形，则实数的值可能为 (　　)
A. B．1 C．2 D．3
解析：由题意可得，点A的坐标为，设直线AB的方程为，即，与双曲线方程联立可得，，则，解得或.由题意知为B点的纵坐标，且满足，即，根据选项知．答案：A
3. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为(　　)
A．至多一个 B．2个 C．1个 D．0个
解析：∵直线和圆没有交点，
，∴，∴，∴点 )在椭圆的内部，∴过点的直线与椭圆的交点个数为2个．
答案：B
4.已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于、两点，则的值等于 (　　)
A． B．8 C． D．16
解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为由，消去得 .设，，则
答案：C
二、填空题
5. 直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是________．
解析：∵方程表示椭圆，∴且.∵直线恒过点，
∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：，，∴m的取值范围是且.
答案： 且
6.直线与抛物线交于、不同两点，且的中点横坐标为2，则的值是________．　
解析：设，，由消去得，
由题意得 ∴即.
答案： 2
三、解答题
7.已知椭圆G：，过点作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。
（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将表示为m的函数，并求的最大值。
【解析】（Ⅰ）由已知得∴
∴椭圆G的焦点坐标为,离心率为
（Ⅱ）由题意知，.
当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为
此时
当m=－1时，同理可得
当时，设切线l的方程为
由
设A、B两点的坐标分别为，则

又由l与圆
所以

由于当时，
所以.
因为
且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.

8.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于
（）两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
解析：（1）直线AB的方程是
所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，
抛物线方程为：
（2） 由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)
设=，又，即8（4），即，解得
9. （16年广一模）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
（Ⅰ）解法一：设椭圆的方程为，
因为椭圆的左焦点为，所以．
设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，
由椭圆的定义知，
所以．
所以，从而．
所以椭圆的方程为．
解法二：设椭圆的方程为，
因为椭圆的左焦点为，所以． ①
因为点在椭圆上，所以． ②
由①②解得，，．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，，
设点（不妨设），则点．
联立方程组消去得．
所以，则．
所以直线的方程为．
因为直线，分别与轴交于点，，
令得，即点．
同理可得点．
所以．
设的中点为，则点的坐标为．
则以为直径的圆的方程为，
即．
令，得，即或．
故以为直径的圆经过两定点，．
解法二：因为椭圆的左端点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，，
设点，则点．
所以直线的方程为．
因为直线与轴交于点，
令得，即点．
同理可得点．
所以．
因为点在椭圆上，所以．
所以．
设的中点为，则点的坐标为．
则以为直径的圆的方程为．
即．
令，得，即或．
故以为直径的圆经过两定点，．
解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，，
设点（），则点．
所以直线的方程为．
因为直线与轴交于点，
令得，即点．
同理可得点．
所以．
设的中点为，则点的坐标为．
则以为直径的圆的方程为，
即．
令，得，即或．
故以为直径的圆经过两定点，．
10.如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。
（Ⅰ）求，的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.（i）证明：；
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由。
解析：（I）由题意知，从而，又，解得。
故，的方程分别为。
（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.
由得，
设，则是上述方程的两个实根，于是。
又点的坐标为，所以

故，即。
（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为
又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.
于是
由得，
解得或，则点的坐标为；
又直线的斜率为，同理可得点的坐标
于是
因此
由题意知，解得 或。
又由点的坐标可知，，所以
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。
C组

一、选择题
1.已知椭圆，对于任意实数，下列直线被椭圆截得的弦长与被椭圆 截得的弦长不可能相等的是 (　　)
A． B．
C． D．
解析：A选项中，当时，两直线关于轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等；B选项中，当时，两直线平行，两直线被椭圆截得的弦长相等；C选项中，当时，两直线关于轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等．答案：D
2.已知为抛物线的焦点，点、在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）
A. 2 B.3 C. D.
【解析】选B. 可设直线AB的方程为：，点，，又，则直线AB与轴的交点，由，所以，又，因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故，于是=，当且仅当时取“”，
所以与面积之和的最小值是.

3.（设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于点，且为线段的中点.若这样的直线恰有4条，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选D.
显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M必在直线上.将代入得.因为点M在圆上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.选D.

4.设双曲线的右焦点为1，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线交于点.若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是　　　　（　　）
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】由题意，由双曲线的对称性知在轴上，设，由得，解得，所以，所以，因此渐近线的斜率取值范围是，选A.
二、填空题
5.在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为
【解析】由已知，抛物线经过两点，过这两点的割线的斜率为.于是，平行于该割线的直线方程为，该直线与圆相切，所以，该直线又与抛物线相切，联立方程得，即 有得，代入，注意到，得.所以抛物线的方程为，顶点坐标为(－2，－9)．
6.平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 .
【解析】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,
解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,
抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,
所以， .
所以， .
【答案】
三、解答题
7.已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足(为坐标原点),记点的轨迹为.
(1) 求曲线的方程；
若直线是曲线的一条切线, 当点到直线的距离最短时,求直线的方程.
(1) 解:设点的坐标为,则点的坐标为.
∵,
∴.
当时,得,化简得.
当时, 、、三点共线，不符合题意，故.
∴曲线的方程为.
(2) 解法1:∵ 直线与曲线相切,∴直线的斜率存在.
设直线的方程为,
由 得.
∵ 直线与曲线相切,
∴,即.
点到直线的距离


.
当且仅当，即时，等号成立.此时.
∴直线的方程为或.
解法2：由，得，
∵直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，
则直线的方程为：，化简得.
点到直线的距离


.
当且仅当，即时，等号成立.
∴直线的方程为或.
解法3：由，得，
∵直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，
则直线的方程为：，化简得.
点到直线的距离


.
当且仅当，即时，等号成立,此时.
∴直线的方程为或.
8.已知双曲线：的中心为原点，左，右焦点分别为，，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足．
（1）求实数的值；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同两点，，在线段上取异于点，的点，满足，证明点恒在一条定直线上．
（1）解：设双曲线的半焦距为，
由题意可得
解得．
（2）证明：由（1）可知，直线，点．设点,，
因为，所以．
所以．
因为点在双曲线上，所以，即．
所以
．
所以直线与直线的斜率之积是定值．
（3）证法1：设点，且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，则，，即，．
设，则．
即
整理，得
由①×③，②×④得
将，代入⑥，
得． ⑦
将⑤代入⑦，得．
所以点恒在定直线上．

证法2：依题意，直线的斜率存在．
设直线的方程为，
由
消去得．
因为直线与双曲线的右支交于不同两点，，
①

②


③

则有
设点，
由，得．
整理得．1
将②③代入上式得．
整理得． ④
因为点在直线上，所以． ⑤
联立④⑤消去得．
所以点恒在定直线上．
（本题（3）只要求证明点恒在定直线上，无需求出或的范围．）
法3：
解：设直线l，
所以M()、N（）、H（）
所以由得
将()代入得：

则、是上述方程两根，则由韦达定理易得
即，所以点恒在定直线上．
9.已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求曲线的方程；
（2）设、两点的横坐标分别为、，证明：；
（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围．
（1）解：依题意可得，．
设双曲线的方程为，
因为双曲线的离心率为，所以，即．
所以双曲线的方程为．
（2）证法1：设点、（，，），直线的斜率为（），
则直线的方程为，
联立方程组
整理，得，
解得或．所以．
同理可得，．
所以．

证法2：设点、（，，），
则，．
因为，所以，即．
因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，．
即，．
所以，即．
所以．
证法3：设点，直线的方程为，
联立方程组
整理，得，
解得或．
将代入，得，即．
所以．
（3）解：设点、（，，），
则，．
因为，所以，即．
因为点在双曲线上，则，所以，即．
因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以．
因为，，
所以．
由（2）知，，即．
设，则，
．
设，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
因为，，
所以当，即时，．
当，即时，
所以的取值范围为．
说明：由，得，给1分．

10.已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、．
（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；
（2）求直线的方程；
（3）求三角形面积的最大值．
（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及数形结合、分类讨论思想和创新意识等．）
解：（1）因为，所以，所以．
由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以．
因为，所以，
所以．
故双曲线离心率的取值范围为．
（2）方法1：因为，
所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．
因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，
所以联立方程组
消去，，即得直线的方程为．
方法2：设，已知点，
则，．
因为，所以，即．
整理得．
因为，所以．
因为，，根据平面几何知识可知，．
因为，所以．
所以直线方程为．即．
所以直线的方程为．
方法3：设，已知点，
则，．
因为，所以，即．
x
y
O
P
A
B
整理得．
因为，所以．
这说明点在直线上．
同理点也在直线上．
所以就是直线的方程．
（3）由（2）知，直线的方程为，
所以点到直线的距离为．
因为，
所以三角形的面积．
以下给出求三角形的面积的2种方法：
方法1：因为点在双曲线上，
所以，即．
设，
所以．
因为，
所以当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，，
当，即时，．
综上可知，当时，；
当时，．
方法2：设，则．
因为点在双曲线上，即，即．
所以．
令，则．
所以当时，，当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
当，即时，，
当，即时，．
综上可知，当时，；
当时，．