高考第一轮复习第48讲 不等式选讲

第四十八讲  不等式选讲

A组

一、选择题

1、不等式||+||的解集为（     ）

A．                                 B．  

C．                        D．

【答案】：D

【解析】由绝对值的几何意义知， ||+||表示数轴上的点与点5的距离和数轴上的点与点-3的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选D。

2、不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A．                      B． 

C．                              D．

【答案】：A

【解析】：因为对任意x恒成立，所以

，解得或。

二、填空题

3、设，则的最小值为         。

【答案】：9

【解析】：由柯西不等式可知。

4、若，则的最小值是_________。

【答案】：

【解析】：。

5、（2015重庆16）若函数的最小值为5，则实数a=_______。

【答案】：或

【解析】：由绝对值的性质知的最小值在或时取得，若，或，经检验均不合；若，则，或，经检验合题意，因此或。

6、若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是             。

【答案】：

【解析】：当时，；

当时，；

当时，；

综上可得，所以只要，解得或，

即实数的取值范围是。

7、（2017年全国1卷理）

已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

【解析】

（1）当时，不等式等价于.①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而.

所以的解集为.

（2）当时， .

所以的解集包含，等价于当时.

又在的学科&网最小值必为与之一，所以且，得.

所以的取值范围为.

8.已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求的取值范围。

【解析】：（1）当时，

        或或

         或

 （2）原命题在上恒成立；

         在上恒成立；

在上恒成立 ；

。

9、已知函数=,=。

（1）当=2时，求不等式＜的解集；

（2）设＞-1，且当∈[，)时，≤,求的取值范围。

解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0。

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

则y＝

其图像如图所示，当且仅当x∈(0，2)时，y＜0；

所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}。

(2)当x∈时，f(x)＝1＋a；

不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，

所以x≥a－2对x∈都成立；

故≥a－2，即；

从而a的取值范围是。

10.若，且.

（1）求的最小值；

（2）是否存在，使得？并说明理由。

【解析】：（1）由，得，且当时等号成立，

则，且当时等号成立，

故的最小值为。

（2）由(1)知：，

由于＞6，从而不存在，使得。    

11、设均为正数，且，证明：

（1）；   （2）。

解：(1)由得；

由题设得，即；

从而有，故。

(2)因为，，，

故，

即

所以≥1。

B组

一、选择题

1、已知关于x的不等式的解集不是空集，则的取值范围是（　   ）

A．    B．

C．    D．

【答案】：D

【解析】：方法一：由绝对值的几何意义知，表示数轴上的点与点1的距离和数轴上的点与点-的距离之差，要使不等式的解集不是空集，结合数轴可知。

方法二：令，

因为不等式的解集不是空集，

则有，

又

从而，

解得。

2、若，且恒成立，则的最小值是（    ）

A．               B．             C．                 D．

【答案】：B

【解析】：，，而，即恒成立，得。

二、填空题

3、若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_______。

【答案】：

【解析】：令，则

①当时，；

②当时，，则；

③当时，；

综合①②③可知；

所以要使不等式恒成立，则需，解得。

4、对于实数x，y，若，，则的最大值为       。

【答案】：52

【解析】：因为，，

则。

5、已知，若关于x的方程有实根，则的取值范围是        。

【答案】：

【解析】：由已知；

又因为，

从而有；

解得。

6、若实数满足，则的最小值为_______。

【答案】：

【解析】：，即，。

7、已知，的最小值为。

（1）求的值；

（2）解关于的不等式。

【解析】：（1）因为，则有；

当且仅当且即时等号成立；

故m的值为6。

（2）由（1）得，即；

两边平方有；

解得；

故不等式的解集为。

8..设函数=。

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求的取值范围。

【解析】：(1)证明：由，有

（2）由已知

当时，，由解得；

当时，，由由解得；

综上，的取值范围是。

9、设正数x，y，z满足。

（1）求证：；

（2）求的最小值。

【解析】：（1）证明：由柯西不等式得：；

（2）解：由已知
所以由柯西不等式得：

         ；

故的最小值为。

10、已知函数。

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围。

【解析】：（1）当时，化为。

当，不等式化为，无解；

当时，不等式化为，解得；

当时，不等式化为，解得；

所以解集为。

（2）由题设可得，所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，

从而的面积为；

则有，故，所以的取值范围为。

C组

一、选择题

1、设不等的两个正数满足，则的取值范围是（    ）

A．           B．            C．            D．

【答案】：B

【解析】：因为，则，

而，所以，解得。

2、已知，设，则下列判断中正确的是（     ）

A．         B．         C．         D．

【答案】：B

【解析】：

，即，，，，，得，

即，得，所以。

二、填空题

3、若是正数，且满足，则的最小值为______。 

【答案】：

【解析】：因为，则有。

4、设a，b，c均为正数且，则之最小值为__________。

【答案】：9

【解析】：设向量 = (，，)  ， =(，，)

因为，

则有
 ()×9
 。

5、已知实数满足，，则a的最小值与最大值之差为         。

【答案】：-1

【解析】：由柯西不等式，得，

即，由条件，可得，解得，当且仅当时等号成立，故最小值与最大值之差为-1。

6.对于，当非零实数满足，且使最大时，的最小值为          。

【答案】：-2

【解析】：设，则；

则由得；

因为关于a的二次方程，即；

解得；

当时，；

，

当t的值为时，同法可求得

故的最小值为-2。

三、解答题

7、已知，函数的最小值为4．

（1）求的值；

（2）求的最小值。

【解析】: （1）

当且仅当时等号成立。

又，所以，所以。

（2）由柯西不等式得：

即，当且仅当时等号成立

所以当时．。

8、已知实数满足，且有。

求证：。

【解析】：，是方程的两个不等实根，则，得，而

即，得，所以，，即。

9、已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。

【解析】:（证法一）

因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得

                     ①

所以                   ②                   

故.

又       ③

所以原不等式成立。                                          

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，

③式等号成立。

即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。            

证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

所以               ①

同理             ②                  

故

         ③

所以原不等式成立.                                

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。

即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。             

10、设正数满足。

（1）求的最大值；

（2）证明：。

【解析】：（1）解：将平方可得：

  即，

由基本不等式可知：

        所以，等号成立时，。

（2）证明：由柯西不等式可得：

即

所以，又由（1）可得：

  ，所以。