高考第一轮复习第23讲 平面向量综合问题

                     第二十三讲 平面向量综合问题

                          A组

一、选择题

1.在中，已知是边上一点，若，则（    ）

A．   B．   C．   D．

解析：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则，∴=，

 2. 设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（     ）

     A．  B．  C．  D．

解析,若函数

的图象是一条直线，即其二次项系数为0， 0

3. 已知，，，若P点是ΔABC所在平面内一点，且，的最大值等于(   )

A．13  B．15  C．19  D．21

解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，

则B，C，＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，即P(1，4)，所以，，因此因为 所以的最大值等于13，当，即时取等号．

4. 如图，在四边形ABCD中，

，则的值为（  ）

A.2       B.     C.4      D.

解析：

二、填空题

5. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为                                                                      ．

解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，

6.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.

如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.

若其中,则

的最大值是________.

解析  设

，即

∴

三、解答题

7. 已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．(1)若，求的值；(2)若，求sin∠A的值

解: (1)      

          由    得 

      (2)       

8.已知向量满足条件，，求证：是正三角形

解：令O为坐标原点，可设

由，即

两式平方和为，，

由此可知的最小正角为，即与的夹角为，

同理可得与的夹角为，与的夹角为，

这说明三点均匀分部在一个单位圆上，

所以为等腰三角形.

9..已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使成公差小于零的等差数列.

(1)点P的轨迹是什么曲线？

(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为与的夹角，求tanθ.

解：(1)设P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得， =－=(－1－x,－y）, =(1－x,－y), =－=(2,0),∴·=2(1+x), ·=x2+y2－1, =2(1－x).于是，是公差小于零的等差数列，等价于

所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.

(2)点P的坐标为(x0,y0)

10.  已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，

　， .

（1）     若//，求证：ΔABC为等腰三角形；    

（2）     若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .

证明：（1）

即，其中R是三角形ABC外接圆半径，       

为等腰三角形

解（2）由题意可知

由余弦定理可知，             

11.在中，，记的夹角为.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）求函数的最大值和最小值.

解  (1)由余弦定理知：，又，

所以，又即为的取值范围；

（Ⅱ），因为

，所以，因此，.                 

                       B组

一、选择题

1.把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（     ）

A．  B．  C．  D．

解．把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ，选C。

2.设a=(4,3),a在b上的投影为,b在x轴上的投影为2,且|b|＜1,则b为（）
A.(2,14)  B.(2,- )  C.(-2, )      D.(2,8)

解析：设a在b的夹角为θ，则有|a|cosθ=，θ=45°，因为b在x轴上的投影为2,且|b|＜1,结合图形可知选B

3.设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是 (   )

 A. B. C. D.

解析由可得，设代入方程组可得消去化简得，再化简得再令代入上式得可得解不等式得因而解得.

4.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值有

A、1个       B、2个         C、3个      D、4个

【解析】解法一：

（1） 若A为直角，则；

（2） 若B为直角，则；

（3） 若C为直角，则。

所以 k 的可能值个数是2，选B

解法二：数形结合．如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B

二、填空题

5. 如图，在中，是边上一点，则.

【分析】法一：由余弦定理得可得，

又夹角大小为，，

所以.

法二：根据向量的加减法法则有:

,此时

.

6.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，

则       ，       .     

图2

解析   作,设，

,

由解得故

三、解答题

7.已知点是

且试用

解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.

由OA=2，，所以，

易求，设

.

8.已知向量且，函数

（I）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（II）若，分别求及的值。

（I）解；

得到的单调递增区间为

（II）

9.已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足||+||=4.

⑴求点P(x,y)的轨迹C的方程.

⑵如果过点Q(0，m)且方向向量为 =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。

解：(1) =, ||=,且||+||=4.

 点P(x,y)到点(,0)，(-,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为

(2)设A(),B()依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得，则+=-m, =

因此，

当时，即m=时，

10.已知向量与互相垂直，其中．

（1）求和的值；

（2）若，求的值．           

解  （1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，

∴.

（2）∵，，∴，

则，

11.如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。

（1） 求关于θ的表达式;

（2） 求的值域。

解：（1）由正弦定理，得

（2）由，得

∴，即的值域为.

                           C组

一、选择题

1. 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是

（A） （B）

（C）  （D）

【解析】： ，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确.

2.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=

(A)9   (B) 6   (C)  4   (D) 3

解．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为△ABC的重心，∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，

∴ |FA|+|FB|+|FC|=，选B。

3.设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是  (    )

A．三角形区域        B．四边形区域   

C．五边形区域      D．六边形区域

解析  本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中， 即点P可以是点A.

4.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的               (   )

A.重心 外心 垂心              B.重心 外心 内心  

C.外心 重心 垂心            D.外心 重心 内心

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

解析

二、填空题

5.在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．

解析　设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．

又O＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，

∴|＋＋|＝.

问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．∵圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为＝，故的最大值为＋1.

6.如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·最小值是_______________________________________．

解析　因为＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋()2.又因为∠AOB＝60°，OA＝OB，∴∠OBA＝60°.OB＝1.所以·＝||cos 120°＝－||.所以·＝－||＋||2＝(||－)2－≥－.故当且仅当||＝时，·最小值是－.

三、解答题

7.已知向量m＝(sin x，cos x)，n＝(，)，x∈R，函数f(x)＝m·n.

(1)求f(x)的最大值；

(2)在△ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B＝2A，且b＝2af(A－)，求角C的大小．

解　(1)f(x)＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，

所以f(x)的最大值为.

(2)因为b＝2af(A－)，由(1)和正弦定理，得sin B＝2sin2A.

又B＝2A，所以sin 2A＝2sin2A，

即sin Acos A＝sin2A，

而A是三角形的内角，

所以sin A≠0，故cos A＝sin A，tan A＝，

所以A＝，B＝2A＝，C＝π－A－B＝.

8.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量m＝(cos B,2cos2－1)与向量n＝(2a－b，c)共线．

(1)求角C的大小；

(2)若c＝2，S△ABC＝2，求a，b的值．

解　(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a－b，c)，m∥n，

∴ccos B＝(2a－b)cos C，

∴sin Ccos B＝(2sin A－sin B)cos C，

sin A＝2sin Acos C，∴cos C＝，

∵C∈(0，π)，∴C＝.

(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C，

∴a2＋b2－ab＝12，①

∵S△ABC＝absin C＝2，

∴ab＝8，②

由①②得或.

9.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足＝.

(1)求|－|；

(2)存在实数t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝x·y，求k的最小值．

解　(1)由＝，且A，B，D三点共线，可知||＝||.

又AD＝5，所以DB＝11.

在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75，

在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196，

所以BC＝14.

所以|－|＝||＝14.

(2)由(1)，知||＝16，||＝10，||＝14.

由余弦定理，得cos A＝＝.

由x＝＋t，y＝t＋，

知k＝x·y

＝(＋t)·(t＋)

＝t||2＋(t2＋1)·＋t||2

＝256t＋(t2＋1)×16×10×＋100t

＝80t2＋356t＋80.

由二次函数的图象，

可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，

所以当t＝1时，k取得最小值516.

10.已知向量＝(cos x，sin x), ＝，定义函数f(x)＝·.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)当⊥时，求锐角x的值．

解析：(1)f(x)＝－sin xcos x＋sin 2x

＝－

＝－sin，

∴2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.

∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(2)当⊥时，f(x)＝0，

即－sin＝0,

sin＝，

又<2x＋＜，故2x＋＝，故x＝.

11．已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.

(1)求sin θ和cos θ的值；

(2)若sin(θ－φ)＝，0＜φ＜，求cos φ的值．

解析：(1)∵a与b互相垂直，则a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin2 θ＋cos2 θ＝1得sin θ＝±，cos θ＝±，

又θ∈，∴sin θ＝，cos θ＝.

(2)∵0＜φ＜，0＜θ＜，∴－＜θ－φ＜.

∴cos(θ－φ)＝＝.

∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝×＋×＝.