2021安康高一下学期期末质量联考数学试题含解析

姓名__________准考证号________________

（在此卷上答题无效）

绝密★启用前

安康市2020-2021学年度高一年级期末质量联考

数学

本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若，则下列各选项正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知，满足约束条件，则最大值为（    ）

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

4. 函数的部分图象大致为（    ）

A  B.

C.  D.

5. 如图，，，为某次考试三个评阅人对同一题的独立评分，为最终得分．当，，时，输出的等于（    ）

A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8

6. 牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，(为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度)，假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过多少分钟水温降为(结果保留整数，参考数据：)（    ）

A 9 B. 8 C. 7 D. 6

7. 为庆祝中国共产党成立100周年，安康市某学校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．下列结论正确的是（    ）

A. 甲成绩的极差比乙成绩的极差大

B. 甲成绩的众数比乙成绩的中位数大

C. 甲成绩的方差比乙成绩的方差大

D. 甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小

8. 已知函数在单调递增，在单调递减，则的最小正周期为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知䌼角满足，则的最小值为（    ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 18

10. 已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前9项和为（    ）

A  B.  C.  D.

11. 公元前5世纪下半叶开奥斯的希波克拉底解决了与“化圆为方”有关的化月牙为方问题．如图，为等腰直角三角形，，以为圆心、为半径作大圆，以为直径作小圆，则在整个图形中随机取一点，此点取自阴影部分的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知，，分别为内角，，的对边，，则的最大值为（    ）

A. 2 B.  C. 4 D. 8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若向量，满足，，，则与的夹角为_________．

14. 甲、乙、丙三人被系统随机地预约到，，三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，则甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且乙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于_________．

15. 已知，，分别为内角，，的对边，，，，则_______.

16. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，，，则_________．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查．该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：

（1）求样本学生一个月阅读时间中位数．

（2）利用分层抽样从阅读时间在的学生选5人参加一个座谈会．现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求小组中至少有1人发言的概率．

18. 已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求不等式的解集．

19. 2021年是“十四五”开局之年，是在全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标之后，全面建设社会主义现代化国家新征程开启之年，新征程的第一阶段是2020年到2035年，基本实现社会主义现代化，其中保障农村农民的生活达到富裕是一个关键指标．某地区在2020年底全面建成小康社会，随着实施乡村振兴战略规划，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加．该地区统计了2016年—2020年农村居民人均消费支出情况，对有关数据处理后，制作如图1的折线图（其中变量（万元）表示该地区农村居民人均年消费支出，年份用变量表示，其取值依次为1，2，3，……）．

（1）由图1可知，变量与具有很强的线性相关关系，求关于的回归方程，并预测2021年该地区农村居民人均消费支出；

2016-2020年该地区农村居民人均消费支出

（2）在国际上，常用恩格尔系数（其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况．根据联合国粮农组织的标准：恩格尔系数在40%~50%为小康，30%~40%为富裕．已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示，预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%，从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准．

2020年该地区农村居民人均消费支出构成

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，

20. 已知等差数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前2021项和．

21. 已知数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列的前项和，证明：．

22. 已知，，分别为锐角内角，，的对边，．

（1）证明：；

（2）求的取值范围．

姓名__________准考证号________________

（在此卷上答题无效）

绝密★启用前

安康市2020-2021学年度高一年级期末质量联考

数学

本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解出集合、，利用交集的定义可求得结果.

【详解】因为，，

因此，.

故选：B.

2. 若，则下列各选项正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】用特值法可判断AB；用幂函数的性质可判断C；用指数函数的性质可判断D

【详解】对于A：取，则，故A错误；

对于B：取，则，故B错误；

对于C： 函数在上单调递增，又，所以，故C正确；

对于D：函数在上单调递增，又，所以，所以，故D错误；

故选：C

3. 已知，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】画出不等式组表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义求解作答．

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示（阴影部分）：

平移直线，当直线过可行域内的点时，直线在轴上的截距最大，

即目标函数取得最大值，

联立，解得，

故目标函数的最大值为．

故选：C．

4. 函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据函数的奇偶性，可排除A，C，根据当时，即可排除B．得出答案.

【详解】因，所以，

所以为奇函数，故排除A，C．

当时，，，则，故排除B，

故选:D．

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

5. 如图，，，为某次考试三个评阅人对同一题的独立评分，为最终得分．当，，时，输出的等于（    ）

A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】根据框图的顺序，逐步计算得出结果.

【详解】由程序框图可得；

故选：A.

6. 牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，(为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度)，假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过多少分钟水温降为(结果保留整数，参考数据：)（    ）

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件列方程，化简求得的值.

【详解】依题意，，

.

故选：C

7. 为庆祝中国共产党成立100周年，安康市某学校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．下列结论正确的是（    ）

A. 甲成绩的极差比乙成绩的极差大

B. 甲成绩的众数比乙成绩的中位数大

C. 甲成绩的方差比乙成绩的方差大

D. 甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小

【答案】D

【解析】

【分析】对于A，分别求出极差判断，对于B，求出甲的众数和乙成绩的中位数判断，对于C，根据数据的离散程度判断，对于D，分别求出平均数判断即可.

【详解】甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，故A错误；

甲成绩的众数为85分，乙成绩的中位数为87分，故B错误；

由茎叶图数据的分布规律，可判定甲成绩的数据更集中，乙成绩的数据更分散，所以甲成绩的方差比乙成绩的方差小，故C错误；

甲成绩的平均数为分，乙成绩的平均数为分，故D正确．

故选：D

8. 已知函数在单调递增，在单调递减，则的最小正周期为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由三角函数的单调性分析可得在处取得最大值，可求得的值，再算出最小正周期．

【详解】根据题意，函数在上单调递增，在上单调递减，

则在处取得最大值，则有，变形可得，

由题意最小正周期，，

当时，，最小正周期．

故选：D

9. 已知䌼角满足，则的最小值为（    ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 18

【答案】C

【解析】

【分析】计算出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.

【详解】，

，

、均为锐角，则，，

，

当且仅当时，等号成立．

的最小值为8．

故选：C

10. 已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前9项和为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出等差数列的公差，可得其通项公式，继而得表达式，利用裂项求和法，可得答案.

【详解】设等差数列的公差为，由得，，

，解得,

为整数，，，，

数列的前9项和为,

故选：B

11. 公元前5世纪下半叶开奥斯的希波克拉底解决了与“化圆为方”有关的化月牙为方问题．如图，为等腰直角三角形，，以为圆心、为半径作大圆，以为直径作小圆，则在整个图形中随机取一点，此点取自阴影部分的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用圆的面积求出整个图形的面积，再求出图中阴影部分的面积，根据几何概型的概率公式即可求得答案.

【详解】设，则，大圆的面积，

以为直径的小圆的面积为，

大圆中弓形的面积为，

整个图形的面积为，

阴影部分的面积为，

在整个图形中随机取一点，此点取自阴影部分的概率为,

故选：A

12. 已知，，分别为内角，，的对边，，则的最大值为（    ）

A. 2 B.  C. 4 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】化简用正弦定理得，再利用得：，进而得：，利用基本不等式可得：，再利用化简即可.

【详解】由已知及正弦定理得，

，两边除以得，当，都为锐角时，，，当且仅当时，等号成立，

.若，其中一个为钝角时，，

的最大值为，

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若向量，满足，，，则与的夹角为_________．

【答案】

【解析】

【分析】求出向量的模，根据向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】由题意得，

所以，

由于，与的夹角为，

故答案为：

14. 甲、乙、丙三人被系统随机地预约到，，三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，则甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且乙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于_________．

【答案】##

【解析】

【分析】用列举法结合古典概型的概率公式求解即可

【详解】甲、乙、丙三人被系统随机地预约到三家医院接种新冠疫苗的情况有

，，共6种，

其中甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且乙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的情况有3种，

故概率为

故答案为：

15. 已知，，分别为内角，，的对边，，，，则_______.

【答案】

【解析】

【分析】由二倍角公式及余弦定理求出，再由正弦定理求解.

详解】，

，，，

，，，

.

故答案为：

16. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，，，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】先由求出，再由，可求出，则，从而可得，变形可得数列为等比数列，从而可求得结果.

【详解】当时，，，

当时，，

，解得或（舍），

，

当时，，

即， ，

，

．

故答案为：

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查．该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：

（1）求样本学生一个月阅读时间的中位数．

（2）利用分层抽样从阅读时间在的学生选5人参加一个座谈会．现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求小组中至少有1人发言的概率．

【答案】（1）10；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用频率分布直方图中中位数的计算方法进行求解即可；

（2）先分别求出阅读时间在，的频率，从而得到频率之比，确定阅读时间在，抽取的人数，然后利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可.

【详解】（1）由题意可得，频率分布直方图中第一组和第二组的频率之和为，

所以样本学生一个月阅读时间的中位数；

（2）阅读时间在的频率为，的频率为，

故两组的频率之比为，

所以阅读时间在抽取3人，记为；抽取2人，记为1，2.

从中随机抽取两人有：，，，，，，，，，10种情形；

小组中至少有1人发言有，，，，，，7种情形，

故小组中至少有1人发言的概率为.

18. 已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求不等式的解集．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）首先得到函数解析式，则原不等式即为，再根据指数函数的性质计算可得；

（2）依题意可得，再分、和三种情况讨论，分别求出不等式的解集.

【小问1详解】

解：当时，

所以即，

所以或，

解得或，

不等式的解集为．

【小问2详解】

解：因为，所以不等式，即，

当时，，解得，即不等式的解集为；

当时，，解得，即不等式的解集为；

当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为．

综上可得：当时式的解集为，当时不等式的解集为，当时不等式的解集为．

19. 2021年是“十四五”开局之年，是在全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标之后，全面建设社会主义现代化国家新征程开启之年，新征程的第一阶段是2020年到2035年，基本实现社会主义现代化，其中保障农村农民的生活达到富裕是一个关键指标．某地区在2020年底全面建成小康社会，随着实施乡村振兴战略规划，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加．该地区统计了2016年—2020年农村居民人均消费支出情况，对有关数据处理后，制作如图1的折线图（其中变量（万元）表示该地区农村居民人均年消费支出，年份用变量表示，其取值依次为1，2，3，……）．

（1）由图1可知，变量与具有很强的线性相关关系，求关于的回归方程，并预测2021年该地区农村居民人均消费支出；

2016-2020年该地区农村居民人均消费支出

（2）在国际上，常用恩格尔系数（其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况．根据联合国粮农组织的标准：恩格尔系数在40%~50%为小康，30%~40%为富裕．已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示，预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%，从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准．

2020年该地区农村居民人均消费支出构成

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，

【答案】（1）；约为1.513万元；（2）2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准．

【解析】

【分析】（1）先由已知的数据求出，从而可求出，进而可得到关于的回归方程，然后将代入可求出2021年该地区农村居民人均消费支出；

（2）由图2可知，2020年该地区农村居民食品类支出为4451元，则预测2021年该地区食品类支出为元，从而可求出恩格尔系数

【详解】解：（1）由已知数据可求，

，

，

，

∴

∴

∴所求回归方程为．

当时，（万元），

∴2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元

（2）已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元，

由图2可知，2020年该地区农村居民食品类支出为4451元，则预测2021年该地区食品类支出为元，

∴恩格尔系数

所以，2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准．

20. 已知等差数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前2021项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的求出，继而求得公差，可得答案；

（2）根据正弦函数的周期性，结合（1）的结果，即可求得答案.

【小问1详解】

等差数列中，，，

又，设公差为，则，

．

【小问2详解】

；

；

……

根据正弦函数的周期性可知:

．

21. 已知数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列的前项和，证明：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据数列的递推式可得，利用累乘法求得数列通项公式；

（2）求出数列的前项和的表达式，利用错位相减法可证明结论.

【小问1详解】

数列满足，，，

．当n=1时成立

【小问2详解】

，，

两式相减得，

．

22. 已知，，分别为锐角内角，，对边，．

（1）证明：；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理结合已知等式可得，再利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可证得结论，

（2）由为锐角三角形，结合可求出角的范围，再由（1）得，然后利用余弦函数的性质可求得结果.

【小问1详解】

证明：∵，∴，

由余弦定理得，

整理得，即，

由正弦定理得，

即，

，

，

∵为锐角三角形的内角，

或（舍），

故．

【小问2详解】

，，

∵为锐角三角形，，

，，

．

，

∴，，

，

即的取值范围是．