北京市大兴区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)

2022-2023学年北京市大兴区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    在美术字中，有些汉字是轴对称的．下列美术字是轴对称的是(    )

A. 爱 B. 我 C. 中 D. 国

2.    下列长度的三条线段，能组成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.    五边形的内角和为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    如图图形中，作的边上的高，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.    如图，，点，，在同一直线上，若，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，≌，若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.    若从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知，是两个格点，若点是图中的格点，且是等腰三角形，则点的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.    点关于轴的对称点的坐标是______．
10. 等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为______．
11. 如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，作线段与相交于点若，，，则，两点间的距离为______

12. 已知如图，在中，，，垂足是，写出图中的一组相似三角形______ ．
     
13. 如图，点，，，在同一直线上，，，要使≌，需要添加的一个条件可以是______．

14. 如图，是等边三角形，是中点，于点，若，则的长是______．

15. 将图中的折叠，使点与点重合，折痕为，点，分别在，上，得到图形若，，则的周长是______．

16. 如图，与都是等边三角形，和相交于点，连接下面结论中，；；不是的平分线；所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    用一条长的细绳围成一个等腰三角形，若一腰长是底边长的倍，求各边的长．
18. 本小题分
    一个多边形的内角和是它外角和的倍，求这个多边形的边数．
19. 本小题分
    如图，点，，，在同一直线上，，，．
    求证：≌．

20. 本小题分
    如图，线段与线段相交于点，若，，，求的度数．

21. 本小题分
    如图，线段与线段相交于点，，．
    求证：．

22. 本小题分
    如图，，相交于点，．
    作的角平分线，交于点要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
    若，则的形状是______．

23. 本小题分
    如图，为了满足，，三个小区居民的体育锻炼需求，需要建立一个居民健身广场，要使健身广场到三个小区的距离相等，请你在图中作出健身广场的位置要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．

24. 本小题分
    如图，是的中线．
    求证：．
    请将下面的推理过程补充完整：
    证明：如图，延长到点，使，连接．
    是的中线，
    ．
    在和中，
    ≌______
    ______全等三角形的对应边相等．
    在中，______，
    ．
    即．

25. 本小题分
    如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，．
    求证：是的角平分线．

26. 本小题分
    在四边形中，，平分．
    
    如图，若．
    直接写出与的数量关系：______；
    请你写出图中一个与不同的正确结论：______；
    如图，若，猜想与的数量关系，并证明．
27. 本小题分
    如图，在等边中，点是边上一点，作射线，点关于射线的对称点为，连接并延长交射线于点．
    依题意补全图形；
    若，则的度数是______；
    用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28. 本小题分
    在平面直角坐标系中，点，，不在同一直线上，对于点和线段给出如下定义：过点向线段所在直线作垂线，若垂足在线段上，则称点为线段的内垂点，当垂足满足最小时，称点为线段的最佳内垂点．
    已知点，．
    在点，，，中，线段的内垂点为______；
    若点是线段的最佳内垂点，则点的坐标可以是______写出两个满足条件的点即可；
    已知点，，若线段上的每一个点都是线段的内垂点，直接写出的取值范围；
    已知点，，若线段上存在线段的最佳内垂点，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意知，“中”字是轴对称的，
故选：．
根据轴对称的概念得出结论即可．
本题主要考查轴对称的知识，熟练掌握轴对称的知识是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，能组成三角形，符合题意；
B、，不能组成三角形，不符合题意．
C、，不能组成三角形，不符合题意；
D、，不能组成三角形，不符合题意；
故选：．
根据三角形的三条边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可判断．
本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：五边形的内角和是故选B．
边形的内角和是，由此即可求出答案．
本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
 

4.【答案】 

【解析】解：、图形中，是的边上的高，本选项符合题意；
B、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意；
C、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意；
D、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意；
故选：．
根据三角形的高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形外角和内角的关系，可以得到的度数，再根据平行线的性质，可以得到，从而可以得到的度数．
本题考查平行线的性质、三角形外角和内角的关系，解答本题的关键是求出的度数．
 

6.【答案】 

【解析】解：≌，，，
，，
，
故选：．
根据全等三角形的性质求出，，，再根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设多边形有条边，
则，
解得，
故选：．
根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可得，求出的值．
本题考查了多边形的对角线，熟记边形从一个顶点出发可引出条对角线是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图：分情况讨论．
为等腰底边时，符合条件的点有个；
为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个．
故选：．
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：为等腰底边；为等腰其中的一条腰．
此题主要考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用分类讨论思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点的坐标是．
故答案为：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

10.【答案】 

【解析】【试题解析】

解：当这个角是顶角时，底角；
当这个角是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：．
由于等腰三角形的一个内角为，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是这一隐含条件．

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：．
结合，，可得，再利用，即可证出≌，利用全等三角形的性质可得出．
本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出≌是解题的关键．
 

12.【答案】∽ 

【解析】解：在中，，，
，，
在和中，，，
∽；
在和中，，
又，，
，
∽；
在和中，，，
∽．
故答案是：∽．
由题意及图形可知：此图中共有个直角三角形，根据相似三角形的判定和性质判断即可．
本题考查了相似三角形的判定定理，此题只要运用了：“如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，”简叙为两角对应相等两三角形相似这一定理．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：．
理由是：在和中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一．
根据题意可知，两个三角形满足两边对应相等，根据“”可添加或根据“”可添加或，能够使≌．
本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组边对应相等，这条边可以是两角的夹边，也可以是其中一个角的对边；若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，

是等边三角形，
，，
，是中点，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，利用等边三角形的性质可得，，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，即可解答．
本题考查了等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：将图中的折叠，使点与点重合，
，
的周长



．
故答案为：．
由折叠的性质可得出，则可得出的周长，可求出答案．
本题考查了折叠的性质，三角形的周长，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：与都是等边三角形，
，
，，，
≌，
，故正确，
≌，
，
，
，故正确；
如图，过点作，，

≌，
，
，
，
，
，，
平分，故正确；
如图，在线段上截取，连接，

≌，
，
，，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，故正确．
故答案为：．
由“”可证≌，可得；由全等三角形的性质可得，由外角的性质和三角形内角和定理可得；由全等三角形的性质可得，由三角形面积公式可得，由角平分线的性质可得平分；由全等三角形的性质可得，由“”可证≌，由全等三角形的性质得出，证明是等边三角形，可得，可得，即可求解．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明≌是解本题的关键．
 

17.【答案】解：设底长为，则腰边长为，
根据题意得，
解得，
当时，，
所以三角形的腰长为、，底边长为； 

【解析】设底长为，则腰边长为，根据周长列方程得到，然后解方程求出，从而得到三角形的底边与腰长．
本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了三角形三边的关系．
 

18.【答案】解：设这个多边形的边数是，
根据题意得，，
解得．
答：这个多边形的边数是． 

【解析】根据多边形的内角和公式以及外角和定理列出方程，然后求解即可．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
 

19.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌． 

【解析】根据线段的和差求出，利用即可证明≌．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，，，
，
． 

【解析】先根据字形和三角形内角和定理可解答．
本题考查了三角形的内角和定理，掌握字形内角的关系是解题的关键．
 

21.【答案】证明：线段与线段相交于点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】先由，，，根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，再根据等式的性质得，所以．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】等边三角形 

【解析】解：如图，为所作；

，
，
，
平分，
，
为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
利用基本作图作的平分线即可；
先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，然后根据等边三角形的判定方法可判断的形状．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质和等边三角形的判定．
 

23.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】    三角形两边之和大于第三边 

【解析】证明：如图，延长到点，使，连接．
是的中线，
．
在和中，
，
≌．
全等三角形的对应边相等．
在中，三角形两边之和大于第三边，
．
即．
故答案为：，，三角形两边之和大于第三边．
由“”可证≌，可得，由三角形的三边关系可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，，
和是直角三角形．
是的中点，
，
在和中，
≌，
，
又，，
是的角平分线． 

【解析】首先可证明≌再根据三角形角平分线的逆定理求得是的角平分线即可．
此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到是正确解答本题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：，
理由：如图，，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：．
，
理由：由得≌，
，
故答案为：．
，
证明：如图，作交的延长线于点，于点，
，
，，
，
平分，，，
，
在和中，
，
≌，
．
注：答案不唯一，
可以是：，
理由：如图，，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：．
由，，得，由平分，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得；
由≌，得，，则答案是AB，也可以是；
作交的延长线于点，于点，则，由，，得，根据角平分线的性质得，即可证明≌，得．
此题重点考查角平分线上的点到角的两边的距离相等、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线得到和，并且证明≌是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：如下图所示，

是等边三角形，
，，
，，
，
点关于射线的对称点为，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
，证明如下：
如下图所示，在线段上作，连接，
是等边三角形，
，，
点关于射线的对称点为，
，，
≌，
，，
设，则，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
．

根据题意画图即可；
由轴对称可得，，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，可求出的值；
；证明，进而可得，用截长补短方法，在线段上作，连接，易得是等边三角形，再证明≌，即可证明．
本题考查了三角形的几何变换、等腰三角形和等边三角形的性质等，采用截长补短方法构造全等三角形是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
 

28.【答案】，  ， 

【解析】解：如图中，观察图象可知，线段的内垂点为，．
故答案为：，；

如图，点，是线段的最佳内垂点，
故答案为：，答案不唯一；
由题意，，
解得．
故答案为：．
如图中，观察图象可知，满足，
解得．

利用图象法画出图形解决问题即可；
满足条件的点在线段的中垂线上；
构建不等式组解决问题即可；
构建不等式组解决问题即可．
本题考查坐标与图形的性质，垂线，线段的垂直平分线，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会构建不等式组解决问题，属于中考常考题型．