2022-2023学年江苏省南通市高三数学第一次全市联考模拟考试数学试题（含答案解析）

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2022-2023学年江苏省南通市高三数学第一次全市联考模拟考试数学试题     已知M，N为R的两个不相等的非空子集，若，则(    )A.  B.
C.  D.     设i是虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限    函数的图象大致是(    )A.  B.
C.  D.     在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量(    )
 A.  B.  C.  D.     函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是(    )A. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数图象的对称中心为    记“方程表示椭圆”，“函数无极值”，则p是q的(    )A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件    已知、是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C的右顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线C的离心率为(    )A.  B. 2 C. 3 D. 4    已知O为坐标原点，点P为函数图象上一动点，当点P的横坐标分别为，，时，对应的点分别为，则下列选项正确的是(    )A.  B.
C.  D.     已知复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是(    )A. 当时，
B. 当时，
C. 满足的点表示的轨迹为直线
D. 满足的点表示的轨迹为椭圆已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是(    )A. 若则是等差数列
B. 若则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且则，已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于两点，则(    )A. C的准线为 B. 直线AB与C相切
C.  D. 已知函数，的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则(    )A.  B.
C.  D. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线的焦点，且与直线相切于坐标原点O，则圆C的标准方程为__________.已知函数的定义域为R，，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为__________.已知圆，过x轴上的点存在一直线与圆M相交，交点为，且满足，则点P的横坐标a的取值范围为__________已知，则的最小值为__________.设为等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列．求数列的通项公式；若，求数列的前n项和 已知函数求函数的最小正周期及对称轴方程；将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间. 椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为求椭圆C的方程；过点的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程. 如图，在四边形ABCD中，，求角A；若，求四边形ABCD的面积. 已知双曲线的离心率是，实轴长是求双曲线C的方程；过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值. 已知函数当时，①求的极值；②若对任意的都有，，求m的最大值；若函数有且只有两个不同的零点，，求证
答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了集合的运算及集合的包含关系判断与应用，属于基础题．
由题意知M，N为R的两个不相等的非空真子集，且，取，，从而依次判断即可．【解答】解：，N为R的两个不相等的非空真子集，，
则，
取，，
对于A，，
对于B，，故，
对于D，，故，
由排除法，可得C正确.
故选  2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查复数的代数表示及其几何意义，共轭复数，复数的四则运算，属于基础题.
由题意利用复数的四则运算得，进而可求出在复平面内对应的点所在象限.【解答】解：，
，
即，
故在复平面内对应的点为，在第四象限 .
故选  3.【答案】C 【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，属于基础题.
利用奇偶性和函数值的分布即可解答.【解答】解：函数的定义域为R，
，则是奇函数，图象关于原点对称，故排除A，B，当时，，则，排除D，
故选  4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.【解答】解：如图所示，根据平面向量的运算法则，

可得
 故选  5.【答案】C 【解析】【分析】本题考查由部分图象求三角函数解析式，求正弦型函数的对称轴和对称中心、判断正弦型函数的单调区间以及正弦型函数的图象变换，属于中档题；
利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BD选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项.【解答】解：由图象可知，，可得，
因为，则，由图可知函数的最小正周期为，，
所以对于A选项，因为，所以函数的图象可由的图象向左平移个单位得到，故A错；对于B选项，因为，所以函数的图象不关于直线对称，故B错；对于C选项，当时，则，由于在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故C对；对于D选项，令，则，则函数的对称中心为，故D错.故选  6.【答案】B 【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断，涉及椭圆的定义及利用导数研究函数的极值，属于中档题.
根据椭圆的定义，以及利用导数研究函数的极值问题，结合充分必要条件的判断进行判定即可.【解答】解：若p为真，则，解得且，
所以；
若q为真，“函数无极值”，
则不存在相异的两个实根，
即²，
解得，
所以\(p⇒q,q⇏p\)，
所以p是q的充分不必要条件.
故选  7.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了双曲线的几何性质与直线方程的应用问题，是中档题．
求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：如图所示，

由题意知：，，，
直线AP的方程为：，
由，，则，
代入直线AP：，整理得：，
所求的双曲线离心率为
故选  8.【答案】D 【解析】【分析】本题考查利用导数比较大小，属于较难题．
设，，构造函数通过求导来判别其增减性，进而求得答案．【解答】解：设，则，
令，，则，
设，，则，
所以在上为增函数，
故，
所以在上为增函数，
因为，
所以，即，
故选  9.【答案】AD 【解析】【分析】本题考查复数的模及其几何意义，复数的四则运算及其几何意义，属于中档题.
根据复数的代数运算及模的运算可判定选项AB；根据复数的模的几何意义可判定选项【解答】解：设，，则点，，
对于A，，，
因为，可求得，
所以，即，故A正确；
对于B，当，可得，
解得，由于a，b，c，d不会都为零，所以，故B错误；
对于C，根据复数的几何意义可知，表示的几何图形是圆，故C错误；
对于D，在复平面中，点到间距离为，设，
，
点的轨迹表示以、为焦点的椭圆，故D正确.
故选  10.【答案】BC 【解析】【分析】本题考查等比、等差数列的判定，涉及等比、等差数列的前n项和，属于中档题．
对于选项A，由，求，再验证是否满足，即可判断其正误；对于选项B，先利用求得数列的通项公式，再利用等比数列的定义判断其正误即可；利用等差数列的前n项和公式与性质可判断选项C的正误；对于选项D，可用当时求得，可判断其正误．【解答】解：对于A选项，若 ，当 时，  ， 不满足 ，故A错误；
对于B选项，若  ，则  ，
由于 满足 ，所以 是等比数列，故B正确；
对于C选项，若 是等差数列，则 ，故C正确；
对于D选项，当 时， ，故当  时不等式不成立，故 不成立，所以D错误.
故答案为  11.【答案】BCD 【解析】【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系及其应用，以及抛物线的性质，属较难题．
根据抛物线的性质、直线与抛物线的关系及弦长公式逐项判断，即可得出结论.【解答】解：点  在抛物线 上，
即  ，所以准线为  ，所以A错误 
直线代入得：
得，所以与C相切，故B正确；
由题知直线 PQ 的斜率一定存在，
则可设直线  ， ， ，
则  ，  或  ，
此时 ，


 ，故 C 正确 
 ，故 D 正确．
故选
   12.【答案】AD 【解析】【分析】本题考查抽象函数的奇偶性应用，奇偶函数的导数，周期性应用，属于较难题.
通过变形，求得的周期，是本题解题的关键，在对题目中的等式进行相应的赋值相加可求得结果.【解答】解：由于是偶函数，则，两边求导得，
所以是奇函数，，
由，，得，
即，所以是周期函数，且周期为4，，
在，中令得
，则 ，A正确；
没法求得的值，B错；
令得，，，则，无法求得，同理令得，，，
因此，相加得，只有在时，有，但不一定为0，因此C错；
在中令得，，在中令得，，两式相加得，即，D正确.
故选  13.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及抛物线的焦点，圆的切线问题，是中档题．
求出抛物线的焦点，结合直线与圆相切的性质求出圆心和半径即可．【解答】解：抛物线的焦点为，
圆与直线相切于坐标原点O，
圆心在直线上，
圆过原点O以及点，则圆心在直线上，
即圆心横坐标为1，纵坐标为，
即圆心为，半径，
则圆的标准方程为，
故答案为：  14.【答案】 【解析】【分析】本题考查了利用导数解不等式，考查函数单调性的应用，属于中档题．
令，求导可得单调递增，且，故不等式的解集为的解集．【解答】解：令，则，
故在R上单调递增，
又，
的解集为，
，故不等式等价于，
即，
，又，

故答案为  15.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系及其求参，属于中档题.
由题意可得圆的半径为2，动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，P到圆心的距离小于或等于6，即，由此求得a的范围.【解答】解：由题意可知：圆的半径为2，
故弦长AB的范围是
又，所以动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，
由于圆与x轴相离，故P到圆上的点的距离恒大于
进而分析得：P到圆心的距离小于或等于6，
根据两点间的距离公式有：，
解得，
故所求的a的范围是：，
故答案为  16.【答案】 【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值，属于较难题．
利用基本不等式结合配凑求出结果．【解答】解：由于，
所以
，
当且仅当，即，时，等号成立．
故答案为：  17.【答案】解：设等差数列的公差为d，由得：
整理得，
因为，，成等比数列，
所以
故舍去，或，
又由，
解得，，满足条件.
故
由得，
所以，
所以，
所以……，
则……，
两式相减得：
……

，
所以 【解析】本题考查等比数列的性质，等差数列的通项公式与求和公式，错位相减法求和，属于中档题.
根据等差数列的通项公式与求和公式，结合等比数列的性质，列式求得，，从而求得；
结合，得，再运用错位相减法求解即可.
 18.【答案】解：
，
，

所以函数的最小正周期为，
令，
解得：，
所以对称轴方程为：；
将函数的图象向左平移个单位，
所得图象的解析式为：，
再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，
得到：，
令：，
所以：，
又，所以在上的单调递减区间为：， 【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换，余弦型函数单调性、周期性、对称轴，三角函数图象的平移和伸缩变换，属于中档题．
利用三角函数的恒等变换将解析式变形成余弦型函数，即可进一步求出函数的周期和对称轴方程；
利用三角函数图象的平移和伸缩变换规律得到的解析式，即可求解在上的单调递减区间．
 19.【答案】解：由题意可知，，
由可得，
因为的面积为2，
所以，又，
，
解得，
则，
故椭圆方程为
当直线l的斜率为0时，此时，不合题意，
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，
联立，得，
所以，，
因为的面积为2，，
所以M纵坐标为，
所以代入椭圆方程可得，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得或，
当时，直线l过点M，不符合题意，
所以直线l的方程为 【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及其应用，以及椭圆的定义，属于中档题．
由椭圆的定义得到，再结合直角三角形勾股定理，即可求解；
当直线l的斜率为0时，此时，不合题意，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由，推出，解得m，进而可得答案．
 20.【答案】解：因为，，
所以，从而，则
因为，所以，所以，
所以，解得
在中，，，，
由余弦定理得，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
又因为，
所以，
即，
又因为，所以，从而
因此四边形ABCD的面积

故四边形ABCD的面积 【解析】本题考查了诱导公式、二倍角公式、三角形的面积，考查了正、余弦定理的综合应用，属于中档题.
根据诱导公式结合二倍角公式可求出，即可求出答案；
根据余弦定理求出BD，再根据正弦定理可得，进而得，最后结合三角形面积公式即可得出答案.
 21.【答案】解：依题意得，，
解得，
所以双曲线C的方程是；
证明：由题意知，直线l的斜率一定存在，
设，，，直线l的方程为，
将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，
，
则，，
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足
，即，解得，
由，得，故，
所以，
又，
所以点D的纵坐标为定值 【解析】本题考查双曲线方程，直线与双曲线的综合应用中的定值问题，属于较难题.
由题意得求得即可得双曲线方程;
设直线l的方程为联立双曲线方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出k的范围，根据题目条件带入坐标求出，即可得
 22.【答案】解：①当时，，定义域为，，，令，解得当x变化时，，的变化情况如下表：x-0+递减极小值递增所以的极小值为，没有极大值.②对任意的都有，即恒成立，由，故，所以由①知在上单调递增，因此，可得，即当时，的最小值为，所以m的最大值为证明：要证明，只需证明即可.依题意，，是方程的两个不等实根，因为，所以①､②相加得：，①､②相减得：，消去a，整理得，不妨设，令，则故只需证明当时，，即证明设，则于是在上单调递增，从而，因此所以 【解析】本题主要考查函数的极值，函数的单调性以及最值问题，考查了导数的应用以及不等式证明，属于较难题.
①将代入，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可；
②问题转化为恒成立，且，得，即，求出m的最大值最大值即可；
问题转化为证明即可，求出，不妨设，令，则，证明，设，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可.