江苏省泰州市姜堰区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省泰州市姜堰区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省泰州市姜堰区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．2022年8月28日至9月5日，江苏省第二十届运动会在泰州举办，下列各图是选自省运会的部分图案，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知△ABC≌△DEF，AB＝5，AC＝6，BC＝7，则DF的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．11
3．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．，，
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．面积相等的两个等腰三角形全等
B．周长相等的两个等腰三角形全等
C．面积相等的两个直角三角形全等
D．周长相等的两个等边三角形全等
5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B均在格点上，在图中给出的C1、C2、C3、C4四个格点中，能与点A、B构成等腰三角形，且面积为2的是（　　）

A．C1 B．C2 C．C3 D．C4
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，过点C画一条直线，将Rt△ABC分割成两个三角形，且其中至少有一个是等腰三角形，则这样的直线能画（　　）条．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是　 　度．
8．若直角三角形两直角边平方和为36，则它的斜边长为 　 　．
9．“等边三角形是轴对称图形”的逆命题是 　 　命题（填“真”或“假”）．
10．如图，△ABC经过平移得到△A'B'C'，连接BB'、CC'，若BB'＝1.2cm，则CC'＝　 　cm．

11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，以BC为边在BC的左侧作等边△BCD，连接AD，则∠DAC＝　 　°．

12．如图，在等边三角形网格中，每个等边三角形的边长都为1，图中已经涂黑了3个三角形，从①、②、③号位置选择一个三角形涂黑，其中不能与图中涂黑部分构成轴对称图形的是 　 　号位置的三角形．

13．如图，BD为△ABC的角平分线，AB＝6cm，BC＝10cm，S△ABD＝9cm2，则S△BCD＝　 　cm2．

14．一个等腰三角形的周长为36，其中一条边的长度为10，则底边上高的长度为 　 　．
15．如图，在笔直的公路AB旁有一个城市书房C，C到公路AB的距离CD为80米，AC为100米，BC为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 　 　秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．

16．如图，长方形纸条ABCD，AB＝8cm，点E在AD边上，且AE＝6cm，点F为BC边上一点，连接EF，将四边形ABFE沿EF翻折，得到四边形A'B'FE．若纸条的长度足够长，则B′到BC边的最大距离为 　 　cm．

三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：（π﹣3）0+|﹣3|﹣（﹣2）2；
（2）解方程组：．
18．先化简，再求值：（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x满足3x2﹣2x﹣2032＝0．
19．如图，点A、B、C、D在一条直线上，BE∥CF，从①AE∥DF，②AB＝CD，③BE＝CF中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是 　 　，结论是 　 　．（填序号）

20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BD＝CD，过A点作AE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）求证：AB＝AE．

21．如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，BD＝8．点E从B点沿射线BC向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为BE的中点，连接AE、AF，设点E运动的时间为t．
（1）当t为何值时，AE＝AF；
（2）当t＝5时，判断△ABE的形状，并说明理由．

22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题（仅用无刻度的直尺作图，且保留必要的作图痕迹）：
（1）在AB上找一点D，使CD⊥AB；
（2）在AC上找一点E，使BE平分∠ABC．

23．如图，用两根木棒AC、AD加固小树，木棒AC、AD与小树在同一平面内，且小树与地面垂直，AD＝2m，AC＝1.3m．
（1）若AB＝1.2m，求BD的长；
（2）若CD＝2.1m，求BD的长．

24．如图，△ABC的两条外角平分线CD、BD相交于点D，MN过点D，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．
（1）求证：MN＝CN+BM；
（2）若C△AMN+BC＝2C△ABC，求的值．

25．如图，点D为等腰直角三角形ABC斜边AC上一动点（点D不与线段AC两端点重合），将BD绕点B顺时针方向旋转90°到BE，连接AE、EC、ED．
（1）求证：AD＝EC；
（2）若AD＝1，CD＝7，求BD的长；
（3）若AC2＝40，请直接写出AE+BE的最小值．

26．已知，正方形ABCD的边长为8，点P、G分别在射线BC、边AB上，连接PG，点B关于PG的对称点为Q，连接BQ．
（1）如图1，取AD、BC的中点E、F，连接EF，若点Q刚好落在线段EF上，且点P在线段FC上，则∠PBQ的度数不可能是下列选项中的 　 　；（填序号）
①45°，②59°，③72°
（2）如图2，当点Q落在AD边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，
①当PC＝2时，求AG的长；
②若线段PQ与CD相交于点N，连接BN，试探索点Q落在不同位置时，∠QBN的度数是否发生变化，若不变，求出∠QBN的度数；若变化，请说明理由．




参考答案
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．2022年8月28日至9月5日，江苏省第二十届运动会在泰州举办，下列各图是选自省运会的部分图案，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．已知△ABC≌△DEF，AB＝5，AC＝6，BC＝7，则DF的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．11
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴DF＝AC＝6，
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
3．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．，，
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，不合题意；
B、52+42≠62，不能构成直角三角形，不合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，符合题意；
D、三边长，，都不是正整数，不是勾股数，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．面积相等的两个等腰三角形全等
B．周长相等的两个等腰三角形全等
C．面积相等的两个直角三角形全等
D．周长相等的两个等边三角形全等
【分析】利用三角形全等的判定方法分别进行判断即可．
解：A、两腰对应相等的两个三角形顶角不相等时，它们不全等，所以A不正确，不符合题意；
B、周长相等的两个等腰三角形不一定全等利用，所以B不正确，不符合题意；
C、面积相等的两个直角三角形它们不全等，所以C不正确，不符合题意；
D、周长相等的两个等边三角形全等，所以D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B均在格点上，在图中给出的C1、C2、C3、C4四个格点中，能与点A、B构成等腰三角形，且面积为2的是（　　）

A．C1 B．C2 C．C3 D．C4
【分析】先判断等腰三角形，然后计算等腰三角形的面积，进而作出判断．
解：根据图形可知△ABC2，△ABC3是等腰三角形，
则S＝2，
S＝2×3﹣1×2﹣＝．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，过点C画一条直线，将Rt△ABC分割成两个三角形，且其中至少有一个是等腰三角形，则这样的直线能画（　　）条．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰三角形的性质画出符合题意的图形即可．
解：如图所示，即为符合题意的等腰三角形．
故这样的直线能画1条．
故选：A．

【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及应用设计与作图等知识，正确画出图形是解题关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是　120　度．
【分析】根据已知可得到另一底角度数，根据三角形内角和定理即可求得顶角的度数．
解：因为等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角是30°，
所以它的顶角是180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为：120．
【点评】此题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的运用．本题给出了底角是30°，问题就变得比较简单，属于基础题．
8．若直角三角形两直角边平方和为36，则它的斜边长为 　6　．
【分析】当∠C＝90°时，由勾股定理得，c2＝a2+b2＝36，可得c的值．
解：当∠C＝90°时，
由勾股定理得，c2＝a2+b2，
∵直角三角形两直角边平方和为36，
∴c2＝36，
∵c＞0，
∴c＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．“等边三角形是轴对称图形”的逆命题是 　假　命题（填“真”或“假”）．
【分析】交换原命题的题设和结论后即可写出该命题的逆命题．
解：命题“等边三角形是轴对称图形”的逆命题是轴对称图形是等边三角形，是假命题，
故答案为：假．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
10．如图，△ABC经过平移得到△A'B'C'，连接BB'、CC'，若BB'＝1.2cm，则CC'＝　1.2　cm．

【分析】根据平移的性质即可得到结论．
解：∵△ABC经过平移得到△A'B'C'，连接BB'、CC'，BB'＝1.2cm，
∴CC'＝BB′＝1.2cm，
故答案为：1.2．
【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，以BC为边在BC的左侧作等边△BCD，连接AD，则∠DAC＝　30　°．

【分析】根据等腰三角形和直角三角形的性质解答即可．
解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC，以BC为边在BC的左侧作等边△BCD，
∴AB＝BC＝BD，∠CBD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAB＝＝75°，
∵∠DAC＝∠DAB﹣∠BAC＝75°﹣45°＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键．
12．如图，在等边三角形网格中，每个等边三角形的边长都为1，图中已经涂黑了3个三角形，从①、②、③号位置选择一个三角形涂黑，其中不能与图中涂黑部分构成轴对称图形的是 　②③　号位置的三角形．

【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
解：从①、②、③号位置选择一个三角形涂黑，其中不能与图中涂黑部分构成轴对称图形的是②③号位置的三角形．
故答案为：②③．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
13．如图，BD为△ABC的角平分线，AB＝6cm，BC＝10cm，S△ABD＝9cm2，则S△BCD＝　15　cm2．

【分析】由BD为△ABC的角平分线可得点D到AB与DC的距离相等，进而求解．
解：∵BD为△ABC的角平分线，
∴点D到线段AB的距离与点D到线段BC的距离相等，
设点B到线段AB与BC的距离为h，
则S△ABD＝AB•h＝6h＝9，
解得h＝3，
∴S△BCD＝BC•h＝＝15（cm2），
故答案为：15．
【点评】本题考查角平分线的性质，解题关键是掌握角平分线的性质，掌握三角形面积的求法．
14．一个等腰三角形的周长为36，其中一条边的长度为10，则底边上高的长度为 　6或12　．
【分析】分两种情况：①当长度为10的边是腰时，②当长度为10的边是底时，根据勾股定理即可得到结论．
解：①当长度为10的边是腰时，则底为36﹣10﹣10＝16，
∴底边上高的长度为＝6；
②当长度为10的边是底时，则腰为（36﹣10）＝13，
∴底边上高的长度为＝12，
综上所述，底边上高的长度为6或12，
故答案为：6或12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．
15．如图，在笔直的公路AB旁有一个城市书房C，C到公路AB的距离CD为80米，AC为100米，BC为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 　70　秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．

【分析】如图，设CE＝170米，由勾股定理求出AD和DE的长，则可求出答案．
解：如图，设CE＝170米，

∵∠CDE＝90°，CD＝80米，
∴DE＝＝＝150（米），
∵CD＝80米，AC＝100米，
∴AD＝＝＝60（米），
∴EA＝AD+DE＝60+150＝210（米），
∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为＝70（秒），
故答案为：70．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．如图，长方形纸条ABCD，AB＝8cm，点E在AD边上，且AE＝6cm，点F为BC边上一点，连接EF，将四边形ABFE沿EF翻折，得到四边形A'B'FE．若纸条的长度足够长，则B′到BC边的最大距离为 　18　cm．

【分析】连接B′E，作EH⊥BC于点H，B′G⊥BC于点G，先证明四边形ABHE是矩形，得EH＝AB＝8cm，由翻折得∠A′＝90°，A′B′＝AB＝8cm，A′E＝AE＝6cm，再根据勾股定理求得B′E＝10cm，即可由B′G≤B′E+EH推导出B′G≤18cm，则B′G的最大值是18cm，于是得到问题的答案．
解：连接B′E，作EH⊥BC于点H，B′G⊥BC于点G，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝8cm，AE＝6cm，
∴∠A＝∠B＝∠EHB＝90°，
∴四边形ABHE是矩形，
∴EH＝AB＝8cm，
由翻折得∠A′＝90°，A′B′＝AB＝8cm，A′E＝AE＝6cm，
∴B′E＝＝10（cm），
∴B′E+EH＝10+8＝18（cm），
∵B′G≤B′E+EH，
∴B′G≤18cm，
∴B′G的最大值是18cm，
故答案为：18．

【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、垂线段最短、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且推导出B′G≤18cm是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：（π﹣3）0+|﹣3|﹣（﹣2）2；
（2）解方程组：．
【分析】（1）根据零指数幂，有理数的乘方，绝对值进行计算，再算加减即可；
（2）由①得出x＝2y③，把③代入②得出4y+y＝5，求出y，再把y＝1代入③求出x即可．
解：（1）原式＝1+3﹣4
＝0；

（2），
由①，得x＝2y③，
把③代入②，得4y+y＝5，
解得：y＝1，
把y＝1代入③，得x＝2，
所以原方程组的解是．
【点评】本题考查了零指数幂，实数的混合运算和解二元一次方程组，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（2）的关键．
18．先化简，再求值：（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x满足3x2﹣2x﹣2032＝0．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把﹣3x2+2x＝﹣2032代入化简后的式子进行计算即可解答．
解：（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）
＝x2+2x+1﹣4x2+9
＝﹣3x2+2x+10，
∵3x2﹣2x﹣2032＝0，
∴3x2﹣2x＝2032，
﹣3x2+2x＝﹣2032，
∴当﹣3x2+2x＝﹣2032，原式＝﹣2032+10＝﹣2022．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．如图，点A、B、C、D在一条直线上，BE∥CF，从①AE∥DF，②AB＝CD，③BE＝CF中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是 　①②（答案不唯一）　，结论是 　③（答案不唯一）　．（填序号）

【分析】证△ABE≌△DCF（ASA），即可得出结论．
解：补充条件是①②，结论是③，理由如下：
∵BE∥CF，
∴∠CBE＝∠BCF，
∴∠ABE＝∠DCF，
∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴BE＝CF，
故答案为：①②（答案不唯一），③（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BD＝CD，过A点作AE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）求证：AB＝AE．

【分析】（1）由直角三角形的性质得∠ACB＝90°﹣∠A＝60°，AD＝BC＝CD，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得∠DAC＝∠ACD＝60°，再证∠B＝∠E，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵BD＝CD，
∴AD＝BC＝CD，
∴△ACD是等边三角形；
（2）由（1）可知，△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝∠ACD＝60°，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝30°，
∴∠E＝∠DCA﹣∠CAE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠B＝∠E，
∴AB＝AE．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
21．如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，BD＝8．点E从B点沿射线BC向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为BE的中点，连接AE、AF，设点E运动的时间为t．
（1）当t为何值时，AE＝AF；
（2）当t＝5时，判断△ABE的形状，并说明理由．

【分析】（1）根据题意可得：BE＝2t，再根据线段中点的定义可得BF＝EF＝t，从而可得DF＝8﹣t，DE＝2t﹣8，然后根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADE＝90°，再分别在Rt△ADF和Rt△ADE中，利用勾股定理可得AF2＝16+（8﹣t）2，AE2＝16+（2t﹣8）2，最后令AE＝AF，从而可得16+（8﹣t）2＝16+（2t﹣8）2，进行计算即可解答；
（2）当t＝5时，BE＝2t＝10，DE＝2，然后分别在Rt△ADB和Rt△ADE中，利用勾股定理求出AB2和AE2，最后利用勾股定理的逆定理证明△ABE是直角三角形，即可解答．
解：（1）由题意得：
BE＝2t，
∵F为BE的中点，
∴BF＝EF＝BE＝t，
∵AD＝4，BD＝8，
∴DF＝BD﹣BF＝8﹣t，DE＝BE﹣BD＝2t﹣8，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
在Rt△ADF中，AF2＝AD2+DF2＝16+（8﹣t）2，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝16+（2t﹣8）2，
令AE＝AF，
∴16+（8﹣t）2＝16+（2t﹣8）2，
解得：t＝或t＝0（舍去），
∴当t＝时，AE＝AF；
（2）△ABE是直角三角形，
理由：当t＝5时，BE＝2t＝10，
∴DE＝BE﹣BD＝10﹣8＝2，
在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝42+82＝80，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝42+22＝20，
∵AB2+AE2＝100，BE2＝102＝100，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴△ABE是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题（仅用无刻度的直尺作图，且保留必要的作图痕迹）：
（1）在AB上找一点D，使CD⊥AB；
（2）在AC上找一点E，使BE平分∠ABC．

【分析】（1）取格点T，连接CT交AB于点D，点D即为所求；
（2）取格点P，连接AP，取AP的中点Q，连接BQ交AC于点E，点E即为所求．
【解答】解；（1）如图，点D即为所求；
（2）如图，点E即为所求．


【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的高，角平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，用两根木棒AC、AD加固小树，木棒AC、AD与小树在同一平面内，且小树与地面垂直，AD＝2m，AC＝1.3m．
（1）若AB＝1.2m，求BD的长；
（2）若CD＝2.1m，求BD的长．

【分析】（1）由勾股定理可求出答案；
（2）设BD＝xm，则BC＝（2.1﹣x）m，由勾股定理得出1.32﹣（2.1﹣x）2＝22﹣x2，解方程可得出答案．
解：（1）∵AB⊥DC，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝2m，AB＝1.2m，
∴BD＝＝＝1.6（m）；
（2）设BD＝xm，则BC＝（2.1﹣x）m，
∵AC2﹣BC2＝AB2，AD2﹣BD2＝AB2，
∴AC2﹣BC2＝AD2﹣BD2，
∴1.32﹣（2.1﹣x）2＝22﹣x2，
解得x＝1.6，
∴BD＝1.6m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24．如图，△ABC的两条外角平分线CD、BD相交于点D，MN过点D，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．
（1）求证：MN＝CN+BM；
（2）若C△AMN+BC＝2C△ABC，求的值．

【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可证CN＝DN，DM＝BM，即可求解；
（2）由三角形的周长关系可得CN+BM+MN＝C△ABC，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC的两条外角平分线CD、BD相交于点D，
∴∠DCN＝∠DCB，∠DBC＝∠DBM，
∵MN∥BC，
∴∠CDN＝∠DCB，∠BDM＝∠DBC，
∴∠DCN＝∠CDN，∠BDM＝∠DBM，
∴CN＝DN，DM＝BM，
∴MN＝DN+DM＝CN+BM；
（2）解：∵C△AMN+BC＝2C△ABC，
∴AN+AM+MN+BC＝2C△ABC，
∴AC+AB+CN+BM+MN+BC＝2C△ABC，
∴CN+BM+MN＝C△ABC，
∴＝＝2．
【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
25．如图，点D为等腰直角三角形ABC斜边AC上一动点（点D不与线段AC两端点重合），将BD绕点B顺时针方向旋转90°到BE，连接AE、EC、ED．
（1）求证：AD＝EC；
（2）若AD＝1，CD＝7，求BD的长；
（3）若AC2＝40，请直接写出AE+BE的最小值．

【分析】（1）利用SAS证明△ABD≌△CBE，得AD＝EC；
（2）由（1）得∠BAD＝∠BCE＝45°，则∠DCE＝∠DCB+BCE＝90°，再根据勾股定理可得DE的长，从而得出BD的长；
（3）由（2）知，∠BCE＝45°，则点E在直线CE上运动，作点B关于CE的对称点B'，连接AB'，交GC于E，此时AE+BE最小，再根据勾股定理求AB'的长即可．
【解答】（1）证明：∵将BD绕点B顺时针方向旋转90°到BE，
∴BD＝BE，∠DBE＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠EBC，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝EC；
（2）解：∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD＝∠BCE＝45°，
∴∠DCE＝∠DCB+BCE＝90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，DE＝＝＝5，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝BD＝5，
∴BD＝5；
（3）解：由（2）知，∠BCE＝45°，
则点E在直线CE上运动，

作点B关于CE的对称点B'，连接AB'，交GC于E，此时AE+BE最小，
∵AC2＝40，
∴AB2＝BG2＝GB'2＝20，
∴AG2＝（2AB）2＝80，
在Rt△AGB'中，由勾股定理得，AB'2＝AG2+B'G2＝80+20＝100，
∴AB'＝10，
∴AE+BE的最小值为10．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轴对称最短路线问题，确定点E的运动路径是解题的关键．
26．已知，正方形ABCD的边长为8，点P、G分别在射线BC、边AB上，连接PG，点B关于PG的对称点为Q，连接BQ．
（1）如图1，取AD、BC的中点E、F，连接EF，若点Q刚好落在线段EF上，且点P在线段FC上，则∠PBQ的度数不可能是下列选项中的 　③　；（填序号）
①45°，②59°，③72°
（2）如图2，当点Q落在AD边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，
①当PC＝2时，求AG的长；
②若线段PQ与CD相交于点N，连接BN，试探索点Q落在不同位置时，∠QBN的度数是否发生变化，若不变，求出∠QBN的度数；若变化，请说明理由．


【分析】（1）可推出45°≤∠PBQ≤60°，进而得出结果；
（2）作BE⊥PQ，可证得AB＝BE＜PB，进而得出结果；
（3）①作PE⊥AD，交AD的延长线于E，连接PQ，GQ，在Rt△PQE中求得EQ的长，进而求得DQ的长，设AG＝x，则BG＝QG＝8﹣x，在Rt△AGQ中，由勾股定理列出方程求得结果；
②先证得△ABQ≌△AEQ，∠ABQ＝∠EBQ，进而证得Rt△BEN≌Rt△BCN，进而得出∠CBN＝∠EBN，进一步得出结果．
解：（1）如图1，

当点P在F点时，∠PBQ＝45°，
当点P在C点时，∠PBQ′＝60°，
∴45≤∠PBQ≤60°，
故答案为：③；
（2）如图2，

点P落在点C的右侧，理由如下：
连接PQ，作BE⊥PQ于E，
∵点B和点Q关于PG对称，
∴PG垂直平分BQ，
∴PQ＝PB，
∴∠PBQ＝∠PQB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，
∴∠PBQ＝∠AQB，BA⊥AD，
∴∠AQB＝∠PQB，
∴BE＝AB，
∴BE＝BC，
在Rt△PEB中，
BE＜PB，
∴BC＜PB，
∴点P是否一定在射线BC上点C的右侧；
（3）①如图3，

作PE⊥AD，交AD的延长线于E，连接PQ，GQ，
∵PG是BQ的垂直平分线，
∴PQ＝PB＝8+2＝10，BG＝GQ，
在Rt△PQE中，PQ＝10，PE＝AB＝8，
∴EQ＝6，
∵DE＝CP＝2，
∴DQ＝EQ﹣DE＝6﹣2＝4，
∴AQ＝AD﹣DQ＝8﹣4＝4，
设AG＝x，则BG＝QG＝8﹣x，
在Rt△AGQ中，由勾股定理得，
AG2+AQ2＝QG2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3；
②如图4，

∠QBN不发生变化，理由如下：
作BE⊥PQ，
由（2）可知：△ABQ≌△AEQ，∠ABQ＝∠EBQ，
∴BE＝AB，
∵AB＝BC，
∴BE＝BC，
∵∠BEN＝∠BCN＝90°，BN＝BN，
∴Rt△BEN≌Rt△BCN（HL），
∴∠CBN＝∠EBN，
∵∠ABQ+∠EBQ+∠EBN+∠CBN＝90°，
∴2∠EBQ+2∠EBN＝90°，
∴∠QBN＝45°，
∴∠QBN的度数不发生变化．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．