四川省眉山市仁寿第一中学南校区2022-2023学年高二上学期期中考试数学（理）试题（含答案）

仁寿一中南校区高2021级高二（上）半期考试

    理科数学试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.

4．考试结束后，将答题卡交回.

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设命题,则为(　　)

A.        B.            C.         D.

2、若,则下列命题为假命题的是（　　）

A．若,则   B．若,则 C．若,则   D．若ac2bc2,则

3、圆与圆的位置关系是(　　)

A.内切         B.相交            C.外切              D.相离

4、“”是“直线与圆相切”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件         C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

5、一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形,则这个几何体的侧面积为（　　）

A． B．2π C．3π D．4π

6、已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则（　　）

A．若m∥n,α∩γ＝m,β∩γ＝n,则α∥β          B．若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β 

C．若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n                  D．若α∥β,β∥γ,m⊂α,n⊂γ,则m∥n

7、已知点,若点C是圆上的动点,则△ABC面积的最小值为（　　）

A．3 B．2 C． D．

8、《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑中,⊥平面,⊥,且,为的中点,则异面直线与夹角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

9、正三棱柱的所有棱长都相等,是的中点,则直线与平面所成角的正弦值为(    )

A.              B.             C.               D.  

10、若点在圆的外部,则实数的取值范围是（　　）

A．        B．   C．       D．

11、与直线切于点,3),且经过点,1)的圆的方程为（　　）

A． B．

C． D．

12、如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点E,F,G,H,I分别为线段A1D1,A1B1,B1B,BC,B1D1的中点,连接CD1,B1D1,B1C,DE,BF,CI,则下列正确结论的个数是（　　）

①点E,F,G,H在同一个平面上；

②平面CB1D1∥平面EFD；

③直线DE,BF,CI交于同一点；

④直线BF与直线B1C所成角的余弦值为．

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13、已知命题：“,使”为真命题，则实数的取值范围是             

14、当圆C：截直线l：所得的弦长最短时，实数　           　

15、已知圆C：,点P是直线上的动点,过P作圆的两条切线,切点分别为A、B，则四边形PACB面积的最小值为 　           　

16、在平面四边形ABCD中,AD⊥CD,AC⊥BC,∠DAC＝∠BAC＝30°,现将△ACD沿AC折起,并连接BD,使得平面ACD⊥平面ABC,若所得三棱锥的外接球的表面积为,则三棱锥的体积为       

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17、已知为正实数,设:实数满足,实数满足.

(1)若,且为真,求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.

18、如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,点M是线段B1D1上的一个动点,E,F分别是BC,CM的中点．

（1）求证：EF∥平面BDD1B1；

（2）设G为棱CD上的中点,求证：平面GEF∥平面BDD1B1．

19、如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD边的中点,求证：BG⊥平面PAD；

（2）若E为BC边的中点,能否在棱PC上找一点F,使得PA//平面DEF？并证明你的结论．

20、已知圆过两定点,且圆心在直线上；

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线交圆于M,N两点，若，求直线的方程．

21、如图，在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC＝90°,AB＝2CD＝2BC＝4,E为AB的中点,沿DE将△ADE折起,使得点A到点P的位置,且PE⊥EB，M为PB的中点,N为边BC上的动点（与点B,C不重合）．

（1）证明：平面EMN⊥平面PBC；

（2）已知二面角BENM的余弦值为,试确定N点位置,并说明理由．

22、如图,在平面直角坐标系中,圆O：交y轴于A,B两点,交直线于M，N两点．

（1）若|MN|,求的值；

（2）设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,试探究斜率之积k1•k2是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由．

（3）证明直线AM,BN的交点必然在一条定直线上,并求出该直线的方程．

仁寿一中南校区高2021级高二（上）半期考试

    理科数学答案

1、

【答案】C

2、

【答案】B

3、

【答案】B

4、

【答案】A

5、

【答案】B

6、

【答案】C

7、

【答案】D

8、

【答案】C

9、

【答案】B

10、

【答案】B

【解析】圆C：x2+y2﹣2x+4y+k＝0，则圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣k，圆心C（1，﹣2），半径r（k＜5），∵点P（﹣1，2）在圆C：x2+y2﹣2x+4y+k＝0的外部，∴|PC|＞r，即，解得k＞﹣15，综上所述，实数k的取值范围是（﹣15，5）．故选：B．

11、

【答案】D

【解析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），∵直线yx切于点A（，3），∴（a）2+（3﹣b）2＝r2…①，且r…②，又∵点B（3，1）在圆上，∴（3a）2+（1﹣b）2＝r2…③，将①②③联解，得a＝2，b＝2且r＝2，∴所求圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．故选：D．

12、

【答案】C

【解析】对于①，由题意知EF和GH相交，且EH和FG平行，所以点E，F，G，H在同一个平面上，命题①正确；对于②，连接FG、EG和A1B，则FG∥A1B，又A1B∥CD1，所以FG∥CD1，又因为FG⊄平面CB1D1，CD1⊂平面CB1D1，所以FG∥平面CB1D1，又EF∥B1D1，同理得EF∥平面CB1D1，且EF∩FG＝F，EF、FG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面CB1D1，因为平面EFG∩平面EFD＝EF，所以平面CB1D1与平面EFD不平行，命题②错误；对于③，连接BD，延长DE、BF交于点M，因为EF∥BD，且EFBD，所以MF＝BF，又因为FI∥BC，且FIBC，所以B、C、F、I四点共面，所以BF与CI相交，设BF与CI的交点为N，则NF＝FB，所以M与N重合，即直线DE，BF，CI交于同一点，命题③正确；对于④，取C1D1的中点K，连接CK，则CK∥BF，则CK与B1C所成的角θ即为直线BF与直线B1C所成的角，连接B1K，设正方体的棱长为2，则B1C＝2，B1K，CK，由余弦定理得cosθ，命题④正确．综上知，①③④正确．故选：C．

13、  【答案】

14、【答案】

15、【答案】

16、

【答案】

【解析】∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC的外接圆圆心为AC中点O1，△ABC的外接圆圆心为AB中点O2，如图所示：过O1作平面ADC的垂线，过O2作平面ABC的垂线，∵平面ADC⊥平面ABC，∴两垂线交于点O2，可得O2为三棱锥D﹣ABC外接球的球心，由三棱锥D﹣ABC 外接球的表面积为4π，可得外接球的半径r＝1，AB＝2，BC＝1，AC，CD，AD，则三棱锥D﹣ABC的体积为BC×S△ACD．

17、

【解析】（1）为真则有：为真则有：,为真，则的取值范围是：

（2）是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件；为真有：,为真有：;所以，所以,所以的取值范围是:.

18、

【解析】证明：（1）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图，因E，F分别是BC，CM的中点，则有EF∥BM，又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1；

（2）G是DC中点，使得平面GEF∥平面BDD1B1，理由如下：取CD的中点G，连接EG，FG，而E是BC的中点，于是得EG∥BD，而EG⊄平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1，从而得EG∥平面BDD1B1，由（1）知EF∥平面BDD1B1，EF∩EG＝E，且EF、EG⊂平面GEF，因此，平面GEF∥平面BDD1B1，所以当G是DC的中点时，平面GEF∥平面BDD1B1．

19、

【解析】证明：（1）在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．

（2）连接DE，EF,DF,设DE交AC于点H，连接HF

因为PA//平面DEF，PA平面PAC，平面PAC平面DEF，所以PA//;

由于底面ABCD为菱形，为的中点，易证，所以，由PA//，可得，

所以存在点为棱上靠近的三等分点，可使PA//平面DEF

20、

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）∵圆心C在直线上，

∴设圆C的圆心为（a， a﹣2），半径为r，

又∵圆C过点,，两点，

则圆C的方程为；

注：用圆的一般式方程，或求AB的中垂线方程也可。

（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝4，

联立，

解得M（4，3），N（4，-1），

此时|MN|＝4，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-4＝k（x﹣4），则kx﹣y﹣4k+4＝0，

∵，

∴圆心到直线的距离为，解得，

则直线l的方程为，

综上，直线l的方程为

21、

【解析】（1）证明：∵PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，∴PE⊥平面EBCD，∵BC⊂平在EBCD，∴PE⊥BC，∵BC⊥EB，EB∩PE＝E，∴BC⊥平面PEB，∵ME⊂平面PEB，∴BC⊥EM，∵PE＝EB，PM＝MB，∴EM⊥PB，∵BC⊥EM，PB⊥EM，BC∩PB＝B，∴EM⊥平面PBC，∴平面EMN⊥平面PBC；

（2）过M作MQ⊥EB于Q，∵PE⊥EB，∴PE∥MQ，由（1）知PE⊥平面EBCD，∴MQ⊥平面EBCD，过Q作QR⊥EN于R，连接MR，∵MQ⊥平面EBCD，EN⊂平面EBCD，∴MQ⊥EN，∵MQ∩QR＝Q，∴EN⊥平面MQR，∵EN⊥平面MQR，MR⊂平面MQR，∴EN⊥MR，∴∠MRQ是二面角B﹣EN﹣M的平面角，∵PE＝EB＝BC＝2，则MQ＝1，在Rt△BEN中，设BN＝x（0＜x＜2），则EN，∵Rt△BEN∽Rt△REQ，∴，∴RQ，∴tan，∵二面角B﹣EN﹣M的余弦值为，∴cos，∴tan，解得x＝1∈（0，2），∴N为BC中点．

22、

【解析】（1）圆O的圆心为（0，0），到直线y＝kx﹣1的距离为d，∵|MN|＝2，由此解得k2＝1，k＝±1．

（2）将y＝kx﹣1代入圆O方程x2+y2＝4，并整理得，得（1+k2）x2﹣2kx﹣3＝0，该方程必有两根，且为M，N的横坐标．故设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理．x1x2∵A（0，2），∴，同理k2＝k；于是k1k2＝（k）（k）＝k2k23．即证得 k1k2恒为定值﹣3．

（3）注意到AN⊥BN，设直线BN的斜率为k3，则k2k3•k3＝﹣1，即k1＝3k3．直线AM：y＝k1x+2，直线BN：y＝k3x﹣2的交点满足，即3y+6＝y﹣2，解得y＝﹣4；故直线AM，BN交点必在定直线y＝﹣4上．证明完毕．